17.1用提公因式法分解因式教学设计2026-2027学年人教版八年级数学上册

17.1 用提公因式法分解因式 课题名称 17.1 用提公因式法分解因式 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 用提公因式法分解因式 内容解析 《用提公因式法分解因式》是在学生学习了整式的乘法与乘法公式的基础上进行学习的，是整式乘法的逆向运用。因式分解是代数变形的重要手段，不仅为下节学习公式法分解因式打下基础，而且为今后学习分式的化简运算、解一元二次方程等知识奠定基础，起着承上启下的作用。学生通过观察、类比、探究等活动归纳得出因式分解的概念和提公因式法的方法，体会整式乘法与因式分解之间的互逆关系，培养逆向思维能力和运算能力。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了整式的有关概念、整式的加减乘除运算以及乘法公式的基础上，进一步研究整式的一种恒等变形。本章的主要内容是因式分解的概念、提公因式法和公式法。因式分解是代数中一种重要的恒等变形，是后续学习分式的运算、解方程等内容的重要基础。 对应课标： ①能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 ②了解因式分解的意义，体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。 课时目标 1.理解因式分解的意义，明确因式分解与整式乘法的关系；能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。（运算能力、符号意识） 2.经历探索多项式各项公因式的过程，通过类比、观察、归纳等活动，领悟提公因式法的依据是乘法分配律的逆用，渗透类比思想和化归思想，发展推理能力。 3.在自主探索和合作交流的过程中，感受数学知识之间的内在联系，体会逆向思考问题的价值，培养实事求是的科学态度和合作交流的意识。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能正确判断一个变形是否为因式分解，能准确找出多项式各项的公因式，并能用提公因式法正确分解因式。 达成目标2的标志是：学生能通过类比整式乘法的分配律，理解提公因式法的依据，并能有条理地表述找公因式和提公因式的过程。 达成目标3的标志是：学生在探究活动中积极参与，能与同伴交流自己的想法，体会因式分解在简化计算中的作用。 学情分析 已有的知识、认知水平 从认知结构的角度，八年级的学生已经具备一定的整式运算能力，学习了整式的乘法运算和乘法公式，掌握了乘法分配律，并且对逆向思维有了初步的认识。学生在学习有理数时已经接触过逆运算的思想，这为本节学习因式分解（整式乘法的逆运算）奠定了基础。但学生在逆向思维和逻辑推理方面发展不够均衡，部分学生可能对公因式的确定特别是系数和指数的确定存在困难。 困惑点或探索点 公因式的确定，特别是当多项式各项系数为整数时最大公约数的确定，以及相同字母最低次幂的选取；当多项式的某一项恰好是公因式本身时，提取公因式后该项剩余"1"而不是"0"的理解。 教学 重难点 教学重点 理解因式分解的意义，掌握用提公因式法分解因式的方法。 教学难点 准确找出多项式各项的公因式，并能正确运用提公因式法分解因式。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：因式分解是整式乘法的逆向运用，是代数恒等变形的重要手段，不仅为下节学习公式法分解因式打下基础，而且为今后学习分式的化简运算、解一元二次方程等知识奠定基础，起着承上启下的作用。 学什么：理解因式分解的意义，能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。 怎么学：学生已经学习了整式的乘法运算和乘法分配律，通过类比、观察、探究等活动，采用"动手实践、观察思考、自主探究、合作交流"的学习方法，引导学生从整式乘法的逆向运算出发，探索发现因式分解的概念和提公因式法的方法，获得新知。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 计算下列各式： （1）m(a+b+c)= （2）x(x+1)= （3）(x+1)(x-1)= 【参考答案】 （1）ma+mb+mc （2）x²+x （3）x²-1 反过来，你能写出下列式子的结果吗？ （1）ma+mb+mc= （2）x²+x= （3）x²-1= 【参考答案】 （1）m(a+b+c) （2）x(x+1) （3）(x+1)(x-1) 复习引入 师：前面我们学习了整式的乘法运算，请同学们计算黑板上的三个式子。 生：（学生独立计算，然后回答） （1）m(a+b+c)=ma+mb+mc （2）x(x+1)=x²+x （3）(x+1)(x-1)=x²-1 师：很好！现在请同学们反过来思考，如果知道右边的结果，你能写出左边的式子吗？ 生：（学生思考后回答） （1）ma+mb+mc=m(a+b+c) （2）x²+x=x(x+1) （3）x²-1=(x+1)(x-1) 师：像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。今天我们就来学习因式分解的第一种方法——提公因式法。 学生能正确完成整式乘法的计算，并能逆向写出结果，体会逆向思维的过程 通过复习整式的乘法运算，引导学生逆向思考，自然引出因式分解的概念，让学生初步感受整式乘法与因式分解之间的互逆关系，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 概念探究 一、因式分解的概念 观察下面的式子： ma+mb+mc = m(a+b+c) x²+x = x(x+1) x²-1 = (x+1)(x-1) 思考：等式左边是什么形式？右边是什么形式？ 归纳：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫做分解因式）。 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 二、公因式的概念 观察多项式 ma+mb+mc，它的各项有什么特点？ 归纳：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 三、探究：如何找公因式？ 找下列多项式的公因式： （1）3x+6y （2）ab-2ac （3）a²-2a³ （4）4m²n³-6mn² 【参考答案】 （1）公因式是3 （2）公因式是a （3）公因式是a² （4）公因式是2mn² 归纳：确定公因式的方法： ①定系数：取各项系数的最大公约数； ②定字母：取各项都含有的相同字母； ③定指数：取相同字母的最低次幂。 四、例题讲解 例1 分解因式： （1）ax-ay； （2）a²-2a； （3）a²+ab； （4）xy-y²+yz。 解：（1）ax-ay=a(x-y) （2）a²-2a=a(a-2) （3）a²+ab=a(a+b) （4）xy-y²+yz=y(x-y+z) 例2 分解因式： 8a³b²+12ab³c 解：8a³b²+12ab³c =4ab²·2a²+4ab²·3bc =4ab²(2a²+3bc) 归纳：提公因式法——一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 一、因式分解的概念 师：请同学们观察黑板上的三组等式，等式左边是什么形式？右边是什么形式？ 生：左边是多项式的和的形式，右边是几个整式乘积的形式。 师：很好！像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。请同学们注意因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。 师：想一想，因式分解与整式乘法有什么关系？ 生：（思考后回答）因式分解是整式乘法的逆运算。 师：对！整式乘法是把几个整式的积化成多项式，而因式分解是把多项式化成几个整式的积，它们是互逆的关系。 二、公因式的概念 师：观察多项式 ma+mb+mc，它的各项有什么共同特点？ 生：每一项都含有 m。 师：我们把多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 三、探究：如何找公因式？ 师：下面我们来找几个多项式的公因式，请同学们分组讨论。 （1）3x+6y 的公因式是什么？ 生：公因式是3。 师：为什么？系数3和6的最大公约数是多少？ 生：最大公约数是3。 师：很好！那字母部分呢？ 生：两项的字母分别是x和y，没有公共字母。 师：对！所以公因式就是3。 （2）ab-2ac 的公因式是什么？ 生：公因式是a。 师：为什么？ 生：两项都含有字母a，系数1和-2的最大公约数是1。 （3）a²-2a³ 的公因式是什么？ 生：公因式是a²。 师：为什么不是a³？ 生：因为第一项a²中a的指数是2，第二项a³中a的指数是3，要取最低次幂，所以取a²。 （4）4m²n³-6mn² 的公因式是什么？ 生：公因式是2mn²。 师：很好！系数4和6的最大公约数是2，字母m的最低次幂是m¹，字母n的最低次幂是n²，所以公因式是2mn²。 师生共同归纳确定公因式的方法： ①定系数：取各项系数的最大公约数； ②定字母：取各项都含有的相同字母； ③定指数：取相同字母的最低次幂。 四、例题讲解 师：下面我们来看例题。例1是用提公因式法分解因式，请同学们思考每一题的公因式是什么。 （1）ax-ay 的公因式是a，提取公因式后剩下什么？ 生：剩下x-y。 师：所以 ax-ay=a(x-y)。 （2）a²-2a 的公因式是a，提取公因式后剩下什么？ 生：剩下a-2。 师：注意，a²÷a=a，-2a÷a=-2，所以 a²-2a=a(a-2)。 （3）a²+ab 的公因式是a，提取公因式后剩下什么？ 生：剩下a+b。 （4）xy-y²+yz 的公因式是什么？ 生：公因式是y。 师：提取公因式后剩下什么？ 生：剩下x-y+z。 师：所以 xy-y²+yz=y(x-y+z)。 师：例2，8a³b²+12ab³c 的公因式是什么？ 生：系数8和12的最大公约数是4，字母a的最低次幂是a¹，字母b的最低次幂是b²，所以公因式是4ab²。 师：很好！提取公因式后： 8a³b²+12ab³c =4ab²·2a²+4ab²·3bc =4ab²(2a²+3bc) 师：请同学们注意，提公因式法的依据是乘法分配律的逆用。一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 学生能正确判断因式分解与整式乘法的区别 学生能准确找出多项式各项的公因式 学生能按步骤用提公因式法分解因式 学生能理解确定公因式的"三定"方法 引导学生通过观察、比较，归纳出因式分解的概念，体会整式乘法与因式分解的互逆关系。 通过找公因式的探究活动，让学生经历确定公因式的过程，归纳出"三定"方法，培养学生的归纳概括能力。 通过例题讲解，让学生掌握用提公因式法分解因式的步骤和方法，规范解题格式，突出教学重点，突破教学难点。 课堂练习 知识巩固 1.下列从左到右的变形，哪一个是因式分解？ （1）(x+2)(x-2)=x²-4 （2）x²-4=(x+2)(x-2) （3）x²-4+3x=(x+2)(x-2)+3x 【参考答案】第（2）个是因式分解。因为它是把多项式化成了几个整式的积的形式。第（1）个是整式的乘法，第（3）个结果不是几个整式的积的形式，所以不是因式分解。 2.分解因式： （1）3x+6 （2）7x²-21x （3）8a³b²-12ab³c+ab （4）-24x³+12x²-28x 【参考答案】 （1）3x+6=3(x+2) （2）7x²-21x=7x(x-3) （3）8a³b²-12ab³c+ab=ab(8a²b-12b²c+1) 注意：最后一项是ab，提取公因式ab后剩下的是1，不是0！ （4）-24x³+12x²-28x=-4x(6x²-3x+7) 注意：当第一项系数为负时，一般要先提出负号，括号内各项都要变号。 3.利用因式分解计算： （1）199²+199 （2）101²-101 【参考答案】 （1）199²+199=199(199+1)=199×200=39800 （2）101²-101=101(101-1)=101×100=10100 课堂练习 师：请同学们独立完成练习，然后同桌互相检查。 （学生独立完成，教师巡视指导） 师：第1题，哪一个是因式分解？为什么？ 生：第（2）个是因式分解。因为它是把多项式化成了几个整式的积的形式。 师：第（1）个是什么变形？ 生：是整式的乘法。 师：第（3）个为什么不是因式分解？ 生：因为结果不是几个整式的积的形式，还有加法。 师：第2题，请几位同学来回答。 （1）3x+6=3(x+2) （2）7x²-21x=7x(x-3) （3）8a³b²-12ab³c+ab=ab(8a²b-12b²c+1) 师：注意第（3）题，最后一项是ab，提取公因式ab后剩下的是1，不是0！ （4）-24x³+12x²-28x=-4x(6x²-3x+7) 师：注意当第一项系数为负时，一般要先提出负号，括号内各项都要变号。 师：第3题，利用因式分解计算。 （1）199²+199=199(199+1)=199×200=39800 （2）101²-101=101(101-1)=101×100=10100 师：很好！利用因式分解可以简化计算。 学生能正确判断因式分解的变形 学生能准确用提公因式法分解因式 学生能利用因式分解简化计算 题目设置由易到难层层递进，不仅巩固和掌握因式分解的概念和提公因式法的方法，熟练运用提公因式法解决问题，而且培养学生思维的灵活性和开放性，让学生体会因式分解在简化计算中的作用。 反思总结 学生为主体发言总结 本节课我们学习了哪些知识？ 你有什么收获？ 还有哪些疑惑？ 反思总结 师：今天这节课我们学习了什么内容？请同学们一起来回忆一下。 生1：学习了因式分解的概念，把一个多项式化成几个整式的积的形式。 生2：学习了公因式的概念，多项式各项都含有的公共因式。 生3：学习了提公因式法，确定公因式要"三定"：定系数、定字母、定指数。 生4：因式分解与整式乘法是互逆的关系。 师：同学们总结得很好！请同学们课后思考，我们今天学习的提公因式法与我们小学学过的乘法分配律有什么联系？ 本节课还有哪些疑惑？说一说！ 学生主动思考总结，养成归纳整理的好习惯 通过回顾课堂学习的主要内容和过程，夯实基础的落实，通过思考本节学习经验和反思疑惑深化理解，强化分析问题和解决问题的能力。 板书设计 17.1 用提公因式法分解因式 一、因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 因式分解 ↔ 整式乘法（互逆关系） 二、公因式 多项式各项都含有的公共因式 确定公因式的方法： ①定系数：最大公约数 ②定字母：相同字母 ③定指数：最低次幂 三、提公因式法 例1：（1）ax-ay=a(x-y) （2）a²-2a=a(a-2) 例2：8a³b²+12ab³c=4ab²(2a²+3bc) 学科网（北京）股份有限公司 $