精品解析：湖南长沙市湖南师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期第一次大练习数学试题

高一年级第一学期第一次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，，其中，则（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 5. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 6. 学校统计某班50名学生参加摄影、编程、动漫3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团．统计结果显示：有16名学生参加了摄影社团，有19名学生参加了编程社团，有21名学生参加了动漫社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知，则“成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下面选项中的两个集合相等的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列函数中，值域不是的是（  ） A. B. （） C. （） D. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 一元二次方程一定有两个不等的实数根 C. 的解集为 D. 当时，恒有，则m的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则其真子集个数为______． 13. 命题“，或”的否定是______． 14. 已知，若存在，，使得成立，则的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）求和； （2）求． 16. 已知关于x的不等式的解集为． （1）若，，求实数a的取值范围； （2）若不等式解集中恰有9个整数，求实数a的取值范围． 17. 随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于）测试发现：①汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速，最高限速）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量=充电功率时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 18. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2），关于的方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 19. 设，给定，，．对任意非空集合，定义M的触并集如下：为所有与M交集非空的的并集；若，称集合M为触稳集． （1）若，求，并判断M是否为触稳集； （2）证明：对任意，有，； （3）设，记为中不属于M的元素个数： （ⅰ）求的最大值，并求使取得最大值的集合M的个数； （ⅱ）求满足的集合M的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第一学期第一次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，故A错误； 对于B，因为，可得； 所以，故B正确； 对于C，由，可得，则，即，故C错误； 对于D，，当时，，故D错误． 故选：B 3. 已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则当时，，故A错误； 对于B，若，则当时，，当时，，故B正确； 对于C，若，则当时，无意义，故C错误； 对于D，若，则当时，，故D错误； 故选：B. 4. 设集合，，其中，则（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，且仅有公共元素， ，故或， ①若，解得， 此时，， ，与矛盾，舍去， ②若，解得或。 当时，，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，，， ，符合题意， 综上，. 5. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 6. 学校统计某班50名学生参加摄影、编程、动漫3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团．统计结果显示：有16名学生参加了摄影社团，有19名学生参加了编程社团，有21名学生参加了动漫社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】设：参加摄影社团的学生集合，集合A元素个数， ：参加编程社团的学生集合，集合B元素个数， ：参加动漫社团的学生集合，集合C元素个数， 由题意得，每名学生最多参加个社团，故没有学生同时参加个社团， 即， 因为， ， 所以， 所以三个社团都不参加的人数：. 7. 已知，则“成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用解二次不等式和去绝对值，结合充要条件的分析方法，即可作出判断. 【详解】由可得：， 而当时，有. 所以“”成立是“”成立的充分条件. 由， 因为，， 可知若，必有. 所以“”成立是“”成立的必要条件. 综上所述，“”成立是“”成立的充要条件. 故选：C. 8. 已知实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式乘1法，即可求得其最小值. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当， 联立，解得，时取等号. 则的最小值为. 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下面选项中的两个集合相等的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【详解】对于选项A，两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； 对于选项B，集合，，所以，故B正确； 对于选项C，由，得，即，故C正确； 对于选项D，集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 10. 下列函数中，值域不是的是（  ） A. B. （） C. （） D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别求出各函数的值域即可判断. 【详解】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 故选：ABC． 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 一元二次方程一定有两个不等的实数根 C. 的解集为 D. 当时，恒有，则m的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分式不等式解集特征确定参数关系，结合一元二次不等式根的判别式、一元一次不等式的求解、基本不等式及一元二次不等式在固定区间上恒成立问题逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由不等式的解集为， 得或是方程的根，且（分母不能取等，解集在处是开区间），A正确. 对于B，因为或是方程的根，所以，则. 故方程可化为， 因为，所以方程一定有两个不等实根，B正确. 对于C，不等式可化为. 因为解集为，所以， 可化为，因为，可得，解得. 故的解集为，C错误. 对于D，可化为， 因为，所以可进一步化为. 因为当时，恒有等价于当时，. 即，，也即，， 故只需当时，即可. 又，当且仅当，即时，等号成立. 所以，解得，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则其真子集个数为______． 【答案】 【解析】 【详解】集合中元素共4个， 故其真子集个数为． 13. 命题“，或”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【详解】命题“，或”的否定为“，”． 14. 已知，若存在，，使得成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过分离参数，根据基本不等式及换元法求解即可. 【详解】由，得. 因为，所以，则. 故若存在，，使得成立等价于. ，当且仅当时，等号成立. 令，， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 联立，解得或，满足. 所以当或时，取得最小值，最小值为4. 故的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）求和； （2）求． 【答案】（1），或； （2） 【解析】 【分析】(1)先分别求解绝对值不等式得到集合、求解分式不等式得到集合，再根据交集、并集的定义直接计算与. (2)先分别在实数域内求集合、的补集，再根据交集定义计算两个补集的交集. 【小问1详解】 解绝对值不等式，等价于，两边同时加1得，即. 分式不等式等价于，解得或， 即. 因此 因此或； 【小问2详解】 是在实数集的补集： 是在实数集的补集： , 两者的交集需要同时满足（或）和， 所以. 16. 已知关于x的不等式的解集为． （1）若，，求实数a的取值范围； （2）若不等式解集中恰有9个整数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用“开口向上、两根分居某点两侧则该点函数值小于0”的图像性质，将根的分布问题转化为单点函数值符号求解； （2）先因式分解化简区间端点，由右端点范围确定9个整数为−1到−9，再根据整数个数反推左端点边界，解绝对值不等式得到参数范围. 【小问1详解】 因为x的不等式的解集为， 所以二次项系数，即，得， 判别式，即， 设，因开口向上，且两根分居两侧（即在解集内）， 由二次函数图像性质必有， 所以， 令，得，即，也就是或， 所以或， 故实数a的取值范围是或 【小问2详解】 由求根公式，方程的两根为， 利用平方差，得 ，， 由得，故，即，右端点落在内， 因此解集中9个整数全部为负整数，即，左端点须满足， 代入，得，即； 因，所以，移项整理： 结合前提范围，得 或， 故实数a的取值范围是或. 17. 随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于）测试发现：①汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速，最高限速）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量.（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量=充电功率时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】（1）该车不能在不充电的情况下到达B地，理由：设匀速行驶速度为，耗电量为， 则， 由对勾函数性质可知函数在区间单调递增， ，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量， 所以该车不能在不充电的情况下到达B地； （2） 【解析】 【分析】（1）假设该车匀速行驶至B地，列出耗电量的表达式并利用单调性即可求得最小耗电量，可得出结论； （2）根据耗电量与充电量、保障电量之间的关系，列出不等关系，由基本不等式即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设匀速行驶速度为，总时间为，行驶时间与充电时间分别为. 若能到达B地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即， 解得. . 当且仅当，即时取到等号 所以该汽车到达B地的最少用时为. 18. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2），关于的方程在总有两个不同实数解，求实数的取值范围； （3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），从而求解； （2）由题意得化简得，则恒成立，从而可求解； （3）由题意得在上恒成立，得，然后令并结合基本不等式从而求解. 【小问1详解】 当时，则， 由，则，解得或； 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意得在总有两个不同实数解， 即在总有两个不同实数解， 由解得或， 所以，则， 因为对时在总有两个不同实数解恒成立，所以， 故的取值范围为. 【小问3详解】 由即在上恒成立，得， 令，则， 当且仅当，即时取等号，所以. 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：恒成立的问题常常考虑分离参数，转化为函数的最值或范围的问题，这样可以避免分类讨论. 19. 设，给定，，．对任意非空集合，定义M的触并集如下：为所有与M交集非空的的并集；若，称集合M为触稳集． （1）若，求，并判断M是否为触稳集； （2）证明：对任意，有，； （3）设，记为中不属于M的元素个数： （ⅰ）求的最大值，并求使取得最大值的集合M的个数； （ⅱ）求满足的集合M的个数． 【答案】（1），不是触稳集； （2）证明：， 对任意，因为，故至少属于某一个， 此时含有元素，即，由定义，，于是， 由的任意性，得； 证明：， 先证， 任取，则存在，满足且， 由分配律，即或， 若，则，故；若，则，故， 因此.所以； 再证， 任取，不妨设，则存在满足，且， 由，得，故与交集非空，因此， 同理，时，， 所以， 故. （3）（i）个数为9；（ⅱ）个数为26 【解析】 【分析】(1)筛选与M相交非空的，取并集得，对比与是否相等，判定触稳集；(2)用元素法双向证明集合包含关系，利用集合交并分配律证明；(3)(i)先枚举所有可能的规模，在每种规模下最小化求出最大值，再分类计数；(3)(ii)将拆分成两种合法的组合，分别计数后相加得到总数. 【小问1详解】 ，，，， 当时，，故纳入并集； ，故纳入并集，，故不纳入， 因此， 由于，故不是触稳集； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i），要求的最大值，需尽可能大，尽可能小， 当（两个的并）时，的最小值为1（取两个的公共元素），此时，对应3个单元素集合，共3个； 当（三个的并）时，没有元素同时属于三个，故的最小值为2，此时，二元集合共个（），减去至少与一个不交的9个，得到满足条件的二元集合共个； 当时，的最大值为，所以的最大值为4，对应的集合共个. （ⅱ），即，分两类： ①：每组两个对应的并集里有3个二元集合，共3组，合计个； ②：三元集合总数20个（），减去与至少一个不交的3个，得到满足条件的三元集共个， 合计满足的集合共个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $