第21章 二次函数与反比例函数单元练习题 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

沪科版九年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数单元练习题 一、单选题 1．下列函数中，值随值的增大而减小的是（　　）． A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，轴于点.若，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，二次函数 的图象与x轴交于点A（-1，0))和B（m，0)，且3<m<4，则下列说法：①b<0；②a+c=b；③b2>4ac；④2b>3c； 正确的是（　　). A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．②③⑤ 7．如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向下 B．当，y的值随x值的增大而增大 C．这个函数的最小值是3 D．一元二次方程没有实数根 8．已知点A（2，y1），B（0，y2），C（－2，y3）在二次函数的图象上，则 的大小关系是（　　） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 9．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，点A 的横坐标为1，点B 的横坐标为-2，当. 时，x的取值范围是(　　) A．x<-2或x>1 B．-2<x<0或x>1 C．x<-2或0<x<1 D．-2<x<0或0<x<1 10．如图，菱形中，，抛物线的顶点在菱形的边上或内部，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知反比例函数，当时，　 　． 12．若点都在反比例函数的图象上，将按照从小到大的顺序排列：　 　 ． 13．二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．下述结论：①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．这其中正确的结论是　 　．（填写番号） 14．如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时，　 　． 三、解答题 15．如图，反比例函数 的图象的一支在第一象限. （1）求k 的取值范围.有 求m 的取值范围. （2）在这个函数图象的某一支上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果. ，那么y1 和y2有怎样的大小关系? 16．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． （1）喷头离地面的高度是多少？ （2）水流喷出的最大高度是多少？ （3）若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 17．为缓解停车难的问题，贵阳市某小区利用一块长方形空地建一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为34米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． （1）求通道的宽是多少米； （2）该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金为500元时，求此时停车场的月租金总收入是多少元； ②当每个车位的月租金上涨时，停车场会有部分车位空置，所以物业部门拟把这些空置车位提供给到附近办事的人临时停车，经过调查发现每个空置车位每天平均收入10元（每月按30天算），则每个车位月租金上涨多少元时，停车场每月的总收入最高，最高是多少？ 18．在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+bx+c（b，c是常数）. （1）若该函数图象经过点（m， s），（6-m， t），且m+3. ①当s=t时，求b的值. ②当m<3时，s>t，求b的取值范围. （2）若该函数的最小值为2，求b+c的最小值. 19．材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． （1） 求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ （2） 求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值. 20．2025年10月26日下午，云南玉溪高原体育运动中心体育馆内，球迷们身穿玉昆队的球衣，手持旗帜和标语，为玉昆队加油助威．在本赛季最后一场主场比赛中，云南玉昆队以2∶0的比分战胜大连英博队，捍卫了“高体”主场不败的记录．某网店专门销售2024赛季云南玉昆队球衣，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，下图是y与x的函数关系图象，设网店每天的销售利润为w元． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 21．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数y= 的图象与反比例函数的图象交于A(a，-2)，B 两点. （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴的距离小于6，请根据图象直接写出n 的取值范围. 22．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）求出下边缘抛物线落地点B的坐标； 23．为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品。企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展. 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元) 试销单价 （元/件) 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量 q（件)可表示为：（q=360-4x； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等. 【问题解决】 （1）求“经典系列”在试销时的每日总利润， （2）求出信息二中x的值； （3）企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略。设“环保系列”的销售单价为t元/件（t≥40)，其每日总利润为w元。问每日的最大利润是否能超过4950元?如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线， 该抛物线的对称轴是直线， 故选：D． 【分析】 根据给出抛物线的解析式，直接求出该抛物线的对称轴. 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 【解析】【解答】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为，∵AC=3BC，∴B的横坐标为-a， ∵AB⊥y轴于点C，∴AB∥x轴，∴B（-a，）， ∵点B在函数y=（x＜0）的图象上，∴k=-a×=-1， 故选：A． 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，结合线段长度关系推导未知点坐标，进而求解比例系数。因为AB垂直于y轴，所以A、B两点的纵坐标相同，都等于点C的纵坐标。设点A的横坐标为（），代入可得纵坐标为。由，且点B在y轴左侧，可知点B的横坐标的长度是点A横坐标的且符号为负，即B点横坐标为，纵坐标与A点相同。将B点坐标代入，计算横纵坐标的乘积即可得到k的值。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：①由对称轴可知：，a<0， ∴b>0，故①错误； ②将(-1，0)代入y=ax2+bx+c， ∴a-b+c=0，故②正确； ③由题意可知：Δ=b2-4ac>0，故③正确； ④2b-3c =2(a+c)-3c =2a+2c-3c =2a-c， ∵a<0，c>0， ∴2a-c<0， ∴2b<3c，故④错误； ⑤将(m，0)代入y=ax2+bx+c， ∴am2+bm+c=0 ∴am2+bm=a-b ∴am2-a=-bm-b， ∴a(1-m)=b， ∴(b-c)(1-m)=b， ∴mb=c(m-1)， ∴ ∴，故⑤正确； 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案. 7．【答案】D 8．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：抛物线的对称轴为直线x=，抛物线开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则y的值越大， ， 故选： C. 【分析】由图象上的点离对称轴越远则y的值越大，即可求解. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：由图象可知，当y1<-2或0<1，故选C. 【分析】根据图象得到反比例函数的图象在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答. 10．【答案】C 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】①④⑤． 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得． ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 【分析】根据图象与轴交点个数可得，判断①；利用对称轴为可得，把点代入解析式得，即可得到，判断②；根据二次函数的对称性得到的对称点为，再利用时，y随x的增大而增大，得到，判断③；根据直线在二次函数的图象上方时二次函数图象不相交，即方程无实根，判断④；根据二次函数的图象与y轴的交点可得，根据求出，再根据顶点求出，求出内的取值范围判断⑤解答即可． 14．【答案】2 【解析】【解答】解：设，依题意得，可设，， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ， 当时， ∵点E在y轴负半轴上， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得： ∴， 当时， ∵点F在y轴负半轴上， ∴， ， 把代入，得， ， ， ， ． 故答案为：2． 【分析】设，依题意得，可设，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点P，A坐标代入解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点P，B坐标代入解析式可得，根据y轴上点的坐标特征可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 15．【答案】（1）∵反比例函数y＝的图象的一支在第一象限，∴k－2＞0，解得k＞2. （2）∵k－2＞0，∴反比例函数y＝在每一个象限内，y都随x的增大而减小. ∵x1－x2＞0，∴x1＞x2，∴y1＜y2. 16．【答案】（1）解：根据题意得，，当时，，∴喷头离地面的高度是米． （2）解：，∴二次函数的顶点坐标是， ∴水流喷出的最大高度是米． （3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，，∵， ∴，即当米时，水流不落在池外． 【解析】【分析】（1）喷头距离地面的高度，就是该二次函数图象与轴交点的纵坐标，代入计算即可得到结果； （2）水流的最大高度，就是这个抛物线顶点的纵坐标，整理二次函数解析式得到顶点式即可求解得到最大高度； （3）水池半径至少需要等于落点B到原点O的距离，才能让水流不落到水池外，因此令二次函数的函数值，求解得到自变量的正数值，就是OB的长度，即可得到结论. （1）解：根据题意得，，当时，， ∴喷头离地面的高度是米． （2）解：， ∴二次函数的顶点坐标是， ∴水流喷出的最大高度是米． （3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，， ∵， ∴，即当米时，水流不落在池外． 17．【答案】（1）解：设通道的宽为米. 根据题意，列方程为， 解得，. ∵当时，，不符合实际，舍去. ∴ 答：通道的宽是米. （2）①解：∵月租金上涨了（元）， ∴少租出的车位数为（个）， 租出的车位数为（个）. ∴月租金总收入（元）. 答：此时停车场的月租金总收入为元. ②解：设每个车位月租金上涨元（为正整数，）.则月租金为元，租出车位为个，空置车位为个. 根据题意，则有 ∵二次项系数，二次函数开口向下， ∴当时，取得最大值. 此时每个车位月租金上涨（元）. 答：每个车位月租金上涨元时，停车场每月的总收入最高，最高为元. 【解析】【分析】 (1)解题关键是理解"通道等宽"与停车位区域的关系——四周等宽通道使停车位区域的长、宽各减少，据此建立面积方程. (2)①直接由"每上涨10元少租1个车位"的比例关系算出少租车位数； ②是本题的核心与难点，需构建分段收入模型：租金上涨后既有"租出车位的租金收入"，又新增"空置车位的临时停车收入"，两者之和构成每月总收入关于上涨量的二次函数，通过配方求最大值. 18．【答案】（1）解：①解：当s=t时，(m，s)，(6-m，t)是一组对称点， 由抛物线的轴对称性可得， 对称轴为直线，解得. ②解：点(m，s)关于直线的对称点的坐标为(-m-b，s)， 因为m<3，所以m<6-m. 因为s>t，所以m<6-m<-m-b，解得b<-6 （2）解：当时，，得. 则， 所以当b=-2时，b+c取得最小值1 【解析】【分析】(1)①利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，通过两点纵坐标相等确定对称轴位置，进而求出参数b； ②通过比较两点函数值大小，结合开口方向分析点与对称轴的距离关系，转化为不等式求解b的范围； (2)利用二次函数顶点公式表示c，将b+c转化为关于b的二次函数，通过求顶点确定最小值. 19．【答案】（1）解：设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚， 由题意得， 解得， 答：A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； （2）解： ， ， 抛物线开口向下，当时，w随x的增大而增大， ， 当时，w有最大值，最大值为（元）. 答：当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 【解析】【分析】（1）根据题意，找出等量关系，列关于a和b的二元一次方程组，按照解二元一次方程解题步骤即可求出答案. （2）根据总利润=A的利润+B的利润，以及公式利润=每枚硬币的利润×枚数，列关于w和x的关系式，将其转化成顶点式二次函数的形式，利用开口方向向下有最大值，结合x的取值范围即可求出最大值. 20．【答案】（1） （2）销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 21．【答案】（1）解：点A(a，-2)在正比例函数上，代入得：，解得a=-6.因此点A的坐标为(-6，-2)． 设反比例函数为，将点A(-6，-2)代入得：，解得k=12. 故反比例函数的解析式为. （2）解：n的取值范围为n>2或n<-2. 【解析】【解答】解：（2）点P(m，n)到y轴的距离小于6，即|m|<6，根据反比例函数定义域m≠0，得-6<m<6且m≠0． 反比例函数的图象分布在第一，三象限： 当0<m<6时，图象在第一象限，y随x的增大而减小； 当m=6时，，因此n>2； 当-6<m<0时，图象在第三象限，y随x的增大而减小； 当m=-6时，，因此n<-2． 综上，n的取值范围为n>2或n<-2. 【分析】(1)先将点A(a，-2)的纵坐标代入正比例函数解析式，求出点A的横坐标为-6，确定点A坐标为(-6，-2)；再设反比例函数解析式，将点A(-6，-2)代入，利用待定系数法求出反比例函数的比例系数k，进而得到解析式； (2)先根据“点到y轴的距离小于6”得出m的取值范围-6<m<6且m≠0；再结合点P在反比例函数图象上，将m用n表示，分m>0和m<0两种情况解不等式，最终确定n的取值范围为n>2或n<-2． 22．【答案】（1）， （2） 23．【答案】（1）解：“经典系列”试销时， 单件利润为 60-40=20 (元) ∵日销量为 200件 ∴每日总利润为20×200=4000(元) 答：“经典系列”在试销时的总利润为4000元 （2）解：根据题意得： (x-20)(360-4x)=4000 解得： ∵让利于民 ∴x的值为40 （3）解：w=(t-20)(360-4t)=-4(t-55)2+4900· ∵t≥40 ∴当t=55时， 答：每日的最大利润不能超过4950元. 【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×总销售量列式计算即可求出答案. （2）根据总利润=单件利润×总销售量建立方程，解方程即可求出答案. （3）根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $