3.5图形的位似（第二课时）课件2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册 第三章 图形的相似 3.5. 图形的位似 （第二课时） 1 学习目标 1.理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系； 2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形； 3.重点：会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换， 掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变 化的规律. 4.难点：理解位似图形坐标变换规律的推导过程，以及k的符号 对位似图形位置的影响； 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的 异同，并能在复杂图形中找出来这些变换. 温故知新 1. 位似图形的意义： 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，且对应边平行或共线我们就把这样的两个图形叫做 ，这个交点叫做 ． 2.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应 点到位似中心的距离之比等于 ， 对应线段 . 位似图形 位似中心 相似比 (或位似比) 平行或者在一条直线上 3. 如何判断两个图形是不是位似图形? 4.确定位似中心： 3 温故知新 5. 画位似图形的一般步骤有哪些？ ①定位似中心（分确定和不确定两种）； ②定关键点（一般是图形的顶点）； ③定位似比（即相似比）； ④定对应点，并连接（可能位置的不唯一） 若相似比k>1，可以作出两个放大的位似图形； 若相似比k<1，可以作出两个缩小的位似图形。 4 引入新课 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，两个位似图形的坐标之间又有什么关系呢？ 5 01 新知探究 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化. 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 x A B A' A" B" O 如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )， B' ( ， )； A" ( ， )， B" ( ， ). 2 1 2 0 －2 －1 －2 0 直角坐标系中的位似变换 A (6，3) A (6，3) B (6，0) B (6，0) 横纵坐标都×1/3 横纵坐标都×1/3 横纵坐标都×(-1/3) 横纵坐标都×(-1/3) 6 在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0,0），A（3,0），B（2,3）. （1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘以2，得到三个点O′，A′，B′，请你在坐标系中找到这三个点. （2）以这三个点为顶点的三角形与 △OAB位似吗？为什么？如果位似， 指出位似中心和相似比. 新知探究 直角坐标系中的位似变换 02 原坐标 O(0,0) A(3,0) B(2,3) 横纵坐标×2 原坐标 O(0,0) A(3,0) B(2,3) 横纵坐标×-2 O′(0,0) A′(6,0) B′(4,6) O′′(0,0) A′′(-6,0) B′′(-4,-6) 2 4 6 4 6 B' －2 －4 -6 －4 x A B A' A" B" O 将△OAB的横、纵坐标分别乘2和-2，得到的两个不同的三角形都是△OAB的位似图形，位似中心都是原点O，相似比都是2，它们关于原点成中心对称. ×（-2）呢 03 新知探究 △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，C (5，2)，以点 O 为 位似中心，相似比为 2，将 △ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化. 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －8 B' A' C' A" B" C" 如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为 A' ( ， )， B' ( ， )， C' ( ， )； A" ( ， )， B" ( ， )， C" ( ， ). 4 2 10 4 －4 －2 －10 －4 4 6 －4 －6 直角坐标系中的位似变换 A (2，3) B (2，1) 横纵坐标都×2 横纵坐标都×2 C(5，2) 横纵坐标都×2 A (2，3) B (2，1) 横纵坐标都×-2 横纵坐标都×-2 C(5，2) 横纵坐标都×-2 8 例题讲解 04 直角坐标系中的位似变换 例1.直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（5,0），B（5,3），C（2,4）.将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？ 如果位似，指出位似中心和相似比. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 O 5 x y A B C 例题讲解 04 直角坐标系中的位似变换 例1.直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（5,0）， B（5,3），C（2,4）.将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘-，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？ 如果位似，指出位似中心和相似比. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 O 5 x y A B C 例题讲解 04 直角坐标系中的位似变换 例2.在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为A(4,2)，B(8,6)，C(6,10)， D(-2,6).将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与 四边形OABC位似吗？如果位似， 指出位似中心和相似比. O x y 2 4 6 2 4 6 -2 -4 8 -2 -4 -6 8 10 A B C D A′(2,1) B′(4,3) C′(3,5) D′(-1,3) 例题讲解 04 直角坐标系中的位似变换 例2.在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为A(4,2)，B(8,6)，C(6,10)， D(-2,6).将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与 四边形OABC位似吗？如果位似， 指出位似中心和相似比. O x y 2 4 6 2 4 6 8 -2 -4 -6 8 10 A B C A′(2,1) B′(4,3) C′(3,5) D′(-1,3) A”(-2,-1) B”(-4,-3) C”(-3,-5) D”(1,-3) 例题讲解 04 直角坐标系中的位似变换 例3 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与 四边形 OABC 的相似是 2 : 3. O C 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 B 例题讲解 04 直角坐标系中的位似变换 例3 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3. O C 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 B 解：情形一：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)， 用线段顺次连接O，A'，B'，C'. B' A' C' 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″. B″ A″ C″ 则四边形OA'B'C'和OA″B″C″即为所求 它们关于原点成中心对称 例题讲解 04 直角坐标系中的位似变换 例4.如图所示，将图中的△ABC进行下列变换，作出相应的图形，并写出变化后的 三个顶点的坐标，图中每个小方格的边长均为1. （1）沿y轴负半轴平移3个单位长度； （2）关于y轴对称； （3）以点B为位似中心将其放大到原来的2倍.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         x A B1 O A3 C C3 (A2) A1 C1 B A4 C4 C2 B2 B (B3,B4) y 解：（1）如图所示，将△ABC沿y轴负半轴平移3个单位长度后得到△A1B1C1，A1（0，-5）， B1（3，-4），C1（2，-2）. （2）如图所示，将△ABC关于y轴对称得到△A2B2C2，A2（0，-2），B2（-3，-1），C2（-2，1）. （3）如图所示，将△ABC以点B位似中心，放大到原来的2倍后，得到△A3B3C3和△A4B4C4. 当两图形在位似中心的同侧时，得△A3B3C3，可求得A3（-3，-3），B3（3，-1）， C3（1，3）. 当两图形在位似中心的两侧时，得△A4B4C4，可求得A4（9，1），B4（3，-1）， C4（5，-5）. 归纳总结 直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． 3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍； 当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍． 4.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或 (－kx，－ky). 5.在平面直角坐标系中，如果把一个图形的各点 (x，y)横纵坐标都分别乘以k或-k后得对应点(kx，ky)或 (－kx，－ky)，顺次连接的图形与原图形是位似图形，相似比为k. 05 06 同步练习 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C 同步练习 06 直角坐标系中的位似变换 2.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以点O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若点B的对应点B′的坐标为(0，－6)，则点A的对应点A′的坐标为(　　) A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4) A 同步练习 06 直角坐标系中的位似变换 D 同步练习 06 直角坐标系中的位似变换 7.如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(2，0)，以AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为2：1，则点D'的坐标是 ___________ ． (-2，-3) 同步练习 06 直角坐标系中的位似变换 4.如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． （9，0） 同步练习 06 直角坐标系中的位似变换 5.△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1 : 2，且两个三角形在位似中心的同侧，则△DEF各顶点的坐标分别为___________________________． D(1，1)，E(2，1)，F(3，2) 同步练习 06 直角坐标系中的位似变换 6. 原点O是△ABC 和△A′B′C′ 的位似中心，点A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 . 6 同步练习 直角坐标系中的位似变换 06 8.如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为(-4，2)，对应点E的坐标为(-1，1)，则这两个正方形位似中心的坐标为 ________ ． (2，0) 同步练习 直角坐标系中的位似变换 06 8.如图，△ABC在第二象限内，其中点B的坐标是(-2，1)，以点B为位似中心，作△ABC的位似图形△A′BC′，使它与△ABC的相似比为2：1．若点C的坐标为(a,b)，则其对应点C′的坐标是 ____________________ ． (-2a-6，-2b+3) 9.如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，且△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则△ABC与△DEF的面积比为 　　． 同步练习 直角坐标系中的位似变换 06 9.如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，且△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则△ABC与△DEF的面积比为 　　． 1/9 同步练习 直角坐标系中的位似变换 10.如图所示，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标为（﹣1，1），点C 的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是____． M M 06 07 课堂小结 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 平面直角坐标系中的位似图形的画法 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的 横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的 图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们 的相似比位|k|. 07 课堂小结 平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律 名称 变换规律 变换方式 平移 对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度 全等变换 轴对称 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转 若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数 位似 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比 相似变换（扩大、缩小或不变） 谢谢观看 30 3．在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为eq \f(1,2)，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是(　　) A.(－2，1) B.(－8，4) C.(－8，4)或(8，－4) D.(－2，1)或(2，－1) $