函数的基本性质专项检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年度第一学期高一函数的基本性质专项检测卷 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 3．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．已知是定义域为的奇函数，的部分图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数存在最大值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①；②是偶函数；③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．若定义在上的函数，有，则函数在上为减函数 B．若定义在上的函数为奇函数，则 C．函数的单调递增区间是 D．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到 10．设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则（    ） A．不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数 B．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定 C．是奇函数，且在区间上是单调增函数 D．是偶函数，且在区间上的单调性不能确定 11．已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（ ） A． B． C． D．为奇函数 三、填空题 12．写出一个同时满足下列条件①②③的函数__________． ①不是常数函数；②是偶函数；③的最大值为0． 13．已知函数是偶函数，当时，，若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是______. 14．已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 四、解答题 15．已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 16．已知函数. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)解不等式. 17．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； (3)若在上有最小值，求实数的取值范围． 18．函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 19．已知函数与的定义域均为，其中． (1)当时，求函数的最值与单调区间； (2)若与的单调性相反，求的取值范围； (3)若，且存在，，使得，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案及解析 1．A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 2．B 【分析】分析可知函数的定义域为，结合奇函数定义运算求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 3．A 【详解】因为为开口向上的二次函数，其对称轴方程为， 所以在单调递减，在单调递增； 若在上具有单调性，则或， 因此或. 4．C 【分析】根据奇函数的性质，补全函数图象，结合图象，可得答案． 【详解】因为是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称， 因此由在上的图象，可得它在上的图象如图所示， 故当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 因此不等式的解集为． 5．B 【分析】结合函数的性质进行判断． 【详解】必要性：若的值域为，则在定义域上的最大值为1，最小值为-1，则必要性成立， 充分性：若在定义域上的最大值为1，最小值为-1， 取，满足题意，但的值域为，则充分性不成立， 故“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的必要不充分条件． 6．D 【分析】先判断函数的单调性，再结合偶函数性质把函数不等式转化为绝对值不等式，平方求解一元二次不等式即可得到解集. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 7．D 【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：， 当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：，由于，此时无解， 综上：a的取值范围是 8．D 【分析】利用为“平方奇差函数”的定义可知，对于命题①，令，可得，解得；对于命题②，由已知可得为周期函数，结合，可得是偶函数；对于命题③，若是常值函数，设，则.再由，可知或，故命题③正确. 【详解】因为为“平方奇差函数”， 所以 化简可得. 对于命题①，令，则， 解得或，故命题①正确； 对于命题②，， 因为，结合 可得， 若是偶函数，则，即证 即证， 即证， 即证 即证或 若等价于符合题意. 因为，所以的情况不存在， 综上， 是偶函数，命题②正确. 对于命题③，若是常值函数，设，则. 因为为奇函数，得， 即，又因为， 所以，解得或. 所以或.故命题③正确. 9．BD 【分析】根据单调性的定义、单调区间及最值的概念，可判断选项A、C、D的正误；根据奇函数的性质可判断B. 【详解】对于A，根据减函数的概念知，无法判断函数在上的增减性，故A错误； 对于B，由奇函数的性质知，B正确； 对于C，当时，，当时，， 故函数在上不是单调递增的，故C错误； 对于D，根据单调函数在闭区间上的性质，函数的最值必在端点处取得，故D正确． 故选：BD． 10．ABD 【分析】根据，的单调性和奇偶性逐项判断即可. 【详解】，在区间上都是单调增函数，单调增，单调性没有办法确定，C错. 因为为奇函数，为偶函数，所以不具有奇偶性，A，B正确. ，所以为偶函数， 令，设任意，则，而所在区间无法确定， 故的正负无法判断，所以单调性不能确定，D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】根据题意，令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B错误；令，得到 ，可判定C正确；令，得到分别令和，结合函数奇偶性的性质，可判定D正确． 【详解】对于A，令，则有， 两式相减可得 ，所以，正确； 对于B，令，有， 因为不是常函数，所以，错误； 对于C，令，有 ，所以 ， 所以，正确； 对于D，两式相加，可得， 令，则有，可得，所以是偶函数， 因为， 令，可得，整理得， 又因为， 令，可得，所以 ， 当时，可得，即， 当时，由C知： ，可得 ， 因为是偶函数，可得 ， 又因为 ，可得 ，即， 所以，即， 综上可得，函数满足，所以为奇函数； 因为奇函数与偶函数的乘积是奇函数，所以是奇函数，正确． 12．（答案不唯一） 【分析】利用常见的偶函数有余弦函数、一次项系数为0的二次函数等，结合已知可得的一个解析式． 【详解】典型的偶函数有余弦函数、一次项系数为0的二次函数等，如，． 因为的最大值为0，所以可取或． 故答案为：(答案不唯一). 13． 【分析】先根据奇偶性求函数解析式，进而结合图象即可求解. 【详解】）设，则，则，因为为偶函数， 所以，所以，作出的图象如图： 因为函数在区间上具有单调性， 由图可得或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】构建函数，易得函数为奇函数，分析的单调性，由此可解不等式. 【详解】因为对，，且，都有，即， 即. 令， 所以对，，且， 所以，所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 所以对，， 且， 所以函数为定义在上的奇函数. 所以函数在上单调递增. 又，所以，所以. 所以当时，； 当时，. 因此不等式的解集为. 15．(1)不妨设， 则 ． 因为，则，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法判断并证明函数单调性； （2）结合函数的奇偶性可知在上单调递增，即可比较函数值大小. 【详解】（1）略 （2）因为的定义域为， 因为，所以是奇函数． 且在上单调递增，可知在上单调递增， 因为，所以． 16．(1)函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域为， 又， 即，所以是奇函数. (2) 【分析】（1）计算，利用指数运算化简得零，从而证明为奇函数； （2）先证明在上单调递增，再将不等式转化为，由单调性去掉函数符号，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）略. （2）令，下面证明在上单调递增： ，且，则. 因为，所以. 又，所以，即. 所以在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增. 由（1）知， 所以，即，解得. 故原不等式的解集为. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式； （3）结合的解析式并作出相关图象，结合已知条件求出实数的取值范围． 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又为奇函数，则， 综合可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 函数的最小值． （3）由（1）的结论，，作图如下： 若在上有最小值，即函数图象在区间上有最低点， 必有或， 的取值范围为：． 18．(1)； (2)为偶函数，证明如下： 令，，则， 结合（1）有，即，所以为偶函数． (3) 【分析】（1）令，可得，再令，即可求出； （2）令，，进而根据偶函数的定义，即可得到结论； （3）先根据得到，从而将不等式转化为，再结合函数的单调性和奇偶性转化为，且，，进而求解即可得到答案． 【详解】（1）由对任意，有， 令，则，解得， 令，则，解得． （2）略 （3）由，则， 由，得，即， 结合（2）知为偶函数，又因为在上是增函数， 所以，且，，解得，且，， 所以的取值范围为． 19．(1)函数的减区间为，增区间为，最大值为，无最小值 (2) (3) 【分析】（1）求出函数的解析式，利用复合函数的单调性可得出函数的增区间和减区间，进而可得出函数的最值； （2）对实数的取值进行分类讨论，化简两个函数的解析式，分析这两个函数的单调性，结合题意可得出实数的取值范围； （3）求得，记，即存在，，使得，求出的取值范围，可知，于是得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以， 令，则， 设，由对勾函数的单调性可知， 函数在上单调递增，在上单调递减， 内层函数在上单调递减， 由可得，由可得， 由复合函数的单调性可知函数的减区间为，增区间为， 故函数的最大值为. （2）当时，在上单调递增，在上单调递减，符合题意； 当时，，， 若时，即当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，符合题意； 若时，即当时，显然函数、在上均为增函数，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为，所以，， 所以， 记，由题意即存在，，使得， 因为、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 又因为、，故函数在、上均为增函数， 所以，， 所以， 由题意可知， 所以，即，解得， 因此实数的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $