山东青岛市志远学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026－2027学年度第一学期10月考 九年级数学 （时间：90分钟，满分：120分） 1、请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚 2、本试题共有24道题．请在指定位置作答． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，选对得分；选错、不选或多选不得分．） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A. B. C. D. 3. 在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（　　） A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18 6. 定义运算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程的两根，则b★b-a★a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关 7. 如图，正方形的边长为3，点P为对角线上任意一点，，，垂足分别是E，Q，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 8. 如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共9小题，共27分） 9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________ 10. 已知，则的值为________． 11. 若实数满足方程，那么的值为______． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为______． 13. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______． 14. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是 __________________． 15. 八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接交于点，则的度数为______． 16. 如图，在菱形中，，对角线相交于点，点在线段上，且，为线段上的一个动点，则的最小值是______． 17. 等腰直角三角形的直角边与正方形的边都在直线上（点C与点D重合），且它们都在直线同侧，．现等腰直角三角形以每秒1个单位长度的速度从左往右沿直线运动．当点A运动到与点G重合时运动结束．设运动时间为，与正方形重叠部分的面积为S，当t取______时，． 三、作图题（本题满分4分） 18. 已知：线段，直线及直线外一点． 求作：矩形，使得边在直线上，垂足为，对角线的长度为． 四、解答题（本大题共7小题，满分65分） 19. 计算题：选择适当方法解下列方程 （1）； （2）． （3）； （4）． 20. 今年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．如图，墙面米，公园管理者计划用总长为的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，段不用栅栏，售卖区中间用栅栏分成两个矩形区域，点F、G分别在、边上） （1）如图1，点E在线段上，若围成的售卖区的面积为，求售卖区的宽； （2）如图2，由于公园人流量剧增，需要增加售卖区的面积，现要使点E在线段的延长线上，并在边和上分别开一扇宽1米的门（门不用栅栏），用现有的栅栏所围成的售卖区的面积能否达到，若能达到，求出售卖区的宽；若不能，请说明理由． 21. 如图，矩形的对角线与相交于点，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点，连接． （1）求证 （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）当时，求______． 22. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 23. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 24. 探究： 项目背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔•花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料一 赵爽发现可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 解决问题： （1）在材料一中，大正方形面积可以表示为______（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于______，故可得到方程______． （2）根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解为______． 25. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿边向点B运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为．点P，Q同时出发，设出发的时间为． （1）出发后，的长为______； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒，为等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，求能使为等腰三角形的运动时间． 2026－2027学年度第一学期10月考 九年级数学 （时间：90分钟，满分：120分） 1、请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚 2、本试题共有24道题．请在指定位置作答． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，选对得分；选错、不选或多选不得分．） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共9小题，共27分） 【9题答案】 【答案】且 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】##45度 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】或 三、作图题（本题满分4分） 【18题答案】 【答案】 如图，矩形为所作． 四、解答题（本大题共7小题，满分65分） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）． 【21题答案】 【答案】（1）证明：矩形的对角线与相交于点，，直线是线段的垂直平分线， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形OCDE是菱形，理由如下： 和是等边三角形， ， ∴四边形OCDE是菱形； （3） 【22题答案】 【答案】（1）； （2）这种跳绳和排球套装每套应降价9元 【23题答案】 【答案】（1） （2）每平方米草莓平均利润下调元 【24题答案】 【答案】（1）；； （2）； 【25题答案】 【答案】（1） （2）秒 （3）或或时 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $