17.1 用提公因式法分解因式 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“用提公因式法分解因式”核心知识点，通过分解因数类比引入分解因式，建立数与式的联系，搭建从已知到未知的学习支架，梳理因式分解与整式乘法的互逆关系。 此资料以类比探究为特色，从最大公约数迁移公因式概念培养抽象能力，通过小组讨论归纳定义与方法发展推理意识，例题中强调首项负号、漏项等易错点提升运算能力。助力学生理解概念本质，帮助教师精准突破教学重难点。

17.1　用提公因式法分解因式　教学设计 课题 第十七章　因式分解·17.1 用提公因式法分解因式 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1. 经历从分解因数到分解因式的类比过程，理解因式分解的概念及其与整式乘法的互逆关系； 2. 理解公因式的含义，掌握确定公因式的方法（系数、字母、指数）； 3. 掌握用提公因式法把多项式分解因式，初步感受因式分解在实际问题中的作用。 教学重点 因式分解的概念，以及用提公因式法把多项式分解因式。 教学难点 正确地确定多项式的最大公因式；理清整式乘法与因式分解之间的互逆关系，做到提公因式“提净、提全”。 教学方法 讲授法、探究法、类比法、练习法 教学准备 多媒体课件 课后练习 教科书P125第1,2,3题，P126练习第1,2题，P126-127习题17.1第1-8题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 1. 由“分解因数”引入 学习分数时，常要进行约分与通分，因此常把一个数分解因数：例如把 15 分解成 3×5，把 42 分解成 2×3×7。 2. 提出问题 前面学习了整式乘法：几个整式相乘可以化成一个多项式。反过来，一个多项式能否化成几个整式乘积的形式？本节就来学习把一个多项式化成几个整式的积的方法。 回顾分解因数（15=3×5、42=2×3×7），由数到式类比思考“多项式如何化成几个整式的积”。 从已学的分解因数类比引入分解因式，沟通数、式的联系，自然揭示课题，激发类比迁移的探究兴趣。 二、探究归纳 活动一 因式分解定义 活动一：探究因式分解的定义 1. 填空并观察： （1）计算： =＿＿＿＿＿＿＿＿；　=＿＿＿＿＿＿＿＿ （2）将下列各式写成乘积的形式： ①=＿＿＿＿＿＿＿＿；　②=＿＿＿＿＿＿＿＿ ③=＿＿＿＿＿＿＿＿。 订正： （1）；； （2）①；②；③。 2. 因式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 3. 小组讨论 因式分解与整式乘法有什么关系？（点拨：因式分解是由一个多项式到几个整式的积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，二者是互逆变形。） 通过填空体会乘法与“写成积的形式”的双向过程，归纳因式分解定义，对比因式分解与整式乘法得出互逆关系。 从具体式子的双向变形入手，让学生自主抽象出因式分解定义，并弄清它与整式乘法的互逆关系，把握概念的实质。 二、探究归纳 活动二 公因式概念 活动二：探究公因式的概念 1. 填空： （1）6 与 9 的最大公约数=＿＿＿＿＿＿＿＿；　（2）多项式 的公因式=＿＿＿＿＿＿＿＿。 订正：（1）3；（2）m。 2. 公因式的定义 组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 3. 归纳确定公因式的方法 （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）因式取各项相同的因式；（3）因式的指数取各项中相同因式的最低次数。 从“最大公约数”类比迁移“公因式”，自主归纳确定公因式时系数、字母、指数的三条方法。 由数的最大公约数迁移到式的公因式，归纳确定公因式的一般方法，为提公因式法作好铺垫，突出难点。 二、探究归纳 活动三 提取公因式法 活动三：提取公因式法分解因式 1. 把多项式 ma+mb+mc 写成两个整式积的形式： ，其中 m 是各项的公因式，另一个因式 是 除以 m 所得的商。 2. 提取公因式法的定义 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提取公因式法。 3. 分解因式： （1）　（2） 答案：（1）；（2）。 4. 小组讨论 应用提公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 点拨：关键是确定公因式；另一个因式就是所要求解的多项式除以公因式所得的商。 观察 ma+mb+mc 写成整式积的过程，理解“另一个因式即多项式除以公因式的商”，并尝试分解两个多项式。 由 ma+mb+mc 的分解入手揭示提公因式法实质，明确“关键在确定公因式”，并通过具体分解初步运用法则。 二、探究归纳 活动四 例题讲解 活动四：例题讲解 例1　因式分解： （1）　（2）　（3）　（4） 分析：先确定公因式，再用提取公因式法进行因式分解。 【答案】 （1）； （2）； （3）； （4）。 【讲评要点】 1. 确定公因式的方法：（1）系数取各项系数的最大公约数；（2）字母取每一项都含有的相同字母；（3）字母的指数取各项中相同字母的最低指数。 2. 提公因式法因式分解的步骤：（1）确定公因式；（2）把多项式的每一项写成含公因式的乘积形式；（3）把公因式提到括号前，把每项除去公因式后的因式放到括号内。注意提“净”（每项不再有公因式）提“全”（不漏项）。 例2　把下列各式因式分解： （1）　（2）　（3）　（4） 【答案】 （1）； （2）； （3）； （4）。 【讲评要点】 （1）确定公因式要满足“系数、所有相同字母及相应指数”三个条件，以免漏取； （2）当多项式的某一项恰是公因式时，应把它看成它与 1 的乘积，提取后剩下的应是 1；1 作为项的系数时可省略，但单独成一项时不能漏掉。提取公因式后的项数应与原多项式项数相等，用于检查是否漏项； （3）提取公因式前先看第一项系数符号，若为负号，可用添括号法则先提出负号，此时每一项都要变号，再提取公因式。 跟随教师确定公因式并规范板演例1、例2的分解过程，归纳提公因式法的步骤与注意事项，讨论“1 单独成项”“首项负号”等情形。 以典型例题示范确定公因式与提取公因式的完整流程，系统总结注意事项与易错点，突出重点、攻克难点。 三、交流反思 课堂小结 1. 提公因式法因式分解的关键是找准最大公因式，找公因式时应注意： （1）系数要找各项系数的最大公约数；（2）字母要找各项都有的相同字母；（3）指数要找相同字母的最低次幂。 2. 因式分解应注意分解彻底，即分解到不能再分解为止；一种因式、因子的积形式不完整即可找回整式乘法检验逆算。 易错提醒：①提“净”提“全”，防止漏项、漏变号；②某一项恰为公因式时，剩下的 1 不能丢；③整式乘法与因式分解互为逆变形，可用乘法检验。 回顾确定最大公因式的方法与提公因式的步骤、易错点，用整式乘法检验因式分解结果是否正确。 将确定公因式“系数、字母、指数”方法与提“净、全”要求系统梳理，强调互逆关系与检验方法，形成清晰的解题路径。 四、检测反馈 1. 下列变形从左到右属于因式分解的是（　　） A. (x-3)(x+3)=x²-9　　B. 6a³b²c=2a²b·3abc C. x²-2x+1=x(x-2)+1　　D. x²+4x+4=(x+2)² 答案：D（D 是一个多项式化成几个整式乘积的形式；A 是整式乘法；B 左边是单项式；C 右边含“+1”，不是几个整式的积。） 2. 把 x³y²-3x²yz 分解因式，正确的结果是（　　） A. x²(xy²-3y²)　　B. y(x³-3x²z)　　C. x³y²z(2xy) D. x²y(xy-3z) 答案：D（各项公因式为 x²y，提取后 x²y(xy-3z)。） 3. 下列因式分解中正确的是（　　） A. 3xᵐ-12xᵐ⁺¹=xᵐ(3-12x)　　B. (a-b)²-(b-a)³=(a-b)²(1-b+a) C. 2(x-2y)-(2y-x)²=(x-2y)(2-2y+x) D. 8x²y-4x=4xy(2x-1) 答案：B（因 (b-a)³=-(a-b)³，原式=(a-b)²+(a-b)³=(a-b)²(1+a-b)=(a-b)²(1-b+a)，满足因式分解定义；A、C、D 提取公因式后括号内符号或次数不符合“提净、提全”要求。） 4. 填空： （1）多项式 的公因式是＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）多项式 的公因式是＿＿＿＿＿＿＿＿。 答案：（1）；（2）。 5. 填空： （1）将多项式 提出公因式 -a 后，另一个因式为＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）将多项式 分解因式，应提出公因式＿＿＿＿＿＿＿＿。 答案：（1）（(-a)(5a-3b)=-5a^{2}+3ab）；（2）。 6. 利用提公因式进行计算： （1）　（2） 答案：（1）； （2）。 7. 把下列各式分解因式： （1）　（2）　（3） 答案：（1）；（2）； （3）。 8. 先因式分解，再求值：5x(m-2)+4x(2-m)，其中 x=0.4，m=5.5。 答案：原式=；当 x=0.4，m=5.5 时，原式=。 9. 已知实数 a、b 满足 ，，求代数式 的值。 答案：。 独立完成选择、填空、简算与先分解再求值题，重点交流检测5的公因式确定、检测8、9的整体提公因式求值。 即时检验因式分解概念、公因式确定与提公因式法的掌握情况，通过概念辨异、填空、简算、求值等题型反馈教学效果，强化“提净、提全”重点与易错点。 五、布置作业 必做： 教科书第125页第1、2、3题，第126页练习第1、2题。 选做： 教科书第126-127页习题17.1第1-8题。 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固因式分解概念与提公因式法，选做题侧重综合运用，兼顾不同层次学生。 板书设计 17.1　用提公因式法分解因式 1. 因式分解 多项式 → 几个整式的积 与整式乘法互为逆变形 2. 公因式 各项的公共因式 3. 提公因式法 确定公因式：系数最大公约数 相同字母、最低次幂 提“净”提“全”，首项负号先提 例题板演　例1　例2 学生板演区 教学反思 在刚学多项式因式分解时，非常重要的一点是能否正确理解因式分解与整式乘法的区别和联系。判断一个多项式的变形是否属于因式分解，关键看变形后的结果是否为几个整式的乘积——整式可以是单项式，也可以是多项式；同时因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方等运算，而是把多项式由一种形式恒等地变成另一种形式。 因式分解是一种恒等变形，它与整式乘法互为逆变形。检验因式分解结果是否正确，可利用整式乘法运算看乘积是否与原多项式相等；当若干相同的因式出现时应写成幂的形式。教学中应通过类比“分解因数”引出“分解因式”，让学生从数到字母、由具体到一般地建立概念，再用提公因式法的“提净、提全”要求规范操作，并在练习中不断纠正漏项、变号等错误。 学科网（北京）股份有限公司 $