精品解析：贵州省盘州市第八中学2024-2025学年九年级上学期第一次检测数学试题

2024-2025学年度九年级第一次质量监测试卷 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本试卷满分150分，监测时间为120分钟． 2．一律在答题卡相应位置作答，在作业上答题视为无效． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 0 C. 2024 D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 乌蒙大草原是贵州省占地面积最大的草场，坐落于盘州市境内，总占地约平方千米．这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 欣赏下列的图案，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A. B. C. D. 8. 下列结论正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点是的中点，连接，分别以点，为圆心，的长为半径在外画弧，两弧交于点，连接，，过点作于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 一元二次方程中一次项系数是______． 14. 四边形是一张矩形纸片，点O是上一点，将矩形纸片折叠得到图2，使得与重合．若，则的度数为______°． 15. 若a是关于x的方程的一个根，则的值是______． 16. 如图，在边长为8的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是______． 三、解答题（本大题共9题，共98分） 17. （1）在①，②，③中任选个组成不等式组并解不等式组； （2）解方程： ①． ②． 18. 最近，小明同学学习了定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”请验证小明同学的猜想． 已知：如图，在中，是边上的中线，且． 求证：为直角三角形． 证明：用没有刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线交于点（保留作图痕迹），连接，则点是线段的中点，是的中线 ∴___①___ ∵ ∴ ∵ ∴___②___ ∵ ∴___③___ 又∵ ∴___④___ ∵ ∴___⑤___ ∴为直角三角形 19. “天宫课堂”第四课于2023年9月21日15时44分在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行太空科普授课，3名航天员演示了球星火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验．某校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，从七年级1200名学生中随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： （Ⅰ）成绩频数分布表： 成绩x（分） 频数 5 a 12 b 5 A：； B：； C：； D：； E：． （Ⅱ）这一组的分数是：70，71，71，72，74，75，77，78，78，78，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中______，______，这次成绩的中位数是______分； （2）这次测试成绩的平均数是77分，甲的测试成绩是分．甲说：“我的成绩高于平均数，所以我的成绩高于一半学生的成绩．”你认为甲的说法正确吗？请说明理由； （3）请估算该校七年级学生测试成绩在之间的人数． 20. 已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的一个实数根为1，求m的值及方程的另一个实数根． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线交于点E，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的对角线的长为，，求的长． 22. 为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好、好读书、读好书的氛围．学校计划购买甲、乙两种不同的图书．已知甲种图书比乙种图书的单价多元，用元购买甲种图书与用元购买乙种图书的数量相等． （1）甲、乙两种图书的单价各是多少？ （2）学校计划购买甲、乙两种图书共册，且乙种图书的购买数量不超过甲种图书购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？最少费用为多少？ 23. 在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． （1）若，求的长； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）探究：当线段的长为多少时，第（2）小题中的四边形是菱形？ 24. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ∵，∴．因此代数式有最小值； ②． ∵，∴．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； （2）求代数式的最小值； （3）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 25. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点F在边上，且，线段的延长线交于点E． 猜想证明： （1）“阳光”小组发现，请你证明这一结论； 操作探究： （2）“希望”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出A，两点间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级第一次质量监测试卷 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本试卷满分150分，监测时间为120分钟． 2．一律在答题卡相应位置作答，在作业上答题视为无效． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 0 C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义计算判断即可． 本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的相反数是， 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的三个要素：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是．据此判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意； B．该方程未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 乌蒙大草原是贵州省占地面积最大的草场，坐落于盘州市境内，总占地约平方千米．这个数用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：这个数用科学记数法可表示为． 故选：C． 4. 欣赏下列的图案，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图案是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键． 由合并同类项的法则：把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变，从而可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 6. 如图，在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质及勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分得到，，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， 故选：A． 7. 观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据图表，找到相邻两个的值，使的值为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， ∴一元二次方程的一个解x所在的范围是； 故选B． 8. 下列结论正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理，根据矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点的横坐标代入，求出其纵坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， 把代入，得：， 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 10. 如图，在中，，点是的中点，连接，分别以点，为圆心，的长为半径在外画弧，两弧交于点，连接，，过点作于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握这些性质是解题的关键．过点作于点，先根据作图和直角三角形斜边上的中线的性质，可证明四边形是菱形，再根据勾股定理求出，然后在中，根据等面积法求出，最后根据，得到，即可求解． 【详解】解：在中，， 点是的中点， ， 根据题意可得：， ， 四边形是菱形， 如图，过点作于点， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：A． 11. 若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到，，再根据一次函数的性质判断即可得到答案； 【详解】解：方程配方得， ， ∴，， ∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限， 故选：C． 12. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，并延长交与，连接，由矩形的性质得出，，证明得出，，由勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理即可得解． 【详解】解：如图，连接，并延长交与，连接， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵H是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 一元二次方程中一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项，进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程中一次项系数是； 故答案为：． 14. 四边形是一张矩形纸片，点O是上一点，将矩形纸片折叠得到图2，使得与重合．若，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，，根据平角的定义可得，从而得出，求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图 根据折叠的性质可得，， 矩形的对边平行 ， 故答案为：． 15. 若a是关于x的方程的一个根，则的值是______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题意把代入，得，再把代入化简计算即可． 【详解】解：∵a是关于x的方程的一个根， ∴把代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为：2024． 16. 如图，在边长为8的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，在点N的运动过程中，点在以M为圆心、为直径的圆上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而求出的长即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，而点M是边的中点 ∴点在以M为圆心、为直径的圆上运动，， ∵， ∴长度取最小值时，M、、C三点共线，即在上时， 如图所示，过点M作于交延长线于点F， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、圆外一点到圆上一点距离的最值，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等等，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分） 17. （1）在①，②，③中任选个组成不等式组并解不等式组； （2）解方程： ①． ②． 【答案】（1）选①②，；（2）①，；②， 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组和解一元二次方程，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先选择其中的两个不等式组成不等式组，再求出其中各不等式的解集，最后求出这些解集的公共部分即可； （2）①利用公式法求解即可；②利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：选①②， ， 解不等式①得：， 解不等式②： ， ， ， ， 不等式组的解集为：； （2）①解：， ， ， ，； ②解：， ， ， ， ， ，． 18. 最近，小明同学学习了定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”请验证小明同学的猜想． 已知：如图，在中，是边上的中线，且． 求证：为直角三角形． 证明：用没有刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线交于点（保留作图痕迹），连接，则点是线段的中点，是的中线 ∴___①___ ∵ ∴ ∵ ∴___②___ ∵ ∴___③___ 又∵ ∴___④___ ∵ ∴___⑤___ ∴为直角三角形 【答案】；；；； 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的作图方法，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，连接CD即可，再根据中点的定义、等边对等角的性质及三角形内角和定理即可得证． 【详解】证明：用没有刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线交于点（保留作图痕迹），连接，则点是线段的中点，是的中线 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形． 故答案为：；；；；． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了尺规作图（作线段的垂直平分线），线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. “天宫课堂”第四课于2023年9月21日15时44分在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行太空科普授课，3名航天员演示了球星火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验．某校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，从七年级1200名学生中随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： （Ⅰ）成绩频数分布表： 成绩x（分） 频数 5 a 12 b 5 A：； B：； C：； D：； E：． （Ⅱ）这一组的分数是：70，71，71，72，74，75，77，78，78，78，79，79． 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中______，______，这次成绩的中位数是______分； （2）这次测试成绩的平均数是77分，甲的测试成绩是分．甲说：“我的成绩高于平均数，所以我的成绩高于一半学生的成绩．”你认为甲的说法正确吗？请说明理由； （3）请估算该校七年级学生测试成绩在之间的人数． 【答案】（1）10，18， （2）甲的说法不正确，理由： 利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是分，甲的测试成绩是分，因此甲的成绩在一半以下； （3）约有432人 【解析】 【分析】本题考查求中位数、用样本估计总体、频数分布表等知识． （1）用总人数乘以对应的占比即可求出a的值，再由各组频数之和等于抽取的人数和可求出b的值，根据中位数的定义求出中位数； （2）根据中位数的定义进行判断即可； （3）用该校七年级学生总数乘以的对应占比进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是， 故答案为：10，18，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校七年级学生测试成绩在之间约有人． 20. 已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的一个实数根为1，求m的值及方程的另一个实数根． 【答案】（1） 证明：∵，，， ， ∵， ∴，即， ∴此方程总有两个实数根； （2），另一个实数是 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明； （2）将代入原方程可求出值，再解方程可求出方程的另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入得： ， 解得：， 把代入得：， 则， 解得：，， 所以方程的另一个实数是． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点O，分别过点C、D作、的平行线交于点E，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若菱形的对角线的长为，，求的长． 【答案】（1）证明：由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，再根据矩形的判定可得结论； （2）先证明是等边三角形，则设，则，在中，由勾股定理得：，求出，由（1）知四边形是矩形，则，最后在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形 ，， ∴，，， ， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： 解得：， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 22. 为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好、好读书、读好书的氛围．学校计划购买甲、乙两种不同的图书．已知甲种图书比乙种图书的单价多元，用元购买甲种图书与用元购买乙种图书的数量相等． （1）甲、乙两种图书的单价各是多少？ （2）学校计划购买甲、乙两种图书共册，且乙种图书的购买数量不超过甲种图书购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？最少费用为多少？ 【答案】（1）甲、乙两种图书的单价各是元和元 （2）当购买甲种图书本，乙种图书册时费用最少，费用最少为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程、不等式和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设乙种图书的单价是元，则甲种图书的单价为元，根据“用元购买甲种图书与用元购买乙种图书的数量相等”，列出分式方程，即可求解； （2）设购买甲种图书册，则购买乙种图书为册，所需总费用为元，先根据题意得到关于的不等式，求出的范围，再根据费用单价数量，得到与的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设乙种图书的单价是元，则甲种图书的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， ， 答：甲、乙两种图书的单价各是元和元； 【小问2详解】 设购买甲种图书册，则购买乙种图书为册，所需总费用为元， 根据题意可得：， 解得：， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，（元）， （册）， 答：当购买甲种图书本，乙种图书册时费用最少，费用最少为元． 23. 在四边形中，，，，．点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． （1）若，求的长； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）探究：当线段的长为多少时，第（2）小题中的四边形是菱形？ 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，判定四边形是矩形，得到，，求得，利用勾股定理求的长即可； （2）根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动，此时得到，继而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，列出方程解答即可． （3）根据题意，当时，四边形是平行四边形，此时．根据 第（2）小题中的四边形是菱形，得到，结合，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点E， ∵，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：设运动时间为． 根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点B运动， ∴， ∴， ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴． ∴， 解得， 故当时，四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：根据题意，当时，四边形是平行四边形， 此时．根据 第（2）小题中的四边形是菱形， 故， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理；平行四边形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 24. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ∵，∴．因此代数式有最小值； ②． ∵，∴．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； （2）求代数式的最小值； （3）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）1，13 （2） （3）18 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， 即， ∴的最小值为1， ， ∵， ∴， ∴的最大值为13， 故答案为：1，13； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问3详解】 解：， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为18． 25. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线的中点，连接．点F在边上，且，线段的延长线交于点E． 猜想证明： （1）“阳光”小组发现，请你证明这一结论； 操作探究： （2）“希望”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出A，两点间的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） ①四边形为菱形，理由如下∶ ∵旋转得到， ∴，． ∵四边形为矩形； ∴． ∴， ∴，； ∴， ， ， ， ∴， ∴． 由 (1) 得 ， ∴， ∴四边形是菱形． ②或 【解析】 【分析】（1）先证明，证明，则，由即可得到； （2）①证明．得到． 由 (1) 得 ，即可证明，则四边形是菱形； ②由题意得到当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转，分两种情况分别画出图形，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 ① ②在中， ∵， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转， 如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N， 则， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H， 则， ， ， ， ∴， ∴， 故两点间的距离为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $