精品解析：河北邯郸市第二十五中学2026-2027学年上学期九年级第一次阶段学情检测数学试卷

邯郸市第二十五中学2026-2027学年第一学期数理诊断一 九年级 数学试卷 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．所以一元二次方程满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有，两个未知数，不符合定义，故A选项不符合题意； 选项B：方程是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故B选项符合题意； 选项C：方程中含未知数的项的最高次数为，是一元一次方程，不符合定义，故C选项不符合题意； 选项D：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故D选项不符合题意． 2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的一般步骤计算即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得． 3. 已知二次函数的图象开口向下，则a的值可能是（ ） A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．二次函数中，当时开口向上，当时开口向下，据此解答即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ， 则a的值可能是3， 故选：C． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 5. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设参加会议有x人，再根据等量关系“每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手”列方程求解即可． 【详解】解：设参加会议有x人，依题意得： ， 整理得：， 解得（舍去） 所以参加这次会议的有12人． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 6. 设是抛物线上的三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 7. 定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 8. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 9. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 10. 将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第（ ）个图． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形得出规律第个图的小圆个数为，由题意可得，再解方程即可得出结果． 【详解】解：由图可得： 第个图的小圆个数为， 第个图的小圆个数为， 第个图的小圆个数为， 第个图的小圆个数为， …， ∴第个图的小圆个数为， 由题意可得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第个图． 11. 已知二次函数（），当时，y的最小值为，则a的值为（ ） A. 6或 B. 或2 C. 或 D. 6或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质；先求出对称轴，再分两种情况讨论，当时，根据二次函数的图象和性质可知，当时，y有最小值，即可求出a的值，当时，根据二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小可知，当时，y有最小值，即可求出a的值． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数的对称轴为直线， 当时，此时当时，y有最小值，y最小=， ， 当时， ， 当时，y有最小值，y最小， ， 综上所述，a的值为或6， 故选：． 12. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点的个数为0； 乙：若，则点的个数为1； 丙：若，则点的个数为1. 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 【答案】C 【解析】 【分析】分别令x（4－x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数． 【详解】当b＝5时，令x（4－x）＝5，整理得：x2－4x＋5＝0，△＝（－4）2－4×5＝－6＜0，因此点P的个数为0，甲的说法正确； 当b＝4时，令x（4－x）＝4，整理得：x2－4x＋4＝0，△＝（－4）2－4×4＝0，因此点P有1个，乙的说法正确； 当b＝3时，令x（4－x）＝3，整理得：x2－4x＋3＝0，△＝（－4）2－4×3＝4＞0，因此点P有2个，丙的说法不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式． 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 14. 把抛物线先向下平移2个单位长度后，再向左平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：把抛物线先向下平移2个单位长度后，再向左平移3个单位后，所得抛物线的解析式为， ∴把抛物线先向下平移2个单位长度后，再向左平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是． 15. 已知，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根， 整理得， ∴． 16. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，，由题意可得，，则，，设，则，，表示出，，，，再结合，，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， ∵四边形为正方形， ∴、互相平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点A，C在抛物线上，点A，C两点的横坐标分别为m，， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：（本题共8小题，共72分．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，已知等式利用完全平方公式化简，再由完全平方公式的变形，代入计算即可求出的值． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 的取值范围是； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得， ，， ， 解得：， ， ． 19. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断下列一元二次方程为“C方程”的是__________； ①；②；③；④； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”． ①__________；（用含有b的代数式表示）②求代数式的最小值． 【答案】（1）①③ （2）① ② 【解析】 【分析】（1）根据定义，把各方程的常数项 作为 的值代入方程，能使等式成立的就是“C方程”； （2）把 代入 ，整理得 ，由 得 ；再代入 ，用配方法求最小值． 【小问1详解】 解：根据定义，把 （即方程中的常数项）代入各方程，看等式是否成立． ①在 中，，把 代入，左边 ，等式成立，是“C方程”； ②在 中，，把 代入，左边 ，等式不成立，不是“C方程”； ③在 中，，把 代入，左边 ，等式成立，是“C方程”； ④在 中，，把 代入，左边 ，等式不成立，不是“C方程”． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：①∵方程 是“C方程”， ∴把 代入方程，得 ， 即 ． ∵， ∴， ∴， 即用含 的代数式表示 ； ②把 代入，得 ． ∵， ∴当 时， 取得最小值 ， 此时 ，符合题意， ∴代数式 的最小值为 ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义及配方法求最值．理解“C方程”后，关键是把 代入方程，整理得 ，结合 求出 ；求 的最小值时，关键是将其配方为 ． 20. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，其中，． （1）对称轴为__________； （2）求抛物线的解析式； （3）当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性计算即可得出结果； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）将抛物线的解析式化为顶点式，从而可得抛物线的顶点坐标为，再分别求出和时的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中，， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，， ∴当时， y的取值范围为． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 22. 在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … （1）写出抛物线的顶点坐标； （2）求与的函数表达式； （3）当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 【答案】（1） （2） （3）小亮在此次投掷中没有得满分 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性结合表格判断即可； （2）依据题意，通过待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，将代入，求出的值与满分标准比较，进而判断得出答案． 【小问1详解】 解：观察表格数据：当和时，值都为， 根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴为这两个点横坐标的中点：， 再结合表格中时对应的，因此抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得，抛物线顶点为， 可设抛物线的解析式为， 根据表格中的数据，将代入，得， 解得， ， 即与的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（1）可得与的函数表达式为， 将代入， ， 则， 解得（不合题意，舍去）， 当铅球的投掷距离超过时，得分为满分，而， 小亮在此次投掷中没有得满分． 23. 已知二次函数，为常数． （1）当时，二次函数的顶点坐标为__________； （2）若当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，则的取值范围为__________； （3）若在该二次函数的图象上有一点，且点到轴的距离为，求点到对称轴的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，直接读出顶点； （2）先写出对称轴，根据增减性判断对称轴位置，列不等式求范围； （3）点到轴距离为，即或，结合函数最小值为，舍去，解方程求出，就是点A到对称轴距离． 【小问1详解】 解：二次函数， ，开口向上，顶点，对称轴：． 当时，顶点横坐标：，纵坐标． 顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由，函数图象开口向上， 函数在对称轴左侧（），随增大而减小； 在对称轴右侧（），随增大而增大． 则对称轴要落在和之间（包含端点）， ， ． 【小问3详解】 解：点到轴距离为， 或． 函数最小值是，取不到，舍去． 令： ， ， ， 又对称轴为， 点到对称轴距离． 点到对称轴的距离为． 24. 如图，已知二次函数的图象经过点，，与x轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． （1）__________； （2）若，求点P的坐标． （3）求线段的最大值． （4）在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将代入二次函数解析式计算即可得出结果； （2）由（1）可得二次函数的解析式为，求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，，表示出，，再结合计算即可得出结果； （3）由（2）可得，再结合二次函数的性质计算即可得出结果； （4）先由二次函数的对称性可得，则，从而可得，设点，则，再结合的面积等于的面积，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得二次函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点D在线段上运动（不与点O，点A重合）， ∴设点的坐标为， ∵过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得，， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问4详解】 解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过点，与x轴另一交点为点B， ∴由二次函数的对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴或， 当时，整理得， 解得（此时与点重合，不符合题意，舍去）或， 此时点的坐标为， 当时，整理得， 解得或， 此时点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市第二十五中学2026-2027学年第一学期数理诊断一 九年级 数学试卷 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象开口向下，则a的值可能是（ ） A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 5. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6. 设是抛物线上的三点，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第（ ）个图． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11. 已知二次函数（），当时，y的最小值为，则a的值为（ ） A. 6或 B. 或2 C. 或 D. 6或2 12. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点的个数为0； 乙：若，则点的个数为1； 丙：若，则点的个数为1. 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 14. 把抛物线先向下平移2个单位长度后，再向左平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是_________． 15. 已知，，，则_________． 16. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，，则_________． 三、解答题：（本题共8小题，共72分．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断下列一元二次方程为“C方程”的是__________； ①；②；③；④； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”． ①__________；（用含有b的代数式表示）②求代数式的最小值． 20. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，其中，． （1）对称轴为__________； （2）求抛物线的解析式； （3）当时，请直接写出y的取值范围． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … （1）写出抛物线的顶点坐标； （2）求与的函数表达式； （3）当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 23. 已知二次函数，为常数． （1）当时，二次函数的顶点坐标为__________； （2）若当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，则的取值范围为__________； （3）若在该二次函数的图象上有一点，且点到轴的距离为，求点到对称轴的距离． 24. 如图，已知二次函数的图象经过点，，与x轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． （1）__________； （2）若，求点P的坐标． （3）求线段的最大值． （4）在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $