辽宁沈阳铁路实验中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年度上学期十月验收考试 高二数学 命题：霍美妮 审题：易思 时间：120分钟 满分：150分 试卷说明：本试卷分第I卷选择题(1一11题，共58分)和第Ⅱ卷（非选择题，12-19题，共92 分)。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。作答时，将答案写在答题纸上， 写在试卷上无效。 第I卷（选择题共58分） 一、单选题 1.若直线1经过点(-1,2)，且直线1的方向向量a=(1,3),则直线1方程为() A.x+3y-5=0 B.-3x+y-5=0C.3x+y+1=0D.3x+y-5=0 2.已知点A(-3,1,4),B(7,1,0),则线段AB的中点M关于平面Oy对称的点的坐标为（). A.（-2,1,-2) B.(21,-2) C.(2,-1,-2) D.(2,1,2) 3.设ā=(1,2,3)是直线1的方向向量，元=(1，-2,1)是平面a的法向量，则() A.I⊥C B.l∥a或lca C.llla D.I与a相交但不垂直 4.己知x、y∈R,则函数f(x,y)=V(x-2+y2+Vx++y-4的最小值是() A.5 B.6 C.7 D.8 5.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，点M满足DM=xDA+yD丽+zDC,且x+z=1-y, 则DM的最小值是() 25 A. 3 B.22 c.45 D.42 3 3 3 6.若点P(x)在以A(-3,),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△4BC的内部运动（包含边界），则y-2 x-1 的取值范围是() A剖 制 B. c剧 剁 7.若直线：25x+y-3=0,:-y=0的倾斜角分别为a,a-骨则k=（) A.35 B.5 c.-35 D.-5 5 7 8.如图，圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C是底面圆周上一动点，D是PA的中点，则直线CD 与PB所成角的余弦值的取值范围是() 第1页（共4页） A B AB别 「651 6'2 22 二、多选题 9.下面四个结论正确的是() A.若空间向量a、乃满足同-，则ā=五 B.已知{a,b,是空间的一组基底，若m=a+c,则{a,6,m也是空间的一组基底 C.对于空间向量a、b,“a.b<0”是“：与b的夹角为钝角”的必要不充分条件 D.若三个非零空间向量a、b、c满足a⊥b,c⊥6，则al心 10.已知直线1：y=c+6k-9,则下列说法正确的是() A.直线I恒过定点(6，-9) B.直线1的一个方向向量为（飞，1） C.若直线l在x轴上的截距为3，则k=1 D.若k之5，则直线1的倾斜角a的取值范围为[后 I1.如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，已知AB=AD=AA=1, ∠BAD=∠BA4=∠DAA=60°，O,E分别为B,D,CC的中点，则() D A.O死=（丽+而- B.0呢4- c.4d=5 D.AC,与平面BDD,8所成角的正弦值为5 3 第2页（共4页） 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题 12.已知a=1,0,),i=(1,山，0)，c=(,4,2),若a、6和c共面，则实数1= 13.点P是棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，当直线AP与平面ABCD所成的 角为时，点P的轨迹长度为 14.如图，己知线段AB在平面a内，线段AC⊥a,线段BD⊥AB,线段DD⊥a于点D如果 ∠DBD'=30°，AB=a,AC=BD=b,则CD的长为 四、解答题 15.设直线1的方程为y=-(a+)x+a+2 (I)若直线I不经过第二象限，求实数a的取值范围： (2)若直线1与x轴、y轴分别交于点M,N,且a≥0，求△MON(O为坐标原点)面积的最小 值及此时直线1的方程， 16.在正三棱柱ABC-AB,C中，已知AB=2,AM=1,D,E,D,E分别是棱AC,BC,AC,B,C的中点. (I)证明：平面CDE/I平面ABE,D: D (2)求平面CDE与平面AB,ED夹角的余弦值. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD, PA=AB=2,点F是AB的中点，点E在棱PC上，且PE=1PC(0<1<1): (I)求证：BD⊥AE: 2)诺二面角E-DF-A的正弦值为c,求元. 6 第3页（共4页） 18.如图1，已知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E,AB=6,∠ABC=120°，将aABD沿直 线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)，连接AC,G,H分别是AC,AB的三等分 点（靠近点C,B),平面EGH与CD交于点F H B B(---- D C 图1 图2 (I)证明：BCIIEF: (2)求点B到平面EFG的距离. 19.如图，三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均为2，三棱柱ABC-AB,C的体积为3，且AB⊥AC. B (I)若平面ACB与平面ACB,交于直线1，求点A到直线I的距离： (2)求平面ACC与平面ACB夹角的余弦值. 第4页（共4页） 《高二数学答案》参考答案 题号 1 2 3 4 61 7 8 10 答案 C D B武面A冷部C上线C向 3 A CBC 题号 11 答案 AD 0 0e100 8.C (云江)=长蟹向总神国)圆 【详解】取底面圆心为O,连接OD,OC,PO,作DE⊥AB,垂足为E,连接CE: 山”400 D (0,S)=m烟，S=汉令 0= ,030 0=,sS++X- 0应8 ,(、,)=长常向的3 因为D是PA的中点，O为AB的中点，故ODIPB: 0三 0=40 则∠CDO即为直线CD与PB所成角： Cyc0=i倾，s=9 0=+v 0=5 设底面半径为r,则oC=r,0D-PB=,0P=r =(9 因为DE1AB,OP1AB,故DE=OP-5, r: 2 由余弦定理可知cos∠CD0=CD+0D2-0C CD2CD0整余*0a8人my00,) 2×CD×OD2r×CD2r 由c0-D+cE-+cE 因为C是底面圆周上-动点，故CE引则cD-骨+CF[,5 代入可得ca∠CD0- 11.AD 【分析】设AB=a,AD=b,AA=c,将问题转化为基向量求解 ○黄 08上的，衣五景00盐商 【详解】设AB=a,AD=b,A4=c, 4上5T阳，00.面演上 由题意知d-万--1，∠BD=B4=∠D4=60,则a6-号m字edn 108划用，九9围7A出交，○1面平LG 答案第1 AO=(ABi+AD)=(a++B+)=a+B+c.AE=AC+icCi=a+B+c.OE=AE-AO=@+ 万-⊙，即O正=(AB+AD-AA),选项A正确： 0正，AA=a+b-)=@c+--cg=0,选项B错误： A1C=AC-AA1=d+万-t=a+万-c, A1d=、d+万-=、+++26-2元-2乃=V2,选项c错误： 设平面BDD1B1的一个法向量为元=xa+yb+z元，则的坐标为(x,y,z),而BD=-a, 则元BB=0即 元=0 即x++=0 元8D=0n-6-=0 令x=2,解得y=2,z=-2, 、-x+y=0 →→ 所以n=2a+2b-2c =V2a+2b-20)2 ++ 8a:b-8a.c-8b-c=8=2v2, AC=a+i+,|AC=a+万+2=2+++2a6+2a+2be=6, AC1n=(a+b+c)-(2a+2b- -明州 4ab=4, 设AC1与平面BDD1B1所成角为0， 6而号透项D正确 4 m+n=1 12.-1【详解】若a、b和c共面，则c=ma+nb且m,n∈R,所以(1，t,2)=m(1,0,1)+n(1,1,0),则 n=t, m=2 可得t=-1. 13.6V2+【详解】因为直线AP与平面ABCD所成的角为45，由AA11平面ABCD, 得直线AP与AA1所成的角为45°，因为∠B1AB=45°，∠D1AD=45°，故点P不能在平面 A E B DCC1D1和平面BCC1B1内；若点P在平面ADD1A1内，则点P的轨迹是AD1=3V2;若 点P在平面ABB1A1内，点P的轨迹是AB1=3V2;若点在平面A1B1C1D1内，作PMI 平面ABCD于点M,如图所示，因为∠PAM=45°，所以PM=AM,又因为PM=AB, ⊙ 则AM=AB,故A1P=AB,所以点P的轨迹是以A1点为圆心，以3为半径的四分之一圆，此时点P的轨迹长度 为：×2m×3=受，综上，点P的轨迹的总长度为62+要 4.Va2+3b2【详解】由AC1a,ABcu,得AC1AB,由LDBD'=30°，得(CA,BD)=60°，由CD=CA+AB+ BD,得1CD1=J(CA+AB+BD)2=VCA2+AB2+BD2+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD =Vb2+a2+b2+0+0+2b2cos60°=Va2+3b2, 所以CD的长为、√a2+3b2 15.(1(-0,-2]: (2)最小值为2，直线1的方程为y=-x+2 :阿面A人-可于8 【详解】(1)因为1：y=(a+)x+a+2不经过第象限，0=i+0)。一46-+ (a20,解得as-2, 则 a+2≤0 5d+5-(+)=1 所以a的取值范围为(0，-2].0数，=50-A+++ (2)因为直线1的方程为y=-(c+1)x+a+2,坐型呗34d+=个的 令x=0,得y=a+2:令y=0,得x=a+2 =a+ 0=50 且a≥0，则0-2-2是oN=+-a+2 当且仅当a+1=1, a+1 即a=0时，等号成立， 所以△MON面积的最小值为2，此时直线I的方程为y=-x+2.s一AC+d+ 16.(1)证明见解析 5大中货亩A,6到 2 【详解】(I)在矩形BCCB中，E,E分别为BC,B,G的中点，连接BE,则BEEC, 在AABC与△48，G中，易得DEIIAB,DEAB,因为AB11AB,所以DE1ID,E, 因为DEc平面4BE,D,D6C平面BED,所以DE7平面1BED,。 同理，DC1/AD,因为DC文平面MBED,ADc平面ABE,D,所以DC11平面ABED, 又因DCODE=D,DC,DEc平面GDE,故平面CDE1平面ABED.0t 答 ○(2)以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴正方向，OC所在直线为y轴正方向， 过点O和平面ABC垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则La0,4e1o0,c0ao.0oi).c65a号9d090 设平面CDE的法向量为m=(x,y,乙)， 0,0街.0状同和须812： E-a0.c-59小画6 mDE=0 则 即=0 EC =0 -x+y+22,=0令月=2，则m=(0,23), 设平面4BED的法向量为7=(x2,y2,22)， 点中的试0流中弹9县( nDE=0 x2=0 则 n8=0' 馬-3+2%，=0令⅓=2，则万=(025)。 即 :约讽9自樊直议明OD 00,A4=C01=0限，比半雨 所以cos(m,n)= m列_1 m同 71 0-=0克，110,8k430 所以平面CDE与平面ABED夹角的余弦值为7·D0-00+四O要 0)×D5 ZA D E/ B D 17.(1)连接AC 水罩您回进、：=百x少-、的 因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD 又因为4COPA=A,ACC平面PAC,PAc平面PAC,=C,=国-D 所以BD⊥平面PAC.又因为AEC平面PAC,所以BD⊥AE, 共4页)￥ oa-号 .(0.Cv-.00.(d.0.0)A.0.0.-)8(0.0. 以A为坐标原点，B,AD,心的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系 ,v0S-a盼百8 (礼=长肉游增门刀小西平，(3：江)=达量向煮 公源，6比角爽补商平己 y B 由己知可得D(0,2,0),F(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2) 0=3 所以F币=(-1,2,0).由PE=2PC,得E(21,21,2-2a),所以D正=(2元，2元-2,2-22) 设平面EDF的法向量为万=(（x,y,z), D=0即+2=0 万-DE=0'x+(a-y+0-2=0取万=(2-21-1-3). 则 由题意可得平面DFA的一个法向量为m=(0,0,1). 设二面角E-DF-A的平面角大小为0，由sin0=B0,得os'0= 6 6 0-036解得2-(2=0含去. （1-3}21 即 18.()证明：因为G,H分别是AC,AB的三等分点（靠近点C,B), 所以GHIIBC, 又BC丈平面EFGH,GHc平面EFGH,所以BC∥平面EFGH, 又BCC平面BCD,平面BCD∩平面EFGH=EF, 所以BCIEF 2)36 4 因为菱形ABCD的对角线AC和BD交于点E, 所以E为BD的中点，且EA⊥BD,EC⊥BD, 0000 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABDA平面BCD=BD,AEC平面ABD, 的)，#)13绍因 所以AE⊥平面BCD, ,30袋以接直，3)-与小门8>场平 又ECc平面BCD,所以EA⊥EC. 层强的3)支0着下有，的)路量气小布)八1：.长 故可以E为原点，EB,EC,E4所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，：T )小 ,1踏中8议6 391)为04 H ,=1阁问包的1直原2 E 则E0,0,0),B3,0,0),D(-3,0,0),A0,0,33),C(0,3N3,0) 因CEr,思点F为D的中点。数0 又G是4C的三等分点，则G0,25,V3),、为08 所以B=a0.F-(号G-0250 =0,式3 设平面EFG的法向量为n=(x,少，z), 站，中以点 EFi=-33 》一)GC0士0 则 2+ 20 ,故可取i=(5,l-2), EGn=23y+3z=0 1结共Q5的事=0又，C小用甲8》用 EB.3336 进学0月方 所以点B到平面EFG的距离为 闭3+1+44 域区书的8西于日为玉试飞小 19.(1)V5 RMo 【详解】(I)取线段B中点，连接CD,作CE/B,BE11AC,那么四边形ABEC为平行四边形， 因为48/1AB,所以CE1/AR,所以4，，C,E四点共面，即Ee平面ABC, 武达0片0 因为BE11AC,所以A,B,C,E四点共面，即E∈平面ABC ,08上)3,08La且，点中的( ·08=(098鹿平0倍面平，Q)8西平1 所以平面ACB∩平面ACB,=CE,即直线I为直线CE, .08面 因为AB/ICE,故点A到直线CE的距离等于点D到直线CE的距离 3上：，《8 因为三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均为2，所以△ABC为正三角形，1CD±√，，a·0点 又点D为AB中点，故CD⊥AB, 又ABIICE,故CD⊥CE, 所以点A到直线CE的距离等于CD=√5 C ,5(0-,0 5390 (2)连接4D,AB,那么因为三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均为2， 所以△ABC为正三角形，CD=√3， 又点D为AB中点，故CD⊥AB, 又AC⊥AB,AC∩CD=C,AC,CDc平面ACD 所以AB1平面ACD,又ADc平面ACD,所以AB⊥AD, 所在R40,A0号40-号40= 所以△A4B为正三角形，设A到平面ABC距离为h,那么 一= ，又AD=5, 所以AD⊥平面ABC, 以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DA为z轴，那么 3 D(0,0,0),A1,0,0),B(-1,0,0,A0,0,V5),C(0,-√5,0)， 由B=AB可得B(-2,05), 设平面ACB的法向量为元=(x出，乙)，平面ACC的法向量为乃=()， 平面ACC与平面ACB夹角为0，那么 元48=0.5=0 4C=0y=- ,取云=1，则元=(0，-，)， C℃=0nAA=0x=32 ,取=，则巧-(5，-1， z4C=0n4C=02=-22 0g0.01,001的05 cos0=lbos，网 1c) 信)=第M1 B 04 -1-S0=+0 自90=常餐市6的平5合器山 o行，。8本6X而开010-1面 经{0+公、人 8”直合0以原小 23写 这8.0预二04所 装00出通红平8 y9的