精品解析：河南安阳市(文峰区,北关区)2027届高三年级上学期9月学情调研数学试卷

2027届高三年级学情调研 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，即． 又，所以． 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，则． 由，得， 所以，解得，故． 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二倍角公式求得，从而可得的值，然后求得正切值. 【详解】由已知得，又，,所以，所以，． 4. 有两组样本数据，，，与，，，，已知，若，，，的平均数为4，方差为4，则，，，的平均数与方差分别为（ ） A. 2；16 B. 2；1 C. 3；16 D. 3；1 【答案】D 【解析】 【详解】已知， 则， 因为，，，的平均数为4， 所以． 已知，，，的方差为4， 根据方差的线性变换性质，可得． 所以，，，的平均数是3，方差是1． 5. 已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】抛物线和的焦点分别为、， 由题意得，，即， 由基本不等式，可得， 所以，即的最大值为（当且仅当时取等号）. 故的最大值为. 6. 已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量投影公式求出，再对平方展开求解. 【详解】由题意得在上的投影向量的模为，即，得． 由，得，即，解得． 7. 已知平面经过正方体的顶点，且正方体的8个顶点到平面的距离取值只有两种，则符合条件的平面的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到平面的距离的概念，结合正方体的结构特征，进行分类讨论即可求解. 【详解】因为平面经过正方体的顶点，所以点到平面的距离为0， 又正方体的8个顶点到平面的距离取值只有两种，即一种距离取值为0，另一种距离取值不为0， 根据正方体的性质，可知当平面与平面重合时，点到平面的距离为0， 点到平面的距离不为0且相等，符合题意， 同理，当平面与平面重合或与平面重合时，均可满足条件， 当平面与平面重合时，点到平面的距离为0， 点到平面的距离不为0且相等，符合题意， 同理，当平面与平面重合或与平面重合时，均可满足条件， 综上所述，符合条件的平面有6个：正方体的3个包含点A的面（平面ABCD，，）， 以及3个包含点A的对角面（平面，，）． 8. 已知实数，为方程的两个根，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用三次函数图象的对称性，设换元构造奇函数，结合函数的单调性计算即可． 【详解】令，设，则方程化为． 函数为奇函数且单调递增，则为偶函数， 所以的两个根关于对称， 即，关于对称，故，即，A正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为两个随机事件，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与相互独立，则 C. 若互斥，则 D. 若与相互独立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据事件包含关系的概率可判断A；根据相互独立事件的概率公式及并集概率公式计算可判断B；根据互斥事件的定义及事件包含关系的概率可判断C；根据条件概率公式及相互独立的概率公式计算可判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：若与相互独立，， 则，故B错误； 对于C：若互斥，则，， 所以，故C错误； 对于D：若与相互独立，则， ， 所以，故D正确． 10. 已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（ ） A. 将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B. 圆心到的距离的最大值为 C. 若圆上存在两点关于对称，则 D. 若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆的方程求出与坐标轴交点的坐标即可判断A，根据直线过定点即可判断B，利用直线过圆心判断C，根据直角三角形中角的正弦值范围判断D. 【详解】圆，圆心为，半径． 对于A，圆C与坐标轴的公共点围成三角形，且三角形的三个顶点为，，围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，直线过定点，圆心C到该定点的距离为，故圆心C到l的距离最大值为，故B正确； 对于C，若圆C上存在两点关于l对称，则l过圆心，由，得，故C正确； 对于D，当时，直线， 圆心到其距离为，由知，， 此时，不能为，故D错误． 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处取得极小值 B. 若在区间上单调递减，则 C. 当时，对任意，都有 D. 存在唯一的，使的极大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数结合分类讨论思想研究函数的单调性、计算极值、最值一一判定选项即可． 【详解】求导得， 令，解得，． 对于A，当时，，此时恒成立， 在上单调递减，无极值，故A错误． 对于B，若在上单调递减，则在上恒成立， 即，所以． 当时，，故只需， 即对任意恒成立， 所以，解得，故B正确． 对于C，当时，得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 又，，所以当时，的最大值为， 即对任意，都有，故C正确． 对于D，当时，无极值， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 为极大值点，极大值为， 令，解得，符合条件． 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 为极大值点， 极大值为，由，得． 令，因为，所以，方程化为． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以在时恒成立，方程无解． 故存在唯一的，使得的极大值为1，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率为3可得，再化简求双曲线的离心率即可. 【详解】设双曲线的离心率为，则，故． 设双曲线的离心率为，则，故． 13. 已知是奇函数，且在区间上单调递增，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性，结合余弦的和差角公式可得或，代入或，结合函数的单调性可确定，即可代入求值. 【详解】由得，故，即， 故，因此， 结合可得或． 若，则，此时均在单调递减，且恒为正，故在上单调递减，不合题意． 若，则，符合条件．所以． 14. 已知数列共有9项，且是整数的一种排列，设，当取，，，中的任意值时，总能被整除，则的所有可能取值为__________． 【答案】2，9，72 【解析】 【分析】根据总和为45，进行分类枚举，排除数字重复，得到、可能的取值，验证都存在满足条件的排列即可求出的所有可能的取值. 【详解】由题意知，能被9整除； 若要能被8整除，即要能被4整除；可知， 若要能被7整除，即要能被7整除， 当时，需为7的倍数，解得，与重复，不合题意； 当时，需为7的倍数，解得或； 当时，需为7的倍数，解得或， 因此的可能情况有：，，，． 容易验证，下面的4种1~9排列都符合题意（分别对应上述4种）： ①3，4，5，6，7，8，9，2，1；②2，3，4，5，6，7，8，9，1；③2，3，4，5，6，7，8，1，9；④1，2，3，4，5，6，7，8，9． 综上，的所有可能取值为2，9，72． 【点睛】通过题目分析，总能被整除，分别求出要能被4整除；若要能被7整除，即要能被7整除，可以直接将求解出来，然后分别列举将所有满足条件的解出来，直接计算答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求； （2）设点满足，点在边上，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）画出对应图形并建立适当的平面直角坐标系后，利用向量垂直性质计算即可得解. 【小问1详解】 由余弦定理，得， 代入已知条件，有， 解得（负值已舍去）． 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图． 由已知可得：，，， 所以，， 设，则， 由，可知， 得，即． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点是的中点，点在棱上，且． （1）求证：； （2）若二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）连接AC． 因为底面是正方形，所以． 因为底面，所以． 又因为，平面,平面， 所以平面．又因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直可证明平面，进而利用线面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量法和二面角的正弦值求得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知可得，，，． 所以．由，得，所以． 设平面的法向量为， 则，即，取． 由题意可得平面的一个法向量为． 设二面角的平面角大小为θ，由，得． 即，解得（舍去）． 17. 已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）过点且不与坐标轴垂直的动直线交于，两点，点，直线与的另一个交点为，与的另一个交点为，证明：直线，的斜率之比为定值． 【答案】（1） （2）设，，，，． 联立与的方程，得， 所以，． 因为直线过点和，所以， 联立直线与的方程， 利用化简可得， 所以，代入得， 同理，可得． 所以， 分别化简分子分母，得， 即． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得的值，由此求得椭圆的方程. （2）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，利用根与系数关系，计算可求得，从而证得直线，的斜率之比为定值. 【小问1详解】 由题意知 解得，， 故的方程为． 【小问2详解】 略. 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）若当时，，求的最小值； （3）若，使得，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，结合题意可得在区间上单调递减．求导后可得在和上单调递减，即可得解； （3）令，由题意知，使得，求导后分及讨论即可得. 【小问1详解】 由题意得． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以． 又切线过点，所以． 综上所述，，； 【小问2详解】 由（1）知． 当时，，则． 设，则原条件等价于当时，， 即函数在区间上单调递减． 由，得， 令，得，解得或． 所以在和上单调递减． 因为在区间上单调递减，所以a的最小值为． 【小问3详解】 令，由题意知，使得． ， ①若，则对任意，， 所以，在上单调递增， 又，故，不满足条件； ②若，则当时，，此时， 所以在上单调递减， 即存在，使得，满足条件； 综上，k的取值范围是． 19. 一名老师与名学生玩抽卡片游戏，将这名学生依次编号为，，，，规则如下：①游戏开始时，所有学生手上均为红卡、黑卡各一张；②老师先给1号学生发放一张红卡；③从2号学生开始，号学生从号学生手中的三张卡片中随机抽取一张放入手中，直至号学生抽取完成后结束；④老师从号学生手中的三张卡片中随机抽走一张卡片，游戏结束． （1）若，求游戏结束后，2号学生手中拥有两张同色卡片的概率； （2）求游戏结束后，号学生手中至少有一张红卡的概率； （3）若游戏结束后，手上没有红卡的学生被淘汰，求被淘汰的学生人数的期望值． 附：若，，，为随机变量，则． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意确定老师抽取时2号学生手中卡片的颜色情况，即可得结论； （2）设为k号学生从号学生手中抽完一张后，手中有2红1黑的概率．则（1号初始就是2红1黑）．然后求得与间有递推关系，再结合等比数列通项公式求得结论； （3）根据游戏规则知k号被号抽走一张卡片，与n号被老师抽走一张卡片的效果是相同的，因此可得（k号学生中有2红1黑的概率），用表示k号学生被淘汰，用表示k号学生未被淘汰，则，再由计算. 【小问1详解】 1号学生手中有2红1黑，2号原有1红1黑，无论抽到红或黑，手中必有两张同色，最终两张同色即老师抽到单张颜色的卡片，概率为； 【小问2详解】 设为k号学生从号学生手中抽完一张后，手中有2红1黑的概率． 则（1号初始就是2红1黑）． 当时，要使k号抽完后有2红1黑，则k号必须从号手中抽中红卡： 若号为2红1黑（概率为），则k号抽到红卡的概率为；若号为1红2黑（概率为），则k号抽到红卡的概率为． 所以， 整理可得，所以是首项为，公比为的等比数列． 所以． n号从号手中抽完卡片后，以概率持2红1黑，以概率持1红2黑，老师再从中随机抽走一张，若为2红1黑，无论老师抽什么，n号都至少剩1红，若为1红2黑，则需要老师抽到黑卡． 故所求概率为． 【小问3详解】 k号被号抽走一张卡片，与n号被老师抽走一张卡片的效果是相同的，所以游戏结束后，k号学生手中至少有一张红卡的概率为（）． 用表示k号学生被淘汰，用表示k号学生未被淘汰，则． 设被淘汰的学生人数为X， 则．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三年级学情调研 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 有两组样本数据，，，与，，，，已知，若，，，的平均数为4，方差为4，则，，，的平均数与方差分别为（ ） A. 2；16 B. 2；1 C. 3；16 D. 3；1 5. 已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面经过正方体的顶点，且正方体的8个顶点到平面的距离取值只有两种，则符合条件的平面的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 8. 已知实数，为方程的两个根，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为两个随机事件，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与相互独立，则 C. 若互斥，则 D. 若与相互独立，则 10. 已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（ ） A. 将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B. 圆心到的距离的最大值为 C. 若圆上存在两点关于对称，则 D. 若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处取得极小值 B. 若在区间上单调递减，则 C. 当时，对任意，都有 D. 存在唯一的，使的极大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为__________． 13. 已知是奇函数，且在区间上单调递增，则__________． 14. 已知数列共有9项，且是整数的一种排列，设，当取，，，中的任意值时，总能被整除，则的所有可能取值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求； （2）设点满足，点在边上，，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点是的中点，点在棱上，且． （1）求证：； （2）若二面角的正弦值为，求． 17. 已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）过点且不与坐标轴垂直的动直线交于，两点，点，直线与的另一个交点为，与的另一个交点为，证明：直线，的斜率之比为定值． 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数，； （2）若当时，，求的最小值； （3）若，使得，求的取值范围． 19. 一名老师与名学生玩抽卡片游戏，将这名学生依次编号为，，，，规则如下：①游戏开始时，所有学生手上均为红卡、黑卡各一张；②老师先给1号学生发放一张红卡；③从2号学生开始，号学生从号学生手中的三张卡片中随机抽取一张放入手中，直至号学生抽取完成后结束；④老师从号学生手中的三张卡片中随机抽走一张卡片，游戏结束． （1）若，求游戏结束后，2号学生手中拥有两张同色卡片的概率； （2）求游戏结束后，号学生手中至少有一张红卡的概率； （3）若游戏结束后，手上没有红卡的学生被淘汰，求被淘汰的学生人数的期望值． 附：若，，，为随机变量，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $