精品解析：河北保定市高碑店市部分校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知菱形的边长为5，则该菱形的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的四条边都相等解答即可. 【详解】解：∵菱形的边长为5，且菱形的四条边都相等， ∴菱形的周长. 故选：D. 2. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项； 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为． 3. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，嘉嘉用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量是否有三个角是直角 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，该方案错误． 选项B：两组对边分别相等只能判定这个四边形是平行四边形，不能直接得出它是矩形，该方案错误． 选项C：仅对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形的对角线也相等，该方案错误． 选项D：根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量出四边形有三个角为直角，就可以判定它是矩形，该方案正确． 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴． 5. 如图，将菱形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明是等边三角形，可得，再根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由平移的性质得：， ∴． 6. 下面是嘉琪同学习题中一道题的解题过程，则横线处的方程为（ ） 解方程：． 解：，_____， ． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将直接开平方得：，． 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图：连接交x轴于点D，根据正方形的性质得到，，，再确定点A的坐标即可． 【详解】解：如图：连接交x轴于点D， ∵正方形的顶点， ∴，，， ∵顶点A在第一象限， ∴顶点A的坐标是． 8. 由下面的与人工智能的对话可知，人工智能给出的正确答案为（ ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．深度思考中… A. B. C. 1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 10. 如图，在Rt中，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得，，求出，设，则，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵垂直平分， ∴，． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 设，则，． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即． 11. 如图，在正方形中，为边上的点，过点作，交于点，分别作点和点关于的对称点点和点，得到四边形．下面两名同学的结论正确的是（ ） 嘉嘉：四边形的周长为定值． 淇淇：和的交点在上． A. 嘉嘉的结论 B. 淇淇的结论 C. 两人的结论都正确 D. 两人的结论都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为1，得到，，，根据勾股定理得到，根据平行线的性质及等边对等角得到，设，根据勾股定理得到，根据轴对称的性质得到，，，，，，根据等边对等角及勾股定理得到，，可知，进而证明四边形是矩形，可知，得到四边形的周长为，是一个定值，嘉嘉的结论正确；根据矩形的性质得到和的交点在线段的垂直平分线上，可知淇淇的结论正确． 【详解】解：如图， 设正方形的边长为1， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∵分别作点和点关于的对称点点和点， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的周长为，是一个定值，嘉嘉的结论正确； 如图，设和的交点为， ∵四边形是矩形， ∴， 即O在线段的垂直平分线上， ∵分别作点和点关于的对称点点和点， ∴垂直平分， 即和的交点在上，淇淇的结论正确； 综上所述，两人的结论都正确． 12. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程得出，再将其代入即可解答； 【详解】解：是一元二次方程的根， 将代入方程可得：，整理得：， ∴． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若方程为一元二次方程，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，由此确定a的值． 【详解】解：由题意得， 解得． 14. 如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，且，证明是等边三角形，根据三线合一得到，根据三角函数求出，，​​根据等面积法求出，证明是的中位线，得到，证明，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵在菱形中， ∴，且． ∵菱形邻边相等，， ∴是等边三角形， ∴． 在中，，， ∴，，​​ ∵， ∴， 即， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 15. 为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：如图，在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为米，则可得方程：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆的半径为​米，然后根据绿植面积=圆的总面积正方形水池面积列方程即可． 【详解】解：∵正方形水池边长为米，从水池的上下边、左右边到圆周的距离均为3米， ∴圆的横向总直径=水池边长+左右两侧的间距，即米． ∴圆的半径为​米， ∴． 16. 如图，在正方形中，是正方形内部一点，过点作于点，于点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】证明为等腰直角三角形，可设，，则，，，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， 阴影部分的面积为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 18. 利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系可不解方程判断方程根的情况． 例如：方程． ， 原方程有两个不相等的实数根． 设原方程的两个根分别为． ， 异号，且其中正根的绝对值大． （1）请不解方程，利用根与系数的关系判断方程的两根的正负情况． （2）已知是方程的一个根，请利用根与系数的关系求方程的另一个根． 【答案】（1）方程有两个不相等的正实数根； （2）方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合根与系数的关系判断即可； （2）设方程的另一个根为，再根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程，， ∴方程有两个不相等的实数根， 设两根为， 根据根与系数的关系，，． 两数乘积为正说明两根同号，同时两数之和为正，因此两根均为正数， 即方程有两个不相等的正实数根； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可知， 解得． 19. 如图，在中，，为上一点，，，，，． （1）求证：四边形为矩形． （2）若为的中点，连接，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形． 又， ， 平行四边形为矩形． （2）10 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行先判定平行四边形，再有一个内角是直角，得到矩形． （2）先求，算出；再算出斜边；利用直角三角形斜边中线性质求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． 在中，，， 由勾股定理得 ． ，， ． ， ，是直角三角形． 在中， ． 是中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半， ． 20. 如图，请用无刻度的直尺和圆规分别在边，，上取点，，，使得四边形是菱形． 嘉嘉的作法：①作平分． ②作的垂直平分线，分别交，于点，． ③连接，，则四边形即为所求． （1）根据嘉嘉的作法补全图形． （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示，四边形即为所求 （2）证明：设的垂直平分线交于点． ∵平分， ∴． ∵、在的垂直平分线上， ∴ ， ，且，， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）． 【解析】 【分析】（1）按嘉嘉的作法，用尺规作出角平分线与的垂直平分线，确定点、、，顺次连结即可． （2）由角平分线得，由垂直平分线得、，再证得，从而四边相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某蛋糕店推出一款蛋糕盲盒，盲盒设计精美，且一人量蛋糕不浪费，深受青年购买者喜爱．蛋糕盒顶部设计如图所示，盒子顶部长为，宽为，装饰罗纹带的带宽相同，横竖两条罗纹带相互垂直，在交叉处粘贴一块正方形的祝福卡片，卡片的边长是罗纹带带宽的5倍，蛋糕盒顶部空白部分（罗纹带和祝福卡片覆盖之外的部分）的面积为． （1）求罗纹带的带宽． （2）已知该款蛋糕盲盒每个的成本为60元，当每个的售价为100元时，每天能销售20个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2个，为了推广宣传，商家决定降价促销．若要使每天销售获利1200元，并且要尽可能多地卖出蛋糕，则每个蛋糕盲盒的售价应降低多少元？ 【答案】（1）罗纹带的带宽为 （2）每个蛋糕盲盒的售价应降低20元 【解析】 【分析】（1）设罗纹带的带宽为，则正方形祝福卡片的边长为，根据题意列方程解答即可； （2）设每个盲盒售价降低元，根据“总利润单个利润销量”列方程解答即可； 【小问1详解】 解：设罗纹带的带宽为，则正方形祝福卡片的边长为， 根据题意可得， 展开整理得， 解得，（舍去负根）， 卡片边长，满足图形尺寸要求； 故罗纹带的带宽为； 【小问2详解】 解：设每个盲盒售价降低元，则单个利润为元，每天的销量为个， 根据题意可得：， 整理得：， 因式分解得， 解得，， ∵要求“尽可能多地卖出蛋糕”，销量随增大而增加， ∴选择更大的降价幅度， 故每个蛋糕盲盒的售价应降低20元． 22. 如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形． （1）如图1，过点作于点，过点作于点，求证：． （2）如图2，连接，，若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵ 于点， 于点， ∴． ∵，， ∴． 又， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形性质与旋转得、，用 证； （2）由旋转得且，先证是等边三角形，再由与求底角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 由图2可知，， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查正方形的旋转综合：旋转前后对应边相等、对应角相等；第（1）问利用同角的余角相等构造全等条件；第（2）问关键是发现是等边三角形，且的位置关系由图形确定，再用等腰三角形求底角． 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点运动，过点作交于点，取的中点，连接，点在的右侧，四边形为平行四边形． （1）如图，当点在线段上时，若，求的长． （2）如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，求的长． （3）如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，且为的中点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出矩形对角线的长，结合证得，再借助三角形中位线定理与勾股定理求的长度； （2）通过相似三角形得到线段比例关系，设，由平行四边形对角线互相平分确定点相关线段，再利用直线平分矩形面积必过矩形对称中心，构造相似三角形列方程求解； （3）当在上时，利用平行四边形性质确定点相关线段，结合直线过矩形对称中心构造相似，列方程求出的长． 【小问1详解】 解：在矩形中，， 由勾股定理，． ， ． ， ， ，即， ，． 过点作于点， 在中，为的中点，且， 由三角形中位线逆定理可得，为的中点， ，． 在中，， 由勾股定理：，即； 【小问2详解】 解：， ， ， 设， ，．， 过点作于点， 在中，为的中点，， 为的中点， ，． 四边形为平行四边形， ，． ，即， ，即、两点到的距离在同一水平线上，点到的距离为， 点到的竖直距离等于到的距离，即， 设矩形的对称中心（对角线交点）为， 则到的距离为，到的竖直距离为， 直线将矩形面积平分， 直线必过对称中心． 过作于，过作于， 则，， 在上，，，且，， 由相似三角形对应边成比例得，即， 化简左边：， ， ，两边同乘， 得， 解得， ，即； 【小问3详解】 解：设， 四边形为矩形，， ， ， ，在上，在上， ，且， 为的中点， 点到的距离为，点到的竖直距离为， 四边形为平行四边形， ，， 点到的距离为，点到的竖直距离与点相同，为． 设矩形对称中心为，则到的距离为，到的竖直距离为， 直线过点， 过作于，过作于， 则， 在上，，，且，， 由，得， 令，则， 即， ，解得， ， ，即． 24. 一元二次方程的判别式，当的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．若该全整根方程的“关爱码”是，求的值． （2）关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，求该方程的“关爱码”． （3）已知一元二次方程是“全整根方程”．若方程是它的“全整根伴侣方程”，且均为正整数，请直接写出的值． 【答案】（1）或5 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程中， 由题意得， 解得：， 则当或5时，该全整根方程的“关爱码”是； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 其中完全平方数只有， 当时，， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码”， 方程的“关爱码”， ∵方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ， 或， ∵均为正整数， ∴不合题意， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知菱形的边长为5，则该菱形的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 2. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 3. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，嘉嘉用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量是否有三个角是直角 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 5. 如图，将菱形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下面是嘉琪同学习题中一道题的解题过程，则横线处的方程为（ ） 解方程：． 解：，_____， ． A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 由下面的与人工智能的对话可知，人工智能给出的正确答案为（ ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．深度思考中… A. B. C. 1 D. 或1 9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt中，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 如图，在正方形中，为边上的点，过点作，交于点，分别作点和点关于的对称点点和点，得到四边形．下面两名同学的结论正确的是（ ） 嘉嘉：四边形的周长为定值． 淇淇：和的交点在上． A. 嘉嘉的结论 B. 淇淇的结论 C. 两人的结论都正确 D. 两人的结论都不正确 12. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若方程为一元二次方程，则_____． 14. 如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 15. 为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：如图，在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为米，则可得方程：_____． 16. 如图，在正方形中，是正方形内部一点，过点作于点，于点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系可不解方程判断方程根的情况． 例如：方程． ， 原方程有两个不相等的实数根． 设原方程的两个根分别为． ， 异号，且其中正根的绝对值大． （1）请不解方程，利用根与系数的关系判断方程的两根的正负情况． （2）已知是方程的一个根，请利用根与系数的关系求方程的另一个根． 19. 如图，在中，，为上一点，，，，，． （1）求证：四边形为矩形． （2）若为的中点，连接，求的长． 20. 如图，请用无刻度的直尺和圆规分别在边，，上取点，，，使得四边形是菱形． 嘉嘉的作法：①作平分． ②作的垂直平分线，分别交，于点，． ③连接，，则四边形即为所求． （1）根据嘉嘉的作法补全图形． （2）求证：四边形是菱形． 21. 某蛋糕店推出一款蛋糕盲盒，盲盒设计精美，且一人量蛋糕不浪费，深受青年购买者喜爱．蛋糕盒顶部设计如图所示，盒子顶部长为，宽为，装饰罗纹带的带宽相同，横竖两条罗纹带相互垂直，在交叉处粘贴一块正方形的祝福卡片，卡片的边长是罗纹带带宽的5倍，蛋糕盒顶部空白部分（罗纹带和祝福卡片覆盖之外的部分）的面积为． （1）求罗纹带的带宽． （2）已知该款蛋糕盲盒每个的成本为60元，当每个的售价为100元时，每天能销售20个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2个，为了推广宣传，商家决定降价促销．若要使每天销售获利1200元，并且要尽可能多地卖出蛋糕，则每个蛋糕盲盒的售价应降低多少元？ 22. 如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形． （1）如图1，过点作于点，过点作于点，求证：． （2）如图2，连接，，若，求的度数． 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点运动，过点作交于点，取的中点，连接，点在的右侧，四边形为平行四边形． （1）如图，当点在线段上时，若，求的长． （2）如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，求的长． （3）如图，当点在线段上时，若直线将矩形的面积分为相等的两部分，且为的中点，请直接写出的长． 24. 一元二次方程的判别式，当的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．若该全整根方程的“关爱码”是，求的值． （2）关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，求该方程的“关爱码”． （3）已知一元二次方程是“全整根方程”．若方程是它的“全整根伴侣方程”，且均为正整数，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $