河北保定市高碑店市部分校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知菱形的边长为5，则该菱形的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 2. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 3. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，嘉嘉用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量是否有三个角是直角 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 5. 如图，将菱形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下面是嘉琪同学习题中一道题的解题过程，则横线处的方程为（ ） 解方程：． 解：，_____， ． A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 由下面的与人工智能的对话可知，人工智能给出的正确答案为（ ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．深度思考中… A. B. C. 1 D. 或1 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt中，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 如图，在正方形中，为边上的点，过点作，交于点，分别作点和点关于的对称点点和点，得到四边形．下面两名同学的结论正确的是（ ） 嘉嘉：四边形的周长为定值． 淇淇：和的交点在上． A. 嘉嘉的结论 B. 淇淇的结论 C. 两人的结论都正确 D. 两人的结论都不正确 12. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若方程为一元二次方程，则_____． 14. 如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 15. 为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：如图，在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为米，则可得方程：_____． 16. 如图，在正方形中，是正方形内部一点，过点作于点，于点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系可不解方程判断方程根的情况． 例如：方程． ， 原方程有两个不相等的实数根． 设原方程的两个根分别为． ， 异号，且其中正根的绝对值大． （1）请不解方程，利用根与系数的关系判断方程的两根的正负情况． （2）已知是方程的一个根，请利用根与系数的关系求方程的另一个根． 19. 如图，在中，，为上一点，，，，，． （1）求证：四边形为矩形． （2）若为的中点，连接，求的长． 20. 如图，请用无刻度的直尺和圆规分别在边，，上取点，，，使得四边形是菱形． 嘉嘉的作法：①作平分． ②作的垂直平分线，分别交，于点，． ③连接，，则四边形即为所求． （1）根据嘉嘉的作法补全图形． （2）求证：四边形是菱形． 21. 某蛋糕店推出一款蛋糕盲盒，盲盒设计精美，且一人量蛋糕不浪费，深受青年购买者喜爱．蛋糕盒顶部设计如图所示，盒子顶部长为，宽为，装饰罗纹带的带宽相同，横竖两条罗纹带相互垂直，在交叉处粘贴一块正方形的祝福卡片，卡片的边长是罗纹带带宽的5倍，蛋糕盒顶部空白部分（罗纹带和祝福卡片覆盖之外的部分）的面积为． （1）求罗纹带的带宽． （2）已知该款蛋糕盲盒每个的成本为60元，当每个的售价为100元时，每天能销售20个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2个，为了推广宣传，商家决定降价促销．若要使每天销售获利1200元，并且要尽可能多地卖出蛋糕，则每个蛋糕盲盒的售价应降低多少元？ 22. 如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形． （1）如图1，过点作于点，过点作于点，求证：． （2）如图2，连接，，若，求的度数． 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点运动，过点作交于点，取的中点，连接，点在的右侧，四边形为平行四边形． （1）如图，当点在线段上时，若，求的长． （2）如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，求的长． （3）如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，且为的中点，请直接写出的长． 24. 一元二次方程的判别式，当的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．若该全整根方程的“关爱码”是，求的值． （2）关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，求该方程的“关爱码”． （3）已知一元二次方程是“全整根方程”．若方程是它的“全整根伴侣方程”，且均为正整数，请直接写出的值． 九年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 【11题答案】 【答案】C 【12题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】12 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】（1）方程有两个不相等的正实数根； （2）方程的另一个根为． 【19题答案】 【答案】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形． 又， ， 平行四边形为矩形． （2）10 【20题答案】 【答案】（1）如图所示，四边形即为所求 （2）证明：设的垂直平分线交于点． ∵平分， ∴． ∵、在的垂直平分线上， ∴ ， ，且，， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）． 【21题答案】 【答案】（1）罗纹带的带宽为 （2）每个蛋糕盲盒的售价应降低20元 【22题答案】 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵ 于点， 于点， ∴． ∵，， ∴． 又， ∴， ∴． （2） 【23题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【24题答案】 【答案】（1）或5 （2） （3）2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $