3.4相似三角形的性质 课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形的性质 3、通过相似三角形定理及应用的学习，培养学生类比思想、归纳思想及特殊到一般的认识规律，拓展学生思维。 1、经历探索相似三角形性质的过程，并会运用相似三角形的性质解决有关的问题。 教学目标 2、通过探索相似三角形性质的过程，渗透逻辑推理的方法，引导学生从直观发现向自觉说理过渡，从而获得发现问题、解决问题的经验，发展了学生的数学问题意识和创新意识。 相似三角形的特征 问：你知道相似三角形的特征是什么吗？ 角：对应角相等 边：对应边成比例 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值= 如右图，△A B C ∽△A′B′C′ 相似三角形对应边上的高 有什么关系呢？ 归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。 A′ B′ C′ D′ △A D C ∽△A′D′C′ 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD 与A′ D′有什么关系？ 右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。 D A B C (2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的高有什么关系呢？__________ 说说你判断的理由是什么？___________ BACK 归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。 相似三角形对应边上的中线 有什么关系呢？ 如右图△A B C ， AE为 BC 边上的中线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ E′为 B′C′边上的中线。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AE 与A′ E′比是多少？ A B C E A′ B′ C′ E′ △A E C ∽△A′E′C′ (2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的中线的比是多少呢？ 说说你判断的理由是什么？___________ BACK 相似三角形对应角的角平分线 有什么关系呢？ 归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。 (2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应角的角平分线比是多少？ 说说你判断的理由是什么？___________ △A F C ∽△A′F′C′ 如右图△A B C ， AF为 ∠ A 的角平分线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 为∠ A′的角平分线， △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？ AF 与A′ F′比是多少？ A B C F A′ B′ C′ F′ BACK A′ 知1－讲 议一议 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与 △A′B′C′的相似比为k；点D,E在BC边上，点 D′,E′在B′C′边上. (1)若∠BAD= ∠BAC, ∠B′A′D′= ∠B′A′C′, 则 等于多少？ （2）若BE= BC,B′E′= B′C′,则 等于多少? （3）你还能提出哪些问题？与同伴交流. 知1－讲 1.性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分 线的比、对应中线的比都等于相似比． 即：相似三角形对应线段的比等于相似比． 2.要点精析：对应高、对应角平分线与对应中线是 指相似三角形对应边上的高、对应内角的平分线 与对应边上的中线． 填空： 两个相似三角形的_______相等，_______成比例。 _________________________、 ____________________________、 ________________________________都等于相似比。 对应角 对应边 相似三角形对应高的比 相似三角形对应中线的比 相似三角形对应角平分线的比 1．已知△ABC∽△DEF，且相似比为4：3，若△ABC中BC边上的中线AM＝8，则△DEF中EF边上的中线DN＝ 。 2．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 m． 10 交BC于N，则NH:MH=______。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 =18cm ，BC=20cm 求：BC、AC、 、 AC=60－15－20=25cm 例1：已知： ，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm， 垂足为F，AF交BC于G。 (两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似) 相似三角形对应角平分线的比 5、已知：如图△ABC中，DE∥BC，AF⊥DE 三角形与原三角形的周长之比等于________， =72－18－24=30cm 例1：已知： ，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm， 面积之比等于________。 交BC于N，则NH:MH=______。 ，则较小三角形的周长为________cm, 求：BC、AC、 、 6、如图在 ABCD中，E是BC的中点，是BE的中点， 例2：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点， （相似三角形面积的比等于相似比的平方） （相似三角形周长的比等于相似比） ABC，CD为斜边AB上的高， 相似三角形周长的比等于相似比。 已知： 求证： ∽△ △ 证明： ∽△ △ ∵ ∴ ∴ (相似三角形对应边成比例) (等比性质) A C B B′ A′ C′ 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 已知： 求证： ∽△ △ A B C A′ B′ C′ D D′ 证明： 分别过A、A′， 作AD⊥BC于D， ∴ ∵ ∽ △ △ ∴ ∴ (相似三角形对应边成比例) AC=60－15－20=25cm 例1：已知： ，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm， 垂足为F，AF交BC于G。 4、两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和 18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是 例1：已知： ，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm， 三角形与原三角形的周长之比等于________， 在△ABC中，BC=m，DE∥BC，交AB于E，交AC于D， 求DE的长度。 面积之比等于________。 求四边形BCDE的面积。 （相似三角形面积的比等于相似比的平方） 垂足为F，AF交BC于G。 已知△ABC的面积为　　　， 在△ABC中，BC=m，DE∥BC，交AB于E，交AC于D， 求DE的长度。 AC=60－15－20=25cm 例2：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点， 求四边形BCDE的面积。 已知△ABC的面积为　　　， 三角形与原三角形的周长之比等于________， AC=60－15－20=25cm 已知△ABC的面积为　　　， 若AF=5，FG=3， 相似三角形周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 A C B B′ A′ C′ 知3－讲 1．性质定理： 相似三角形的面积比等于相似比的平方；反之，相似三 角形的相似比等于面积比的算术平方根． 2．易错警示：在利用相似三角形的性质解决问题时，常出现 面积比等于相似比或由面积比求相似比时不进行开方，反 而平方的错误．为了避免这些错误，在利用相似三角形的 性质解题时，一定要注意结合图形，搞清面积比与相似比 的关系． 知1－讲 例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上， 点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR= BC时，求DE的长.如果SR= BC呢？ 知1－讲 解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD,∴ SR∥BC. ∴ ∠ASR= ∠ B， ∠ARS= ∠ C. ∴ △ASR∽△ ABC(两角分别相等的两个三角形相似）. (相似三角形对应高的比等于相似比）， 当SR= BC时，得 解得DE= h. 当SR= BC时，得 解得DE= h. 例2 如图, AD是△ABC的高, 点P,Q在BC边上，点S、R分别在AB、AC上. BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形 (1)△ASR与△ABC相似吗?为什么? 解决问题 (2)求正方形PQRS的边长. A B C S R P Q D E 解：（1）∵四边形PQRS是正方形 ∴ RS∥BC ∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C ∴ △ASR∽△ABC. (两角分别相等的两个三角形相似) A B C S R P Q D E （2）∵ △ASR∽△ABC. ∴ 设正方形PQRS的边长为xcm, 则AE=(40-x)cm, 解得,x=24. 所以正方形PQRS的边长为24cm. (相似三角形对应高的比等于相似比) A B C S R P Q D E x 40cm 60cm C A B S R P Q D E A B C S R P Q D E 千变万化 例3：已知： ，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm， ∽△ △ =24cm。 求：BC、AC、 、 A B C 解：∵ ∽△ △ ∴ （相似三角形周长的比等于相似比） ∵AB=15cm， ∴ ∴ =18cm ，BC=20cm ∴ AC=60－15－20=25cm =72－18－24=30cm 21 例4：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点， A B C D E 已知△ABC的面积为　　　，　　　　 求四边形BCDE的面积。 解：∵ ，∠A=∠A ∴ ∽△ △ ∴ （相似三角形面积的比等于相似比的平方） ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ (两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似) 练习： 已知： ∽△ △ ，它们的周长分别 为144cm和120cm ，且BC=48cm， 1、 A D C B △ 已知：如图，Rt ABC，CD为斜边AB上的高， 求： 2、 3、三角形的一条中位线把三角形截成的一个小 三角形与原三角形的周长之比等于________， 面积之比等于________。 1:2 1:4 4、两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和 18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是 ，则较小三角形的周长为________cm, 面积为____ 。 14 4 5、已知：如图△ABC中，DE∥BC，AF⊥DE 垂足为F，AF交BC于G。若AF=5，FG=3， 则 A F E D B C G H N M F E D C B A 6、如图在 ABCD中，E是BC的中点，是BE的中点， AE与DF交于点H，过点H作MN⊥AD，垂足为M， 交BC于N，则NH:MH=______。 5 8 5 8 25 64 1:4 思考题： A B D C E 在△ABC中，BC=m，DE∥BC，交AB于E，交AC于D， 求DE的长度。 思考题： 如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF, △ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2,求△ABC平移的距离. 解：根据题意,可知EG∥AB. ∴∠GEC=∠B, ∠EGC=∠A. ∴△GEC∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). (相似三角形的面积比等于相似比的平方). ∴EC2=2. 1．一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm． （1）小风筝的面积是多少？ （2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不计损耗） （3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？ 这节课我们学习了相似三角形的性质: 相似三角形对应高的比, 对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。 相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。 小结： Sheet1 Sheet2 Sheet3 Sheet1 Sheet2 Sheet3 Sheet1 Sheet2 Sheet3 $