3.5.2 图形的位似 课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

图形的位似 3 情境导入 在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）. （1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到三个点O′，A′，B′，请你在坐标系中找到这三个点。 （2）以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？为什么？如果位似，指出位似中心和相似比。 O x y 2 4 6 2 4 6 -2 -4 -6 -2 -4 -6 A B (1)将点O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到O（ ），A′（ ），B′（ ） 6,0 A′ B′ 4,6 0,0 (2) △OAB和△OA′B′是位似的， 位似中心是点O，相似比是2. O（0，0），A（3，0），B（2，3） 如果将点 O，A，B 的横坐标、纵坐标都乘 -2 呢？ O 点坐标不变 A" ( ， )， B" ( ， ). A" -6 -4 位似中心：点 O 相似比：2 -6 0 B" 坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为A(4,2)，B(8,6)，C(6,10)， D(-2,6).将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比. O x y 2 4 6 2 4 6 -2 -4 8 -2 -4 -6 8 10 A B C D A′(2,1) B′(4,3) C′(3,5) D′(-1,3) 探究新知 位似中心：点 O 相似比： 将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘 呢？ O x y 2 4 6 2 4 6 -2 -4 8 -2 -4 -6 8 10 A B C D A′(2,1) B′(4,3) C′(3,5) D′(-1,3) A′′(-2,-1) B′′(-4,-3) C′′(-3,-5) D′′(1,-3) 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？ 位似中心：点 O 相似比： 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的横、纵坐标的比为k（k>0）； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的横、纵坐标的比为-k. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），则所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为∣k∣. 若相似比为 k，当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1 时，图形缩小为原来的 k 倍． 例 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，C(-3,3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3. y 2 4 6 -2 -4 -6 A B C O x 2 4 6 -2 -4 -6 可以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘 ， 或都乘 . y 2 4 6 -2 -4 -6 A B C A′ B′ C′ O x 2 4 6 -2 -4 -6 B′' C′' A′' 以原点O为位似中心，与四边形OABC相似比为3：2的位似图形有两个，它们关于原点成中心对称。 在平面直角坐标系中画位似图形的步骤 知识归纳 ①根据相似比确定|k|的值； ②根据位似中心与两个图形的位置关系，确定k的值； ③把已知图形顶点的横、纵坐标均乘k，得到相应的对应顶点； ④描出各对应顶点，并顺次连接，则所得的图形为所求. 【注意】 1.一般情况下，若没有限定象限，画已知图形关于某点的相似图形有2个； 2.在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心,位似比为k，若原图形上点A的坐标为(x，y)，那么位似图形对应点A′的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 名称 变换规律 变换方式 平移 对应点的横坐标(或纵坐标)加上(或减去)平移的单位长度 全等变换 轴对称 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转 若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数 位似 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比 相似变换(扩大、缩小或不变) 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C 2.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点三角形ABC与格点三角形A'B'C'成位似关系，则位似中心的坐标为( ) A.(4,5) B.(5,4) C.(5,5) D.(0,8) A C 2.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以点O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若点B的对应点B′的坐标为(0，－6)，则点A的对应点A′的坐标为(　　) A．(-2，-4) B．(-4，-2) C．(-1，-4) D．(1，-4) A 3．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是 (-2，-4)或（2，4） 4. 原点O是△ABC 和△A′B′C′ 的位似中心，点A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 . 6 5．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－6，1)，B(－3，1)，C(－3，3)．若将它们的横纵坐标都乘以－3，得到新三角形△A1B1C1，则△A1B1C1与△ABC是位似关系，位似中心是___________，相似比等于_____． 坐标原点 3 巩固练习 5.如图，将△AOB以O为位似中心，扩大得到△COD，其中B(3，0)，D(4，0)，则△AOB与△COD的相似比为______． 3∶4 1 : 3 $