第三章图形的相似---问题解决活动：利用相似三角形测高 课件 2026-2027学年北师大版初中数学九年级上册

第三章 图形的相似 北师大版初中数学九年级上册 3.6 问题活动解决---利用相似三角形测高 SPERK： DATE：2026.10 学习目标 通过测量旗杆高度的实践活动，巩固相似三角形的判定定理和性质，能运用相似三角形的知识解决实际问题，加深对相似三角形的理解． 经历设计方案、实际测量、计算验证的过程，体会将实际问题转化为数学模型的思想方法，提高解决实际问题的能力． 测量旗杆的高度的方法和理论依据.（重点） 将实际问题转化为数学模型，准确构造相似三角形并进行计算． （难点） 壹 贰 叁 温故知新： 相似三角形的性质和相似的条件是什么？ 相似三角形的性质： 相似三角形的判定： 3 新课引入 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 新课引入 新课引入 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 6 新课探究 This Is A Sample Text. Insert Your Desired Text Here. Again. This Is A Dummy Text. Enter Your Own Text Here 教学思路 教学思路 教学思路 探究活动一 利用阳光下的影子 方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用 “在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 根据是什么？ 光线是平行光 物高与光线、影子 围成的三角形相似 7 典例讲解 例1：如下图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO. 解：∵BF∥ED， ∴∠BAO=∠EDF， 又∵∠AOB=∠DFE=90°， ∴△ABO∽△DEF， ∴ = ， ∴ = ， ∴BO=134. 新课探究 This Is A Sample Text. Insert Your Desired Text Here. Again. This Is A Dummy Text. Enter Your Own Text Here 教学思路 教学思路 教学思路 探究活动一 利用阳光下的影子 方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用 “在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 用这种方法测量有什么不便之处吗？ 金字塔底端无法到达 即：塔底到影子顶端距离无法测量 9 新课探究 根据测量数据，你能求出 旗杆的高度吗？ A B C D E F D F E A B C 怎么办？ 使用工具： 米尺 测量数据： ①身高AC ②人影长BC ③旗杆影长EF ∵太阳的光线是平行的 ∴ AB∥DE 又∵B、C、E、F在一条直线上 ∴ ∠ABC= ∠DEF ∵人与旗杆是垂直于地面的 ∴∠ACB= ∠DFE ∴△ABC∽△DEF 规律总结 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 方法一：测量顶部不能到达、但底部可以到达的物体的高度，可以用 “在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 利用标杆 新课探究 探究活动二 观测者的身高EF可测量 观测者到标杆底端的距离DF可测量 观测者到旗杆底端的距离BF可测量 标杆的高CD可测量 使用工具：米尺 测量数据： ①身高 ②标杆长 ③人到旗杆距离 ④人到标杆距离 A B C D E F 观测者适当调整自己的位置，使旗杆顶端、标杆顶端、自己的眼睛恰好在一条直线上。 C D E F A B 典例讲解 例2：如图，小明为了测量旗杆CD的高度，他在距旗杆24m处立了一根高为2.5m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与旗杆相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和旗杆的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求旗杆的高度. 解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°, ∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA. ∵∠EAM=∠CAN, ∴△AEM∽△ACN , ∴ . ∴CN=8.1（m）， ∴CD=8.1+1.6=9.7（m）. 故旗杆的高度为9.7m. M N 13 测高方法二： 测量顶部不能到达底部可以到达的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 规律总结 测量原理 用标杆与被测物体平行构造相似三角形. 14 新课探究 探究活动三 利用平面镜的光线反射 观测者适当调整自己站的位置，使自己的眼睛从平面镜恰好看到旗杆顶端。 A B C D M 使用工具：米尺 测量数据： ①身高CD ②人到镜子距离DM ③旗杆到镜子距离BM 根据：光线的入射角等于反射角、 三角形相似 15 典例讲解 例3 例3：为了测量旗杆的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离旗杆AB底部30m的E处放下镜子； ②该同学站在距离镜子5m的C处，目高CD为1.6m； ③观察镜面，恰好看到旗杆的顶端.你能帮助他计算出旗杆的大约高度吗？ A B C D E 解：由题意，得∠AEB＝∠CED. 又∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABE＝∠CDE＝90°. ∴△ABE∽△CDE. ∴ ＝ .即 ＝ ， ∴AB＝9.6. 答：该建筑物的高度是9.6m. 16 测高方法三： 测量顶部不能到达底部可以到达的物体的高度，也可以用“平面镜光的反射”原理解决. 规律总结 测量原理 根据入射角等于反射角构造相似三角形. 17 典例讲解 例4.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米） A D C E B 解：∵∠ADB=∠EDC ∠ABD=∠ECD=90゜ ∴⊿ABD∽⊿ECD（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴ 解得 答：河的宽度AB约为96.7米. 18 同步练习 1.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处．已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是（ ） B A.6米　　B.8米　　 C.18米　　D.24米 19 同步练习  2.如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是　　米． 8 20 同步练习 3.小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (     )   A. 0.5 m   B. 0.55 m    C. 0.6 m    D . 2.2 m A 21 同步练习 4.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米? E D 6.4 1.2 ？ 1.5 1.4 A B C 物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分 解：作DE⊥AB于E 得 ∴AE=8米， ∴AB=8+1.4=9.4米 22 同步练习 5.如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m. 已知某一时刻BC在地面的影长CN =1.5 m， AC在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高度. 解：由题意知 解得AC=3. ∴窗户的高度AB=2m. 23 同步练习 6.《海岛算经》第一个问题的大意是： 如图，要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高 3 丈的标杆 BC 和 DE，两杆之间的距离 BD =1 000 步，D，B，H 成一线；从 B 处退行 123 步到 F，人的眼睛贴着地面观察 A 点，A，C，F 三点成一线；从 D 处退行127 步到 G，从 G 观察 A 点，A，E，G 三点也成一线. 试计算山峰的高度 AH 及 HB 的长 (这里 1 步 = 6 尺，1 丈 = 10 尺，结果用丈表示). 怎样利用相似三角形求得线段 AH 及 HB 的长呢？请你试一试! A H C B F D G E 24 A H C B F D G E 解：由已知得CB = ED = 3丈 = 30尺，BD = 1 000步 = 6 000尺， BF = 123步 = 738尺，DG = 127步 = 762尺. 利用这两个比例式可以求得 HB =184500 尺 = 18450 丈， AH = 7530 尺 = 753 丈. 由 △AHF ∽ △CBF，得 ； 由 △AHG ∽ △EDG，得 ； 6.如图，要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高 3 丈的标杆 BC 和 DE，两杆之间的距离 BD =1 000 步，D，B，H 成一线；从 B 处退行 123 步到 F，人的眼睛贴着地面观察 A 点，A，C，F 三点成一线；从 D 处退行127 步到 G，从 G 观察 A 点，A，E，G 三点也成一线. 试计算山峰的高度 AH 及 HB 的长 (这里 1 步 = 6 尺，1 丈 = 10 尺，结果用丈表示). 25 A H C B F D G E 解：连接CE,由已知得CB//ED//AH，则CE=BD=m 易证△AHF ∽ △CBF，△AHG ∽ △EDG， 7.变式题：如图，要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高 h 米的标杆 BC 和 DE，两杆之间的距离 BD =m 米，D，B，H 成一线；从B 处退行到F，人的眼睛贴着地面观察 A 点，A，C，F 三点成一线；从 D 处退行到 G，从 G 观察 A 点，A，E，G 三点也成一线,且FG =n 米，试计算山峰的高度 AH(结果用含a,b,h的代数式表示）。 用此方法可测量底部不可到达的物体高度，如：金字塔高 26 课堂小结 例2 利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 利用标杆 利用镜子的反射 被测物体高度 参照物高度 = 被测物体影长 参照物影长 利用人、标杆被测物体构造相似三角形 利用物理中的入射角等于反射角构造相似三角形 27 授课完毕 谢谢大家 SPERK： DATE：2026.09 $