第21章 二次函数与反比例函数 单元练习题 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级数学上册第21章单元卷，聚焦二次函数与反比例函数核心知识，通过生活情境（如停车场利润、掷实心球轨迹）与数学建模（喷泉设计）题，培养抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|二次函数平移（第1题）、顶点坐标（第2题）、图像交点（第4题）|基础概念辨析，强化几何直观| |填空题|4|反比例函数性质（第11题）、平移变换（第12题）|聚焦易错点，提升符号意识| |解答题|10|利润问题（第17题）、运动轨迹（第22题）、喷泉设计（第24题）|生活情境与数学建模结合，发展应用意识与创新思维|

沪科版九年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数单元练习题 一、单选题 1．将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中，对应图象的顶点坐标是的是（　　） A． B． C． D． 3．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（　　） A． B． C． （C和B重复了） D． 4．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8 5．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 6． 若A(m-5，y1)，B(m-1，y2)，C(m+5，y3)(其中1<5)都在反比例函数. 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A． B． C． D． 7．如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式.图2中，发球机从中线OB的端点O的正上方0.25m处的A点发球，乒乓球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M，其高度为0.45m，以O为原点，OB，OA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.记图2中球的落点为点E，则OE的长为（　　） A．2.5m B．2.7m C．2.4m D．2.6m 9． 已知点和点均在反比例函数 (k是常数， )的图象上，下列结论正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则　 　． 12． 若将抛物线 向下平移m(m>0)个单位，向左平移n(n>0)个单位后得到的抛物线的表达式为y=2x2，则m+n=　 　 13．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．则以下结论：①；②和2是关于的方程的两个根；③；④．其中正确结论的序号为　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是　 　． 三、解答题 15．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积V（单位：）变化时，气体密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求密度ρ关于体积V的函数解析式； （2）当时，求二氧化碳的密度ρ； （3）当时，求V的取值范围． 16．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线在第一象限交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求点A的坐标及k的值； （2）连接，若四边形的面积为时，求a的值． 17．社区利用一块矩形空地建了一个小型的便民停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． ①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10080元？ ②求此停车场的月租金收入最多为多少元？ 18．如图，是一次函数与反比例函数图象的两个交点． （1）求m和n的值． （2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 19．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 20．等腰三角形对称且美丽．定义：若抛物线与直线（直线上点的纵坐标为）有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形仅是等腰三角形（顶角非直角），则称抛物线为该直线的“美丽抛物线”；若是等腰直角三角形，则称抛物线为该直线的“最美抛物线”． 已知：在平面直角坐标系中，已知二次函数． 探究（一） （直线为轴） （1）若，求抛物线顶点的坐标；判断它是该直线的“__________抛物线”； （2）当抛物线是该直线的“最美抛物线”时，求出的值； （3）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”时，直接写出的取值范围__________； 探究（二） （4）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”，且构成的等腰三角形顶角是钝角时，直接写出的取值范围__________． 21．如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： （1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ （2）出发多少时间时，的面积为？ （3）的面积是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 22．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为米，当水平距离为米时，实心球行进至最高点米处．宁波市中考掷实心球得分标准如下表． 表：宁波市中考掷实心球得分标准 掷实心球（米） 9.80 9.20 8.60 8.00 7.40 6.80 6.20 5.60 5.00 4.40 分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 （1）求图中抛物线的解析式； （2）根据宁波市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分； （3）体育老师认为该同学只要提高出手点米且保持原抛物线形状不变（即抛物线向上平移米）就可以满分了，请判断老师的说法是否正确? 23．已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+1﹣2m（m为常数）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）． ①求该抛物线的解析式； ②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于3t＜x1＜3t+2，都有y1＞y2，求t的取值范围； （2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+1﹣2m≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+1﹣2m与直线y＝5交于M，N两点，求MN的长． 24．背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． （1）【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离． （2）【优化设计】 社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比． 如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设计喷泉的是否达到美观效果． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：将先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是， 故选：A． 【分析】 二次函数图象的平移变换规则“左加右减，上加下减”． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A、 可写成 ，对应 ，，顶点坐标为 ，A符合题意； B、 对应 ，，顶点坐标为 ，B不符合题意； C、 对应 ，，顶点坐标为 ，C不符合题意； D、 对应 ，，顶点坐标为 ，D不符合题意； 故答案为：A。 【分析】这道题的核心是二次函数顶点式 （）的顶点坐标规律，直接对照公式读取顶点坐标 即可选出正确选项。 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】A 【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，抛物线过(-1，0)，(0，6)，(3，0)， ∴ 解得， ∴二次函数的解析式为y=-2x2+4x+6. 故答案为：A. 【分析】根据待定系数法求解二次函数解析式即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵点y3)(其中1<5)都在反比例函数 的图象上，k=-5<0， ∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，y随着x的增大而增大， 故答案为：B . 【分析】由反比例函数的解析式可得反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而增大，结合1<5得出 即可得解. 7．【答案】B 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得，抛物线经过点（0，0.25），顶点为（1，0.45）， ∴设设抛物线表达式为y＝a（x−1）2＋0.45（a≠0）， 则有a＋0.45＝0.25， 解得：a＝−0.2， ∴抛物线的表达式为y＝−0.2（x−1）2＋0.45， 当y＝0时，−0.2（x−1）2＋0.45＝0， 解得：x1＝2.5，x2＝−0.5， ∴点E的坐标为（2.5，0），即OE长为2.5， 故答案为：A． 【分析】先利用待定系数法求出函数解析式y＝−0.2（x−1）2＋0.45，再将y=0代入解析式求出x的值即可得到点E的坐标，从而可得OE的长. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵反比例函数 中，k＞0， ∴图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小， 当m＜0时，点A（m-1，y1）、B（m，y2）均在第三象限，y2＜y1＜0，故A选项错误，不符合题意； 当0＜m＜1时，点A（m-1，y1）在第三象限，B（m，y2）在第一象限，y2＞0＞y1，故B选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意； 当m＞1时，点A（m-1，y1）、B（m，y2）均在第一象限，0＜y2＜y1，故D选项错误，不符合题意； 故答案为： B. 【分析】根据反比例函数的解析式得到反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，再结合m的取值范围，逐项分析即可求解． 10．【答案】B 【解析】【解答】解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点， ，两点关于直线对称， ， ， 结论①正确； 直线是二次函数对称轴， ，即， ， 由函数图象可知，该二次函数开口向上，， ， 结论②错误； 该二次函数与轴有两个交点， ， 由图可知，当时，， 即，， ， ， 即， 结论③正确； ，即， ， ， ，即， ， ， ∴不一定正确， 结论④错误； 综上，正确结论为①③，共个． 故答案为：B． 【分析】由抛物线的轴对称性可得A、B两点关于直线x=1对称，故A、B两点到直线x=1的距离相等，从而根据x1的取值范围判断出x2的范围，从而即可判断①；由抛物线的对称轴直线公式可得b=-2a，代入3a+2b得3a+2b=3a-4a=-a，由抛物线的开口向上得出a＞0，则-a＜0，据此可判断②；由抛物线与x轴有两个不同的交点得b2-4ac＞0，由图象上点的坐标特点得当x=-1时y=a-b+c＜0，进而可推出a+c＜b=-2a＜0，再结合不等式性质可判断③；由前面推理过程可得b-c＞0，再根据不等式性质得3b-c＞2b，再结合b＜0可判断④. 11．【答案】 12．【答案】4 【解析】【解答】解： 把抛物线分别向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度可得抛物线 故答案为：4 . 【分析】二次函数图象的平移变换规律：上加下减、左加右减. 13．【答案】①②③ 14．【答案】4 15．【答案】（1） （2）二氧化碳的密度 （3） 16．【答案】（1）， （2） 17．【答案】（1）解：设道路的宽为米， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽是6米； （2）解：①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元，根据题意得：， 整理，得：， 解得：， 答：每个车位的月租金上涨10元或40元时，停车场的月租金收入为10080元； ②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元， 根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为10125． 答：此停车场的月租金收入最多为10125元． 【解析】【分析】 （1）设道路的宽为米，根据阴影部分的面积等于一个长，宽为的长方形面积建立方程求解即可； （2）①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元，则每个停车位的租金为元，租出的停车位为个，据此根据总租金为10080元建立方程求解即可； ②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元，同①可列出y关于b的代数式，再利用配方法对y进行变形，最后由完全平方式的非负性求解即可． （1）解：设道路的宽为米， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽是6米； （2）解：①设月租金上涨元，停车场的月租金收入为10080元， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：， 答：每个车位的月租金上涨10元或40元时，停车场的月租金收入为10080元； ②设月租金上涨元，停车场的月租金收入为元， 根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为10125． 答：此停车场的月租金收入最多为10125元． 18．【答案】（1） （2）或 19．【答案】（1） （2）该商品日销售利润的最大值为6250元 （3） 20．【答案】（1）；美丽；（2）；（3）且；（4）或 21．【答案】（1）解：，∴， 由题意，得：， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：出发2秒时间时，点P，Q之间的距离等于 （2）解：由题意得：， 解得：或； 答：当出发秒或秒时，的面积为； （3）解：的面积有最大值； ， ∴当时，面积最大为． 【解析】【分析】 （1）根据题意，设出发时间为ts，表示出CP、AQ、CQ，再利用勾股定理列出方程进行求解即可； （2）利用面积公式，列出方程进行求解即可； （3）利用面积公式，列出的面积关于出发时间t的函数关系，再根据二次函数的性质进行求解即可． （1）解：， ∴， 由题意，得：， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：出发2秒时间时，点P，Q之间的距离等于 （2）由题意得：， 解得：或； 答：当出发秒或秒时，的面积为； （3）有最大值： ， ∴当时，面积最大为． 22．【答案】（1）解：∵掷出时，起点处高度为米，当水平距离为米时，实心球行进至最高点米处，∴抛物线过，且顶点为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入得，解得， ∴抛物的表达式为：； （2）解：令，可得，解得：，（舍去）， ∵， ∴根据表格可得，此次得分为9分． （3）解：提高出手点后的抛物线解析式为：， 即：， 令，可得， 解得，（舍去）， ， ∴此同学调整后可以得满分，老师说法正确． 【解析】【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式； （2）令，求出x的值，解题即可； （3）利用平移规律求出提高出手点米解析式，然后得到与轴交点横坐标，再比较解题． （1）解：∵掷出时，起点处高度为米，当水平距离为米时，实心球行进至最高点米处， ∴抛物线过，且顶点为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入得，解得， ∴抛物的表达式为：； （2）解：令，可得， 解得：，（舍去）， ∵， ∴根据表格可得，此次得分为9分． （3）解：提高出手点后的抛物线解析式为：， 即：， 令，可得， 解得，（舍去）， ， ∴此同学调整后可以得满分，老师说法正确． 23．【答案】（1）解：①将(0，-1)代入y＝x2+（2m+3）x+1﹣2m得1-2m=-1，得m=1， 故抛物线解析式为； ②抛物线开口向上，且对称轴为直线x=-2.5， 当x<-2.5时，y随x的增大而减小，当x>-2.5时，y随x的增大而增大， 点B(2，y2)关于对称轴对称的点为B'(-7，y2)， 3t＜x1＜3t+2，都有y1＞y2 故3t+2<-7或3t>2，得. （2）解： 由x2+（2m+3）x+1﹣2m≥3x+2 得总成立，故 即有得m=-1，此时抛物线解析式为 令y=5，得即，解得x1=1，x2=-2， 于是MN=3. 【解析】【分析】(1)①将点(0，-1)代入抛物线解析式可得m的值，即得抛物线解析式； ②由解析式知开口方向和对称轴，结合函数草图和二次函数的对称性，可得t的范围； (2)由条件知总成立，得，即m=-1，可得抛物线解析式，令y=5可得x的值，即可得MN的长. 24．【答案】（1）解：如图， 设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，， ∴， ∵抛物线过（0，2.25）， ∴解得， ∴， 当y=0时，解得，（舍） ∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米. ∴抛物线的函数表达式为，，喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米. （2）解：如图， 设此抛物线的解析式为：，根据题意得：， ∴ ∵抛物线过，， ∴解得：， ∴， 当时，，解得，， ∴Ａ（-0.5，0），Ｄ，5.5，0）， ∴， ∴BC=OD=5.5+0.5=6，AB=3.6， ∴， ∵0.6接近0.618， ∴该小组所设计喷泉的达到美观效果. ∴优化后抛物线的函数表达式为，该小组所设计喷泉的达到美观效果. 【解析】【分析】（1）设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，，再根据抛物线过（0，2.25），可得，当y=0时，解得，（舍）可得喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米. （2）设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，根据抛物线过，，得，可得，当时，，解得，，进一步得，即可得答案. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $