精品解析：山东阳谷县阿城中学等校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段学情调研数学试题

绝密★启用前 九年级上学期第一次学情调研数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　 A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，根据题意得出，，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项是0， ∴，， 解得：， 故选：C． 2. 将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 利用相似多边形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似，进而判断即可． 【详解】解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， ∵三角形、菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形、菱形、正方形相似， 故选：C． 3. 解下列方程：，，，较简便的方法依次是（ ） A. 直接开平方法，配方法，因式分解法 B. 因式分解法，配方法，直接开平方法 C. 直接开平方法，公式法，因式分解法 D. 配方法，公式法，因式分解法 【答案】C 【解析】 【分析】第一个方程整理为平方等于常数的形式，选用直接开平方法计算； 第二个方程的判别式不是完全平方数，适合使用公式法； 第三个方程利用因式分解法降次求解． 【详解】解：① 直接开平方法：变形得， 解得，． ② 公式法：判别式， 解得． ③ 因式分解法：提取公因式得， 即， 解得，． 4. 关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，方程有两个实数根，需满足一元二次方程的条件（二次项系数不为零）且判别式非负，据此解答即可． 【详解】解：∵ 方程有两个实数根， ∴ 方程为一元二次方程，即 ， 且判别式 ， 解得， ∴ 且． 故选C． 5. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 6. 某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，根据月均增长率依次推导7月和8月的产值，即可列出正确方程. 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 7. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 9. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30° ∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°， ∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上， ∴与△AOB位似的三角形为△GOH， 设OA=x， 则OB=， ∴OC=， ∴OD=， … ∴OG=， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键． 10. 如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行的性质判定，求出线段比判断①；根据两边对应成比例且夹角相等判断②；利用相似三角形周长比等于相似比判断③；通过面积比例关系计算判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 在和中，， ∵，， ∴， ∴与不相似，故②错误； ∵，且相似比为， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即为中点， 设，则， ∴， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④，共2个． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算该等腰三角形的周长． 【详解】解：由得到， ， ∴或， ∴，， ∵， ∴等腰三角形只能腰为5，底边为2， ∴该等腰三角形的周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义． 12. 某“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛场，如果设有个队参加比赛，根据题意，可列出方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有个队参加比赛，则每队需要和其他个队进行比赛，再根据两队之间都要进行两场比赛，共要比赛场，列方程即可． 【详解】解：设有个队参加比赛，则每队需要和其他个队进行比赛， 根据两队之间都要进行两场比赛，共要比赛场， 可列方程． 13. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据位似图形的中心和位似比例即可得到点A的对应点C. 【详解】解：以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为或． 【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向. 14. 如图，在中，点是的中点，点在边上且，交于点，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，交BD于点H，先证明可得，再证明即可求解． 【详解】解：过点E作，交BD于点H，如图： ， ， ∵， ∴， ∴， 点D是的中点， ， ∴， ， ， ∴， ∴． 15. 坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题关键．令所在的水平线与交于点，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，令所在的水平线与交于点， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ， 【小问3详解】 解：， 这里，，， ， ， ，． 17. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1）6； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识，准确识图是解题的关键． 对于（1），由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； 对于（2），由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 18. 如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M．一尺m，m，求M离地面的高度． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：如图，过M作 而由题意可得 ∵， ∴△ABM∽△DCM， ∴，（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∵， ∴△MDH∽△ADB， ∴ ∴， 答：点M离地面的高度MH为6m． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比． 19. 某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，侧得EC=4米，将标杆CD向后移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，GC=53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB. 【答案】大雁塔的高度AB为55米 【解析】 【分析】由△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得，，因为DC=HG，推出，列出方程求出CA=106，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】∵AB⊥AF，CD⊥AF，HG⊥AF， ∴AB∥CD∥HG， ∴△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA， ∴，， ∵DC=HG； ∴， ∴， ∴CA=106米， ∵， ∴， ∴AB=55米， 答：大雁塔的高度AB为55米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， 且， 解得， 的取值范围为且； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，，， ， 即， 解得或， 经检验，，都是原分式方程的解， 由（1）可得，且 ． 21. 某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？ 【答案】（1）3米 （2）280元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形，根据停车位面积为616平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位，根据月租金收入为14560元，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合要优惠大众，即可得出每个车位的月租金应上涨80元，进而可得月租金定价． 【小问1详解】 解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米； 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ∴， （元）． 答：应该月租金定价280元． 22. 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ∴ ∴ ∴，∴的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点． （1）若，求矩形的面积； （2）设，求矩形的面积最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证，得出，根据，，高，得出，设，则，求出，计算矩形的面积即可； （2）证，得，即，则，设矩形的面积为，建立等式，得出，根据，计算出，即可得出矩形的面积最大值． 【小问1详解】 解：∵为高， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 整理得：， 解得：， 即， ∴矩形的面积； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的应用、一元二次方程的应用和根的判别式，能准确理解新方法、并运用新方法是解题的关键． 23. （1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：； 小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴． 同理可得：， ∴， 两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， 两边同时除以得，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得； （3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，， ∴，解得，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 九年级上学期第一次学情调研数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　 A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2. 将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 解下列方程：，，，较简便的方法依次是（ ） A. 直接开平方法，配方法，因式分解法 B. 因式分解法，配方法，直接开平方法 C. 直接开平方法，公式法，因式分解法 D. 配方法，公式法，因式分解法 4. 关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 5. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( ) A. （）3 B. （）7 C. （）6 D. （）6 10. 如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 12. 某“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛场，如果设有个队参加比赛，根据题意，可列出方程为________． 13. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是__________． 14. 如图，在中，点是的中点，点在边上且，交于点，则的值是________． 15. 坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度___． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 17. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 18. 如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M．一尺m，m，求M离地面的高度． 19. 某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，侧得EC=4米，将标杆CD向后移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，GC=53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB. 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 21. 某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？ 22. 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ∴ ∴ ∴，∴的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点． （1）若，求矩形的面积； （2）设，求矩形的面积最大值． 23. （1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：； 小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $