精品解析：山东省聊城市阳谷县实验中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年12月阳谷县实验中学九年级数学月考测试题 一、选择题（每小题4分,共40分） 1. 下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，则下列线段的比中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，B、F、C三点共线，与相交于点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等边中，，D为延长线上一点，于点C，且，连接，则的面积为（ ）． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（ ） A. 40 B. 64 C. 56 D. 84 9. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 14 D. 6 10. 将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分,共30分） 11. 如图，在中，，点D是边上的一点，，点E是边上的一点．若与相似，则边的长为_____． 12. 如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一个等边三角形，，则的面积为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 14. 如图，点A、B、C、D、E在上，且，则_____． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 16. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 三、解答题（8个小题,共80分） 17. 用合适的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 圆锥的母线长为，底面圆的半径为． （1）侧面展开图的圆心角度数是 ． （2）如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 19. 如图，一架云梯斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，此时云梯与地面之间形成的为．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，此时，为．求云梯底端在水平方向滑动的距离．（参考数据：，，，，，） 20. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息： 的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 22. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 23. 是的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，弦于点G，若，，求的半径． 24. 问题引入：在平面直角坐标系中，我们把到两坐标轴距离相等的点称为“等距点”．如图，轴，轴，且，那么点就叫“等距点”，此时四边形是正方形． （1）请你写出一个在第一象限的“等距点” ． 问题探究： （2）如图，点、点分别在轴、轴上，四边形的内角与互补，，点是第一象限内的“等距点”，求四边形的面积． 问题解决： （3）如图，是等边三角形，点，点是第四象限的“等距点”，连接并延长交的延长线于点，连接，此时，点是线段上的点，连接并延长交轴于点，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月阳谷县实验中学九年级数学月考测试题 一、选择题（每小题4分,共40分） 1. 下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件．熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 根据随机事件的定义进行判断作答即可． 【详解】解：空中楼阁是不可能事件，故A不符合要求； 瓮中捉鳖是必然事件，故B不符合要求； 水中捞月是不可能事件，故C不符合要求； 守株待兔是随机事件，故D符合要求； 故选：D． 2. 如图，，则下列线段的比中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3. 如图，B、F、C三点共线，与相交于点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由，证明，则，即可作答． 【详解】解：∵AC与BD相交于点E， ∴ ∴， ∵ ∴， 故选：C． 4. 在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，根据题意，构造，则，解答即可． 本题考查了网格上计算正切函数值，熟练掌握定义，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 根据题意，构造， 则， 故选：B． 5. 如图，在等边中，，D为延长线上一点，于点C，且，连接，则的面积为（ ）． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，30度角的直角三角形的性质；过作于，由30度角的直角三角形的性质，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵等边中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，连接．利用三角形内角和定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，利用配方法，将方程左边配成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（ ） A. 40 B. 64 C. 56 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了长方体的展开图，由图形可得，长方体的高是2，宽是，长是，再由长方体的容积公式计算即可得解，正确得出长方体的长、宽、高是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，长方体的高是2，宽是，长是， 故长方体的容积为：， 故选：B． 9. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 14 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值等知识；通过求根公式求出方程的两个根，然后直接计算表达式的值． 【详解】解：∵ 方程 的根为 ， 设 , ， ∴ , ， ∴ ． 故答案为：B． 10. 将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，观察可知6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转后的坐标为， 第二次旋转后的坐标为， 第三次旋转后的坐标为， 第四次旋转后的坐标为， 第五次旋转后的坐标为， 第六次旋转后的坐标为， ⋯， 可知，6次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点A对应点的坐标为， 故选：A． 二、填空题（每小题5分,共30分） 11. 如图，在中，，点D是边上的一点，，点E是边上的一点．若与相似，则边的长为_____． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据或对应边成比例，分类讨论即可解答． 【详解】解：∵与相似， ∴或， ∴，或， ∵， ∴或， 解得：或． 故答案为：2或． 12. 如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一个等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是关键．求出，得到，由，根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵两个含角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一个等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为：． 14. 如图，点A、B、C、D、E在上，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质；连接，由圆周角定理可得，由圆内接四边形对角互补可得，最后由，即可得出结果. 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴. 故答案为：. 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 其中，，， 由，得， 由， 得，即， 故且， 故答案为：且． 16. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．故答案为． 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比 三、解答题（8个小题,共80分） 17. 用合适的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或 ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问3详解】 解： ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， 或， ∴，． 18. 圆锥的母线长为，底面圆的半径为． （1）侧面展开图的圆心角度数是 ． （2）如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长是解题的关键． （1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式即可求出圆心角的度数； （2）如图2，连接，先证明为等边三角形，再证，最后根据勾股定理求得即可． 【小问1详解】 解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵底面圆的半径为， ∴侧面展开图的弧长， ， ，解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2，连接，则线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 的长为，，令， ，解得， ， ， ∴为等边三角形，即， ， ， 在中，， 即蚂蚁爬行的最短距离为． 19. 如图，一架云梯斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，此时云梯与地面之间形成的为．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，此时，为．求云梯底端在水平方向滑动的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形；设，则，利用锐角三角函数表示出、，利用建立方程求出x，再利用锐角三角函数求出、，最后利用即可求出. 【详解】解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 即云梯底端在水平方向滑动的距离为． 20. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息： 的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【答案】（1） 补全图形如下： （2） （3）人 （4）甲的综合成绩比乙高. 【解析】 【分析】（1）先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可； （2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （3）由总人数乘以80分含80以上的人数百分比即可得到答案； （4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可 【小问1详解】 解：∵，而有20人， ∴有； 【小问2详解】 解：∵， 而的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83,83； 中位数为：； 【小问3详解】 解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为： （人）； 【小问4详解】 解：甲的成绩为：（分）； 乙的成绩为：（分）； ∴甲的综合成绩比乙高. 【点睛】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，加权平均数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的感觉. 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 22. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 23. 是的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，弦于点G，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理： （1）连接，结合切线的性质可得，从而得到，再结合，可得，即可求证； （2）连接，利用垂径定理可得，再由角平分线的性质可得，然后结合勾股定理可得，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r的值，即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为． 24. 问题引入：在平面直角坐标系中，我们把到两坐标轴距离相等的点称为“等距点”．如图，轴，轴，且，那么点就叫“等距点”，此时四边形是正方形． （1）请你写出一个在第一象限的“等距点” ． 问题探究： （2）如图，点、点分别在轴、轴上，四边形的内角与互补，，点是第一象限内的“等距点”，求四边形的面积． 问题解决： （3）如图，是等边三角形，点，点是第四象限的“等距点”，连接并延长交的延长线于点，连接，此时，点是线段上的点，连接并延长交轴于点，当时，求的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干的信息即可写出，答案不唯一； （2）利用构造三角形全等进行线段的转换，同时也将四边形的面积转换成正方形的面积进行求解； （3）通过论证三角形相似找到角相等，进而得到，从而得到，再根据等边三角形的性质得到点到轴的距离，则面积可求． 【小问1详解】 由题意得：“等距点”到轴的距离相等，且在第一象限， ∴“等距点”的横纵坐标相等、都为正数， 例如：等答案不唯一； 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：过点作轴于，作轴于点， ∴， ∵点是第一象限内的“等距点”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴即：， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：令与的交点为， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形，点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是第四象限的“等距点”， ∴到轴的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，即：点到轴的距离为：， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定、正方形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质、平行线的判定及性质、等腰三角形的性质及判定等，关键是知识点的灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $