精品解析：贵州六盘水市云联学校等校2026-2027学年度第一学期第一次素质检测 九年级（人教版）数学

2026-2027学年度第一学期第一次素质检测 九年级（人教版）数学 总分：150 分 时间： 120 分钟 一、单选题（本题共计12小题 ，每题3分 ，共计36分 ） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、方程左边含有，不是整式方程，因此不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数、，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意． 2. 下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、，等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】∵， ∴，即，. 4. 若二次函数y＝ax2的图象经过点（1，﹣2），则它也经过（ ） A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，2） D. （2，1） 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出的值，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点（1，﹣2）， ∴将（1，﹣2）代入得：， ∴二次函数的解析式为：， 当时，，即原函数图象经过点（﹣1，﹣2）， 当时，，即原函数图象经过点（2，﹣8）， 当时，，即原函数图象经过点（1，﹣2）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握函数图象上点坐标的特征，准确求解函数解析式是解题关键． 5. 下列一元二次方程中有两个相等的实数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项判别式即可得出结果． 【详解】解：A．方程，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求． B．方程整理为，，，方程有两个相等的实数根，符合要求． C．方程，，，方程没有实数根，不符合要求． D．方程整理为，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求． 6. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 7. 若，是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，代入数值计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 原式． 8. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程一般形式中系数的识别，需注意符号和顺序．将方程与一元二次方程的一般形式对比，直接确定系数、、的值． 【详解】解：方程， 、、依次为，，， 故选：D． 9. 有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则的值为6． 故选B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键． 10. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象开口向下 C. 图象关于y轴对称 D. 无论x取何值时，y的值总是正的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质，根据解析式，逐项分析，即可求解． 【详解】解：，， ∴函数图象开口向上，对称轴为轴，顶点为，最小值为，故B，D错误，C正确， 在轴的右侧，y随x的增大而增大，故A错误， 故选：C． 11. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A. 1+x2＝91 B. （1+x）2＝91 C. 1+x+x2＝91 D. 1+（1+x）+（1+x）2＝91 【答案】C 【解析】 【分析】如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x⋅x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为x⋅x=x2个， 根据题意可列出方程为：1+x+x2=91， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 12. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 二、填空题（本题共计4小题 ，每题4分 ，共计16分 ） 13. 方程中，的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，能够识别系数，，的值和掌握判别式是是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，确定系数，，的值，然后计算判别式即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 14. 若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 15. 如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 16. 某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键． 根据给定的图找出其中的规律，列出一元二次方程求解． 【详解】解：第1个图中棋子的个数为：， 第2个图中棋子的个数为：， 第3个图中棋子的个数为：， 第4个图中棋子的个数为：， 则第个图中棋子的个数为：， ， 解得：，（不合题意，舍去） 第个图中共有个棋子． 故答案为：． 三、解答题（本题共计9小题 ，共计98分 ） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据直接开方法解一元二次方程进行计算即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程进行计算即可． 【小问1详解】 解： ，． 【小问2详解】 解： 或 ，． 【点睛】本题考查了直接开方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 阅读与思考 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得 ① 两边同除以2，得 ② 配方，得 ③ 即 ④ ∴或 ⑤ ∴， ⑥ 小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 【答案】 B ③ 正确的解析过程如下： ， 移项得，， 等式两边同时除以2得，， 配方得，， 即， ∴或， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法是关键，运用配方法求解即可． 【详解】解：小明解方程的方法是配方法， 他的求解过程从步骤③开始出现错误． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1） （2） 的值为，方程的另一根为 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等实数根，结合判别式大于0列不等式求解； （2）可代入已知根求，再解方程得另一根，或利用根与系数的关系直接计算． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系，得， ， 解得，． 20. 随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． （1）求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； （2）若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）6月份预计接待观众万人 【解析】 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． 21. 已知函数（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】（1） （2），纵坐标为的点的横坐标 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【小问1详解】 解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； 【小问2详解】 由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 22. 已知整数与的平方之和可以表示为．现有两个连续的正整数： （1）若这两个连续的正整数中，较小的数是2，求它们的平方之和是多少？ （2）若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】（1）13 （2）4和5 【解析】 【分析】（1）将和相加，即可求出它们的平方之和； （2）设这两个正整数中较小的数是，则较大的数是，根据这两个连续正整数的平方之和是41，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出较小的正整数，再将其代入中即可求出较大的正整数． 【小问1详解】 ， 答：它们的平方之和是13； 【小问2详解】 设这两个正整数中较小的数是，则较大的数是， 依题意得： 整理得： 解得：（不合题意，舍去）， ∴， 答：这两个正整数分别是4和5. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． （1）若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ （2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）和分别为与 （2） 不能实现， 理由：设，则， 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解，所以想法不能实现． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积，列出方程，是解题的关键． （1）设，则，根据矩形自由采摘区面积为，列出方程，解方程即可； （2）设，则，矩形自由采摘区的面积需改为，列出方程，判断方程解的情况即可． 【小问1详解】 解：设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：和分别为与． 【小问2详解】 略 24. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每台电暖器应降价15元或20元 （2）不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【小问1详解】 解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． 【小问2详解】 略 25. 阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 （3）小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】（1）；； （2）此方程的正根为1 （3）6 【解析】 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，求出的值，求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【小问1详解】 解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，（舍去负值）， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 【小问3详解】 解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次素质检测 九年级（人教版）数学 总分：150 分 时间： 120 分钟 一、单选题（本题共计12小题 ，每题3分 ，共计36分 ） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 若二次函数y＝ax2的图象经过点（1，﹣2），则它也经过（ ） A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，2） D. （2，1） 5. 下列一元二次方程中有两个相等的实数根是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的函数是二次函数，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 或2 D. 7. 若，是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的为（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象开口向下 C. 图象关于y轴对称 D. 无论x取何值时，y的值总是正的 11. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A. 1+x2＝91 B. （1+x）2＝91 C. 1+x+x2＝91 D. 1+（1+x）+（1+x）2＝91 12. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（本题共计4小题 ，每题4分 ，共计16分 ） 13. 方程中，的值为___． 14. 若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 15. 如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 16. 某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值是________． 三、解答题（本题共计9小题 ，共计98分 ） 17. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 18. 阅读与思考 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得 ① 两边同除以2，得 ② 配方，得 ③ 即 ④ ∴或 ⑤ ∴， ⑥ 小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 20. 随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． （1）求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； （2）若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 21. 已知函数（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 22. 已知整数与的平方之和可以表示为．现有两个连续的正整数： （1）若这两个连续的正整数中，较小的数是2，求它们的平方之和是多少？ （2）若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 23. 如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． （1）若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ （2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 24. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 25. 阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 （3）小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $