精品解析：山东淄博市张店区淄博张店区第九中学2026-2027学年七年级上学期 数学阶段性测试 （2026.10）

初二数学10月限时训练 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；依次观察四个选项，选项B、C、D都能找到这样一条直线使对折后两边重合，而A找不到对称轴，所以A不是轴对称图形． 【详解】解：A、找不到任何一条直线，使图形沿直线对折后两边重合，不是轴对称图形； B、有3条对称轴，是轴对称图形； C、有2条对称轴，是轴对称图形； D、有3条对称轴，是轴对称图形． 2. 如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形高线的定义及三角板作高的操作，关键是理解“三角形的高是从顶点向对边作的垂线”，即边上的高需过点且垂直于，三角板的一条直角边应与重合，另一条直角边经过点B． 【详解】解：边上的高垂直于，且过点，由图形可得，选项A、C、D三角板的摆放位置不正确，选项B三角板的摆放位置正确． 故选：B． 3. 根据下列条件能画出唯一的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、 ，不能画出；故本选项不符合题意； B、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法． 根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，， ∴不是直角三角形， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C． 5. 若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 16或20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 【详解】解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 6. 如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则周长为（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明．利用已知条件证明，得到，从而，即可求得的周长． 【详解】解：是的平分线， 在和中， ， ， ， ， 的周长． 故选：B． 7. 已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得，点P是得中点，根据作图意义解答即可． 本题考查了中线与三角形的面积，尺规作图，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，得，点P是的中点， A. 作图是的垂直平分线，点P是的中点，符合题意； B. 作图是,点P不是的中点，不符合题意； C. 作图是是的平分线，点P不是的中点，不符合题意； D. 作图是，点P不是的中点，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和等，综合运用以上知识是解题的关键． 根据同角的余角相等即可判断①，根据角平分线的意义以及等角的余角相等即可判断②③，根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ， ， ， 又， ， 故②正确， ∵ ， ∵是的平分线， ， 故③正确， 为的高， ，， ∵根据已知条件无法判定与相等， ∴无法判定与相等， ∴结论不正确． 综上所述，正确结论的序号是①②③． 故选：B． 9. 如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【详解】解：如图，连接、，设的面积为， ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A. 105° B. 115° C. 120° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可． 【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图： 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， 在△ABG和△AB′G中， ， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G， AB＝AB′， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， 在△ABE′和△AB′E′中， ， ∴△ABE′≌△AB′E′（SSS）， ∴∠AE′B＝AE′B′， ∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°， ∴∠AE′B＝115°． 即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°． 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置． 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，即可求解． 【详解】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题主要考查了三角形，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 12. 在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于____________． 【答案】或 【解析】 【分析】设的垂直平分线交于D，交直线于E．由的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，知，再根据垂直平分线的性质得到，进而求出，最后利用等腰三角形的性质，分当点E在射线上时，当点E在射线上时，求解． 【详解】解：设的垂直平分线交于D，交直线于E． ∵的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． ∴． 在中，． ∵， ∴． 当点E在射线上时， ． 当点E在射线上时， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段垂直平行线．熟练掌握线段垂直平行线性质，等腰三角形性质，直角三角形锐角性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，分类讨论，是解题的关键． 13. 如图，的三边，，的长分别为20，24，12，点是三个内角平分线的交点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积公式．熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是，24，，进而求出面积比． 【详解】过点作于点，作于点，作于点， ，，是的三条角平分线， ， 的三边、、长分别为20，24，12， ： ： ：： ：： ． 故答案是：． 14. 如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），． 上述结论中始终正确的有______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的性质可得，判定①正确，等腰直角三角形的定义得到是等腰直角三角形，判定②正确；根据全等三角形的面积相等可得的面积等于的面积，然后求出四边形的面积等于的面积的一半，判定③正确，根据，只有当E与A或B重合时，．判定④错误． 【详解】解：∵，点P是的中点， ∴， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵，只有当E与A或B重合时，，故④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③． 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 作图题（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 已知：∠α，∠β，线段c． 求作：ABC，使∠A＝∠α，∠ABC＝∠β，AB＝2c． 【答案】 解：△ABC即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】先做射线AM，再以点A为顶点作∠A＝∠α，在AM上截取AB，使AB＝2c，最后以点B为顶点作做∠ABC＝∠β即可 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形的一些基本作法,解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 17. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 18. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠D＝∠B，ADBC．求证：DFEB． 【答案】 证明：∵AE=CF， ∴AF=EC． ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠BCE． 在△AFD和△CEB中， ， ∴△AFD≌△CEB， ∴∠AFD=∠BEC， ∴DF∥EB． 【解析】 【分析】先证明△AFD全等于△CEB，然后依据全等三角形的性质得到∠BEC=∠EFD，最后依据平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，找出AFD≌△CEB的条件是解题的关键． 19. 如图，和，边，相交于点，已知，． （1）请判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记等角对等边是解本题的关键； （1）先证明可得，从而可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合三角形的内角和定理与角的和差运算可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）， 得，， ∴， ∴， 即的度数为． 20. 如图，中，，平分交于点，为线段上一点，连接，且，若，，求的长． 【答案】10 【解析】 【分析】过点作于点，先证出，则，进而可得，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 21. 在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． （1）如图1，若，，则______，______°． （2）如图2，若，求的度数； （3）通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论． （1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数； （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，即可求出的度数； （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【小问1详解】 解：垂直平分， ． ． 同理， ． ， ． 故答案为：112；44； 【小问2详解】 解：垂直平分， ． ． 同理， ． ． 【小问3详解】 解：由（1）知当时， ． 由（2）知时， ， 综上，或． 22. 如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，把的周长分成相等的两部分？ （2）当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ （3）当t为何值时，的面积为？ 【答案】（1）6 （2）6.5 （3）或秒 【解析】 【分析】（1）先求出的周长为，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据“时间路程速度”即可求解； （2）根据中线的性质可知，点在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （3）分两种情况：①在上；②在上． 【小问1详解】 解：在中，∵， ∴的周长， ∴当把的周长分成相等的两部分时，点在上， 此时， ， 解得． 【小问2详解】 解：当点在中点时，把的面积分成相等的两部分， 此时， ， 解得． 【小问3详解】 解：分两种情况：①当在上时， ∵的面积， ， ， ， 解得：； ②当在上时， ∵， ∴的面积， ∴， ， 解得：； 故或秒时，的面积为． 23. 完成以下探究问题 （1）【基础巩固】如图1，在与中，，求证：； （2）【尝试应用】如图2，在与中，，B，D，E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点． ①求的大小； ②，求的面积； （3）【拓展提高】如图3，与中，，，，与交于点F，若，，的面积为18，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）①；②； （3）的长为6 【解析】 【分析】（1）先说明，再根据“边角边”可得答案； （2）①先说明，可得，再根据得出答案； ②作，证明，可得，再根据等腰三角形的性质得，进而求出，最后根据得出答案； （3）连接，同（2）得：，接下来说明，可得.进而得，然后根据，可得，则此题可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ∴， ∵点F为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 即的长为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学10月限时训练 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列条件能画出唯一的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 5. 若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 16或20 6. 如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则周长为（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ③④ D. ②③④ 9. 如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A. 105° B. 115° C. 120° D. 130° 二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是________． 12. 在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于____________． 13. 如图，的三边，，的长分别为20，24，12，点是三个内角平分线的交点，则______． 14. 如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 15. 如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），． 上述结论中始终正确的有______（填序号）． 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 作图题（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 已知：∠α，∠β，线段c． 求作：ABC，使∠A＝∠α，∠ABC＝∠β，AB＝2c． 17. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 18. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠D＝∠B，ADBC．求证：DFEB． 19. 如图，和，边，相交于点，已知，． （1）请判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 20. 如图，中，，平分交于点，为线段上一点，连接，且，若，，求的长． 21. 在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． （1）如图1，若，，则______，______°． （2）如图2，若，求的度数； （3）通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系． 22. 如图，在中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，把的周长分成相等的两部分？ （2）当t为何值时，把的面积分成相等的两部分？ （3）当t为何值时，的面积为？ 23. 完成以下探究问题 （1）【基础巩固】如图1，在与中，，求证：； （2）【尝试应用】如图2，在与中，，B，D，E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点． ①求的大小； ②，求的面积； （3）【拓展提高】如图3，与中，，，，与交于点F，若，，的面积为18，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $