第6周 周测试卷（范围：函数的基本性质：单调性与奇偶性）- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数单调性与奇偶性，通过分层题型（单选6题30分、多选2题12分、填空2题10分、解答3题48分）实现基础巩固与能力提升，如解答题结合定义证明（题11）、二次函数与奇偶性综合（题12）及对称中心应用（题13），培养数学思维与表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|奇偶性判断（题1）、单调性求最值（题2）|基础概念辨析，结合具体函数情境| |多选|2/12|奇函数性质（题7）、抽象函数单调性（题8）|多维度考查性质综合应用| |填空|2/10|奇函数求值（题9）、不等式存在性（题10）|知识迁移与简单应用| |解答|3/48|单调性定义证明（题11）、二次函数与奇偶性综合（题12）、对称中心与存在性问题（题13）|强调逻辑推理（数学思维）、图象分析（数学眼光）及综合表达（数学语言），贴合高考命题趋势|

高一上学期数学人教A版同步 高一数学备课组 2026-2027学年高一上学期 数学同步周周测 第6周 函数的基本性质：单调性与奇偶性 （考试时间：70分钟，分值：100分） 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性及单调性逐一判断即可． 【详解】对于A，，因为，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称， 且，是奇函数， 但函数在上单调递减，在上也单调递减，不是定义域内的增函数，故B错误； 对于C，，，既不等于，也不等于，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，定义域为，关于原点对称，且，是奇函数，又对任意，有，在上单调递增，故D正确． 故选：D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】因为具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，再通过偶函数定义即可求得，代入即可求解. 【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 4．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值． 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． 5．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 6．（25-26高一上·江西·期中）函数的大致图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分，和三种情况讨论即可. 【详解】当时，，此时A满足； 当时，当时，为增函数；当时，， 其中为对勾函数的一部分，此时D满足； 当时，当时，为对勾函数的一部分； 当时，为减函数，此时B满足； 故选：C 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 8．（25-26高一下·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】利用赋值法判断A；令，可得，即可判断B；根据题意结合函数单调性的定义判断C；分析可得，结合单调性运算求解即可. 【详解】因为，， 对于选项A：令，得，解得，故A错误 对于选项B：令，得，即， 可知为奇函数，所以，故B正确； 对于选项C：任取，则，可得， 则， 即，可知在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 令，得，即，可得， 因为， 因为在定义域上单调递减， 则，即，即， 所以不等式的解集为，故D正确. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【分析】根据奇函数性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 10．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为转化为代数不等式，再结合的取值范围，求的取值范围. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 当时，， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 又因为函数为奇函数，故该函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，即，时成立. 因为，所以或，所以或. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共3小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11．(15分)（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)用函数单调性定义证明：在上单调递减，在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)最大值为和最小值为. 【分析】（1）利用定义法，作差法来证明函数的单调性； （2）利用函数的单调性和端点值来求最大值和最小值. 【详解】（1）设，且， 则 ， 因为，且，所以， 即，所以，即， 所以在上单调递减； 又设，且， 则 ， 因为，且，所以， 即，所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为， 所以， 又由于在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和最小值为. 12．(16分)（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，点为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1．    (1)求的解析式． (2)设偶函数和奇函数的定义域均为，且． （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值． 【答案】(1) (2)（i），；（ii）或． 【分析】（1）先根据二次函数与x轴的交点设出交点式解析式，再由顶点坐标与三角形面积公式求出顶点纵坐标，代入解析式求出参数，从而得到的解析式. （2）（i）利用偶函数和奇函数的性质，结合构造出关于和的方程组，通过解方程组求出与的解析式. （ii）先写出的表达式，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，分和两种情况讨论函数在区间上的最大值，进而求出的值. 【详解】（1）设，其中． 设，因为的面积为1，所以，得， 将的坐标代入，得，解得， 所以． （2）（i）由①，得②， 因为是偶函数，是奇函数，所以由②得③， 由①和③得，，． （ii）． ． 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得（舍去）或． 故的值为或． 13．(17分)（25-26高一上·安徽宿州·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义判断在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增 (3) 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心. （2）根据单调性定义证明即可. （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得到，最终整合得到实数m的取值范围. 【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则是奇函数， 则对定义域中的每一个值恒成立， 即， 也即对定义域中的每一个值恒成立， 故得，解得， 所以的对称中心为. （2）任取，且， 则， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由题意可得在上的值域是在上的值域的子集. 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域. 而的对称轴为直线， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， 因为，所以，解得， 又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需， 且， 解不等式得：， 又，故此时； ③当即时，在上单调递减，又过对称中心，则在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， 因为，所以，解得， 又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期数学人教A版同步 高一数学备课组 2026-2027学年高一上学期 数学同步周周测 第6周 函数的基本性质：单调性与奇偶性 （考试时间：70分钟，分值：100分） 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西·期中）函数的大致图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 8．（25-26高一下·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 10．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为_______． 四、解答题：本题共3小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11．(15分)（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)用函数单调性定义证明：在上单调递减，在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 12．(16分)（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，点为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1． (1)求的解析式． (2)设偶函数和奇函数的定义域均为，且． （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值． 13．(17分)（25-26高一上·安徽宿州·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义判断在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $