河南驻马店市华师联盟2027届高三上学期10月质量检测数学试题

机密★启用前 高三10月质量检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合A={x∈N|-1<x<5},集合B={x|x≥0}，则A∩B= A.[0,5) B.(-1,+o) C.{0,1,2,3,4} D.(1,2,3,4) 2.已知p:x>y,q:x3>y3,则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知f(x+1)=x2+4x十6，则f(2)= A.6 B.5 C.8 D.9 4.若一个扇形的圆心角为200，周长为9x十4，则该扇形的半径为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知函数f(x)= 2。则2 32,x≤0 A.-4 B.4 c-是 D 6.不等式(x+1)2(x2一5x+6)>0的解集为 A.（-∞，2)U(3,+∞) B.(-∞，-1)U(-1,2)U(3,十∞) C.(-∞，1)U(5,+∞) D.(-∞，-1)U(-1,1)U(5,+o∞) sin(2a-23) 7.若sin(a十B)+3cos(e+)=4sin(否-a)sinB,则2cos2(a-B-3sim(a-g) A.-5 B.23 C.3 D.-23 7 高三数学试题第1页（共4页） 8.已知函数y=f(x)的定义域为(0，十∞)，Vx,y∈(0，十o),恒有f(x)=f+f2, y 且当>1时，f(r)>0,则不等式)>f2x+8》的解集为 2x+81 x2 A.(-4,-2)U(4,+∞) B.(-∞，-2)U(4,+∞) C.（-4,2) D.(-2,4) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是 A.已知角a的始边为x轴非负半轴，终边上有一点(-3,4)，则tan(a十买)=一号 B.函数y=1og2(一x2+4x)的单调递增区间为（一oo,2) C.若a>b,d>c,则a-c>b-d D.已知函数f(x)=一x3十ax2为奇函数，则f(1)=1 10.已知函数f(x)=2sin(wx十p)(w>0,|p|<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确 的是 A.p=-2 3 B.=受是函数八的一条对称轴 Cf(x)在区间[一径，一]上单调递减 D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度之后所得图象关于y轴对称 11.已知函数f(x)=ax3+bx2十cx十d,当且仅当x∈(-∞，1]U{4)时，f(x)≤0，且函数 f(x)的极大值为4，则 A.a=1 B.当1<x<2时，f(x)<f(x) C.当2<x<4时，f(x)<f(8-x) D.若关于x的方程f(x)=m有三个不相等的实数根，x2,x3,则x1十x2十∈(8,10) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.命题p:Vx∈(0，十∞)，x2一x十1>0，则命题p的否定为 13.已知函数f(x)=e2一ax-1,若f(x)<0有且只有1个整数解，则实数a的取值范围是 14.已知>0,6>0，且7a2+0=(5+名)5-若》，则110+号的最小值为 高三数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)= /=c0s2z+23cos2号，x∈[0，m]. (1)求函数f(x)的最值及相应的x值； (2)求函数f(x)的单调递增区间. 16.(本小题满分15分) 已知函数f()=x一alnx+2a,其中a≠0. (1)当a=1时，求函数y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 17.（本小题满分15分) 已知a>0,b>0,且ab=1. (1求。+号的最小值： (2)求a十b-a2一b2的最大值； (3)求a+116+3的最小值. 1+b 高三数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=|x一1|十|x十a|,若函数f(x)的图象关于直线x=2对称. (1)求a的值； (2)若集合A=(x|f(x)≤f(x十5))，求集合A; (3)若函数g(x)=[f(x)]2一mf(x)十6有且仅有两个零点x1,x2,且x1<x2,0<x1<1 时，求实数m的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e2十ax. (1)讨论函数f(x)的零点个数； (2)Ha∈(0，十∞)，对应关系g使函数f(x)的零点xo与a对应，记作：xo=g(a). (i)证明：x=g(a)是函数，并讨论该函数的单调性； i的证明：含g(+D≤号(1-m中-m 高三数学试题第4页（共4页）高三10月质量检测·数学 参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 C C A B D B B A 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.【答案】C 【解析】因为集合A={x∈N|一1<x<5}={0,1,2,3,4},又因为集合B={x|x≥0}，所以A∩B= {0,1,2,3,4},故选C 2.【答案C 【解析】令f(x)=x3,则f(x)=3.x2≥0在R上恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增.所以当x>y时， 则有f(x)>f(y),即x3>y;若x3>y3,即f(x)>f(y),所以x>y.所以p是q的充要条件.故选C 3.【答案】A 【解析】因为f(x十1)=(x十1)2+2(x+1)+3,即f(x)=x2+2x+3,则f(x)=2x十2，所以f(2)= 6,故选A. 4.【答案】B 【解析】因为20”=8贺=吕，设扇形的半径为，则扇形的弧长为号，由题意得：日十2=29+ 9 4,解得r=2,故选B. 5.【答案】D 【解析】因为（合）-1og弓<0，所以f[f(侵)门-f(og后号)-3-3%+-子，故选D. 6.【答案】B x+1≠0 【解析】原不等式等价为：5x十6>0解得：x<2且x≠-1或x>3,所以解集为：（一∞，-1）U (-1,2)U(3,十∞)，故选B. 7.【答案】B 【解析】因为sin(a+)+v3cos(a+B)=4sin(吾-a)小sinB,所以2sin(e+p+号)=4sin(否-a小sin,即 sin(a++）=2cos(a+)sinB,所以sin(e++晋）=sin[(e+)+月]=sin(e+号)osB+ cos(a+号)sinB-2cos(a+5)sinA,即sin(a+号)osB=cos(a+号)sinA,即tan(a+号）=tan,所 以a+号=叶kx,k∈Z,即a-g=-号k∈Z,所以tan(a一)=-5.则2co。"B23品a-月 sin(2a-2β) 2sin(a-B)cos(a-B) 2气》-三25-29放连B -2 cos (a B)3 sin (a B 2-3 tan (a A)29 8.【答案】A 【解析J因为Vx,y∈(0，十o0),恒有f(xy)=巴+f2,即Vx,y∈(0，十oo),恒有f(xy)= xf(x)十yf(y),令g(x)=xf(x),x>0,则有Hx,y∈(0，+∞)都有g(xy)=g(x)十g(y),因为当x> 1时，f(x)>0,所以gx)=xfx)>0,设x1>>0,则gx)-g)=8(层·x)-g)=8(得》 +8,)-g()=g(图）因为>x>0,则2>1，所以g(图)>0，所以gm)-g()>0,所以函 高三数学试题参考答案第1页（共6页） 数g(x)在0，十∞)上单调递增，因为>2士8》，因为函数f)的定义域为(0，十o0),所以 2+8g0则不等式经8>2可转化为：fr)>(2x+8)/2x+8,即5)> |x2>0 (x2>0 g(2x十8)，因为g(x)在(0，十∞)上单调递增，所以2x十8>0，解得一4<x<-2或x>4,故选A. x2>2x+8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】AC 【保标时A因为角e的终边上有一点（一所以=专周e(e+号》一品十 4 3 3 一子，所以A正确； 对B,令t=一x2十4x,y=log2l,因为y=log2l单调递增，所以y=log2(-x2+4x)的单调递增区间即 为t=一x2十4x的单调递增区间，且保证>0，所以函数y=log2(一x2十4x)的单调递增区间为：(0， 2),所以B错误； 对C,因为a>b,d>c,所以a十d>b十c,则有a-c>b-d,所以C正确； 对D,,f(x)是奇函数，∴f(x)十f(-x)=0,-x3十ax2+x3+ax2=0,2ax2=0,得a=0,∴.f(x)= 一x3,f(1)=一1，所以D错误.综上，故选AC. 10.【答案】BCD 【解析】对A,由图可知，函数f(x)的图象过点0，-5)，所以2in=-万，即sin9=-,因为p <元，根据与y=sinx图象对应，可得p=一号，所以A错误； 对B,由对A分析可知f(x)=2sin(ax一号），由图可知，函数f(x)的图象过点(，0），且与函数y simx图象对应，得行。吾=，则w=2,则fx)=2sin(2x-）因为f(晋)=2sim(2×晋-吾) 2n受=-2，所以x-受是函数✉)的一条对称轴，所以B正确： 对C,因为fx)=2sin(2x-号）xe[-役-]：令1=2x-号∈[-经，-受]，因为y=sin1在 [-受，-受]上单调递减，所以fx)=2sin(2x-音)在[-登，-登]上单调递减，所以C正确： 对D,将函数f(x)的图象向左平移受个单位长度之后得到的函数为：g(x)=2sin[2(x+）一号] 2sin(2x+)=2cos2x,因为g(x)=2cos2z是偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以D正确.综 上，故选BCD. 11.【答案】ACD 【解析】对A,由题意可知，f(x)=a(x-1)(x-4)2,且a>0,则f'(x)=a(x-4)2十2a(x-1)(x一4) =a(x-4)(x-4十2x-2)=3a(x-4)(x-2),令f(x)=0,则x1=2,x2=4,当x<2或x>4时， f(x)>0;当2<x<4时，f(x)<0;所以函数f(x)的单调递增区间为：(-∞，2)，(4，十∞)，单调递 减区间为：(2,4)；当x=4时，函数f(x)取极小值，且极小值为0；当x=2时，函数f(x)取极大值，且 极大值为f(2)=4a,又因为极大值为4，所以4a=4,解得a=1,所以A正确； 对B,因为1<x<2,所以1<W元<x<2,因为函数f(x)在(1,2)上单调递增，所以f(√：)<f(x),所 以B错误； 对C,因为f(x)=(x-1)(x-4)2,则f(x)=3(x-4)(x-2),令g(x)=f(x)一f(8-x),2<x<4, 则g'(x)=f(x)+f(8-x)=3(x-4)(x-2)+3(8-x-4)(8-x-2)=6(x-4)2≥0，所以g(x) 在(2,4)上单调递增，因为2<x<4,所以g(x)<g(4)=0,即f(x)<f(8-x),所以C正确； 高三数学试题参考答案第2页（共6页） 对D,作出函数f(x)的大致图象，如图所示，其中f(5)=f(2) =4.由图可知，当0<m<4时，关于x的方程f(x)=m有三个 不相等实根x1,x2,x3,设x1<x2<x3,则1<x1<2<x2<4< x<5.由选项C可知，当2<x<4时，f(x)<f(8-x),因为2 <x2<4,所以f(x2)<f(8一x2),又因为f(x2)=f(x3),则 f(x3)<f(8-x2),因为4<x3<5,4<8-x2<6,且函数f(x) y=m 在(4，十∞)上单调递增，所以x3<8-x2,即x2十x3<8,因为1 <x1<2,所以x1十x2十x3<10;下面证明x1十x2>4.即证x2 1x12x24x5 >4-x1,因为1<x1<2,2<4-x1<3,2<x2<4,且f(x)在 (2,4)上单调递减，即证f(x2)<f(4-x1),又因为f(x2)=f(x1),即证f(x1)<f(4一x1),即证f(x) <f(4-x),1<x<2,令h(x)=f(x)-f(4-x),1<x<2,则h'(x)=f'(x)+f'(4-x)=3(x-4)(x 一2)+3(4-x-4)(4-x-2)=6(x一2)2≥0，所以函数h(x)在(1,2)上单调递增，因为1<x<2,所 以h(x)<h(2)=0,所以x1十x2>4成立，因为4<x3<5,所以x1十x2十x3>8.综上，x1十x2十x3∈ (8,10),所以D正确.综上，故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】3x∈(0，+∞)，x2-x+1≤0. 13.【答案(e-1,2]U[7-01-) 【解析】因为f(x)<0有且只有1个整数解，即e<ax+1有且只有1个整数解，因为当a=1时，e≥ x十1恒成立，所以不符合题意；当a>1时，在同一坐标系中，作出函数y=e与y=ax十1的图象如 下图1所示，则<a+1只雀有且只有一-个数解1，即侣e部得：一1Ka<号：当0C。 <1时，在同一坐标系中，作出函数y=e与y=ax十1的图象如下图2所示，则e<ax十1只能有且 -a+1> 只有一个整数解一1，则有 e -0<a<1-。当a<0时，由下图3可知，e<ax十 ,即 -2a+1≤3 1有无穷多个整数解，不符合题意.综上，实数a的取值范围为：(e-1,]U[2一01-日) y=a.x+ y=ax+1 图1 图2 图3 14.【答案】20 【解析】因为7公2+2-(5+古)(5-号）所以7公+兽=25-，即7+器+京=25， 则a+2+号+2=25，所以7a(a+号)+(a+2)=(a+号)(1a+云)=25， 即(4a+告)(7a+方)=25×4=10， 所以11a+8=(4a+若)+(a+若)≥2√4a+)(7a+云)=21o0=20, 当且仅当4a+号-7a+云，即a=云时等号成立，又因为7公2+0+存=25，即a-号，b=号时等号成 立，所以1a+号的最小值为20， 高三数学试题参考答案第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.【答案】1)x=元时，函数f(x)取最小值，且最小值为0；x=否时，函数f(x)取最大值，且最大值为 2+5(2)[0,晋] 【解析】(1)因为x∈[0，π]， 所以f(x)= /egzZ+25cos2音=V5m元+25×1十9s2=sinx+Bc0sx+5 2 =2sin(x+）)+3, 3分 因为x∈[0，]，所以x+5∈[号，5]， 4分 所以当x十号=弩，即x=元时，函数fx)取最小值，且最小值为0… 6分 当x+号=受，即x=时，函数f(x)取最大值，且最大值为2+3； 8分 (2)令2kr-吾<x+晋≤2kx+受，k∈Z.即2kx-晋≤x≤2km十音k∈Z,…10分 因为x[0,小，所以函数x)的单调递增区间为：[0，音] .…13分 16.【答案】(1)2x+y-5=0（2)当a>0时，单调递减区间为：(0,2a),单调递增区间为：(2a,+∞)；当a <0时，单调递减区间为：(0，一a),单调递增区间为：（一a,十∞） 解折】I)当a=1时，f（)=x-nx计， 所以f(x）=1-是，则f(1)=3,f(①)=-2，…3 3分 所以函数y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y一3=一2(x-1),即2x十y-5=0;…5分 f)=19-g--eg-2必-22+0 (2)定义域为：(0，十∞)，……6分 8分 当a>0时，因为x>0,所以x十a>0,令f'(x)=0,得x=2a, 当0<x<2a时，f(x)<0;当x>2a时，f(x)>0,… 10分 所以函数f(x)的单调递减区间为：(0,2a),单调递增区间为：(2a,十∞)；…11分 当a<0时，因为x>0,所以x-2a>0,令f(x)=0,得x=-a, 当0<x<-a时，f(x)<0;当x>-a时，f(x)>0,…13分 所以函数f(x)的单调递减区间为：(0，一a),单调递增区间为：（一a,十∞）.…14分 综上，当a>0时，单调递减区间为：(0,2a),单调递增区间为：(2a,十∞)； 当a<0时，单调递减区间为：(0，一a),单调递增区间为：（一a,十∞）.…15分 17.【答案】(1)3(2)0(3)7 【解析11)因为ab=1,所以云-a,且a>0,6>0, …1分 所以+合-a+年=a+0+。年-1≥2 (a+1).4 十7-1=4-1=3，…3分 当且仅当a十1一。千即a=6=1时等号成立， 所以。千+十片的最小值为3：… …4分 (2)因为a+b-a2-b2=(a+b)-(a2+b)=(a+b)-[(a+b)2-2ab]=-(a+b)2+(a+b)+2ab, 因为ab=1,所以a+b-a2-b2=-(a+b)2+(a+b)+2, ……6分 令x=a十b,因为ab=1,且a>0,b>0,所以x=a十b≥2√ab=2,当且仅当a=b=1时等号成立； 则a十b-a2-b2=一x2十x十2，x≥2，… …7分 因为函数y=一2十x十2的对称轴为x=,且x≥2， 高三数学试题参考答案第4页（共6页） 所以当x=2时，函数y=一x2十x十2取最大值，且最大值为0. …8分 所以当且仅当a=b=1时，a十b一a2一b2的最大值为0；… 9分 (3)因为ab=1,所以b=1, 则e+6+3a+&+342+m+38=g2+3a+ 1+b 1+1 a+1 11分 a+1 令a十1=t,则a=t-1,且>1， 所以+1+3=+3+1山-=1)+3-)+山=++9=4++1≥2，马+1=7，… 1+b a+1 …14分 当且仅当1=号，即1=3，即Q=2,b=号时等号成立。 所以2十件3的最小位为7。 …15分 18.【答案1)-3(2)A={x≥-}(3)26U(5,号) 【解析】(1)因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(1)=f(3),即|a+1|=2+|a+3, 两边平方得：a2+2a+1=4+a2+6a+9+4|a+3|,整理得：la+3|=-(a+3),所以a+3≤0，即a≤ -3;… …2分 再由f(0)=f(4),得1+|a|=3+|a+4|,即|al=2+|a+4|. 当-4≤a≤一3时，一a=2十a十4，解得a=一3； 当a<-4时，-a=2-a-4,无解.。 所以a=一3。…… 4分 当a=一3时，f(x)=|x-1|+|x-3|, f(4-x)=|4-x-1|+|4-x-3|=|x-3|十|x-1|=f(x),所以a=一3符合题意；…5分 (-2x+4,x<1 (2)因为f(x)=|x一1十|x-3|={2,1≤x≤3，作出函数f(x)的大致图象如下图所示，…6分 2x-4,x>3 由图可知，函数f(x)在（一∞，1）上单调递减，在(3，十∞)上单调递增，当1≤x ≤3时，f(x）=2,…7分 当x≥1时，x十5>x≥1，所以f(x)≤f(x十5)，所以x≥1符合题意；…8分 当x<1时，因为f(x)=f(4-x),即f(4-x)≤f(x+5),因为4-x>3, 所以x+≥4-x,解得x≥-合，所以-2<x<1, 所以集合A={女≥-号}： 10分 (3)因为函数g(x)=[f(x)]-mf(x)十6有两个不同零点x1,x2,且x1<x2,0<x1<1, 即g(x)=[f(x)]一mf(x)十6=0有两个不等根x1,x2,且x1<x2,当0<x1<1时， 令t=f(x),则t2一mt十6=0①， 所以方程①在(2,4)上有一根另一根小于2或有两个相等根均在(2,4)时满足题意.…12分 令h(t)=2-mt+6, 则有 h(2)<0∫A=m2-24=0 {h(4)>0或2<罗<4 15分 解得5<m<号或m=26, 则实数m的取值范围为：2后U(5,号) ……17分 19.【答案】(1)当-e<a≤0时，函数f(x)没有零点；当a>0或a=一e时，f(x)有1个零点；当a<一e 时，函数f(x)有2个零点(2)(i)详见解析(i)详见解析 【解析】(1)f(x)=e十ax, 高三数学试题参考答案第5页（共6页） 函数f(x)的定义域为R,f(x)=e十a,…1分 当a>0时，f(x)=e十a>0,所以函数f(x)在R上单调递增， 当x十∞时，f(x)→十∞；当x→-∞时，f(x)→一∞， 所以函数f(x)有且只有1个零点；……2分 当a=0时，f(x)=e>0,所以此时函数f(x)没有零点；…3分 当a<0时，令f(x)=0,得x=ln(一a),当x<ln(-a)时，f'(x)<0;当x>ln(-a)时，f(x)>0,所 以函数f(x)在（一∞，ln(一a)上单调递减，在(ln(一a),十∞）上单调递增，当x=ln(一a)时，函数 f(x)取最小值，且最小值为f(ln(一a)=一a十aln(一a).…4分 当f(ln(-a)=一a十aln(-a)>0,即一e<a<0时，函数f(x)>0恒成立，所以函数f(x)没有 零点； 当f(ln(-a))=一a十aln(-a)=0,即a=-e,此时函数f(x)有且只有1个零点； 当f(ln(-a)=-a+aln(-a)<0,即a<-e,且当x→+∞时，f(x)→+∞；当x→-∞时，f(x)→ +∞， 所以函数f(x)有2个零点. 综上，当-e<a≤0时，函数f(x)没有零点； 当a>0或a=-e时，f(x)有1个零点； 当a<-e时，函数f(x)有2个零点.… 5分 (2)(i)由(1)可知，当a>0时，函数f(x)有且只有一个零点xo,所以x,=g(a)是函数； 判断单调性. 函数x0=g(a)的定义域为(0，十∞)， 6分 设a1>a2>0,则x1=g(a1),x2=g(a2),所以e1十a1x1=0,e?十a2x2=0, 所以a1二：=一e小 2y”。·。…。。………·。…·。…。。 7分 因为a1>a2>0,所以x1,x2<0,且->- …8分 令A(x)=-兰，x<0,则(x)=-e卫>0，所以h(x)在(-o0,0)上单调递增，…9分 x2 且h(x1)>h(x2),所以x1>x2,所以函数xo=g(a)在(0，十∞)上单调递增；…10分 （先证明：ga)≤号a一多， 即证：2g(a)+3-ea≤0， 因为eso十ag(a)=0,所以a=-es g(a)因为a>0时，8a）<0…1 11分 即证：2g(a)+3+ee 8(a)s0, ……………… 12分 令g(a)=t,且t<0, 即证：21+3十e号≤0，即证：22+3+e1≥0，即证：2十8>-e, 13分 e 令F)=2+3L,1<0,则F'(0=二（+1)(21-3》. e e 因为t<0,令F()=0,解得t=-1,因为21-3<0，所以当t<-1时，F(t)<0;当一1<1<0时， F(t)>0,所以F()在（一∞，一1）上单调递减，在（一1,0）上单调递增，所以当t=一1时，函数F(t)取 最小值，且最小值为-e,所以F(0≥-e,即234≥-e成立，所以g(@)≤号&-号成立…15分 令a=D则有s()号D号-号（日-）一是…16分 则2()(-合+-号+子-日+…+日+)多=-）-… ………………17分 高三数学试题参考答案第6页（共6页）