第9讲·幂的运算·培优讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第9讲·幂的运算·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握同底数幂的乘法法则 · 掌握幂的乘方法则 · 掌握积的乘方法则 · 能逆用幂的运算法则求值 · 熟练进行幂的混合运算 📚 知识梳理 ☆ 1.同底数幂的乘法 同底数幂相乘：a^m · a^n = am+n 底数不变，指数相加 逆用：am+n = a^m · a^n 注意底数必须相同 概念辨析例题：计算：a^3 · a^4 答案：a^7 解析：同底数幂相乘，底数不变指数相加：a3+4=a^7。 ☆ 2.幂的乘方 幂的乘方：(a^m)^n = amn 底数不变，指数相乘 逆用：amn = (a^m)^n 注意与同底数幂乘法区分 概念辨析例题：计算：(a^2)^3 答案：a^6 解析：幂的乘方，底数不变指数相乘：a2×3=a^6。 ☆ 3.积的乘方与混合运算 积的乘方：(ab)^n = a^n b^n 积的乘方等于各因式乘方的积 逆用：a^n b^n = (ab)^n 混合运算注意运算顺序 概念辨析例题：计算：(2a)^3 答案：8a^3 解析：积的乘方：2^3 · a^3 = 8a^3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同底数幂乘法 a^m · a^n = am+n 底数不变指数相加 幂的乘方 (a^m)^n = amn 底数不变指数相乘 积的乘方 (ab)^n = a^n b^n 各因式分别乘方 逆用 am+n=a^m·a^n 注意变形方向 混合运算 先乘方后乘除 注意符号 ⚠️ 核心考点 【考点1】同底数幂的乘法（第1-34题） · a^m·a^n=am+n · 底数不变指数相加 · 逆用拆分指数 · 注意底数相同 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则＝（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．12 D．13 3．（23-24七年级下·山东淄博·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D．0 4．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子： 根据以上的信息及运关系，若则 （   ） A． B． C．7 D． 5．（24-25七年级下·广东茂名·期末）我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 6．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段检测）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）______． 9．（24-25七年级下·浙江金华·期中）计算：______． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则________． 11．（23-24七年级下·江西抚州·期中）如果，则，例如，则．根据上述规定，若，则_____； 12．（2025·河北保定·三模）已知，则的值是________ ． 13．（24-25八年级上·全国·课堂例题）若，则______． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为___________． 15．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算：________． 16．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）已知，，则__________． 17．（24-25七年级上·上海·期中）计算：______． 18．（20-21七年级下·湖南张家界·期末）已知：，则m的值为___________． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 20．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题，结果用幂的形式表示． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 【考点2】幂的乘方（第35-52题） · (a^m)^n=amn · 底数不变指数相乘 · 逆用合并指数 · 与乘法区分 25．（22-23七年级下·河南平顶山·期中）丁丁认为下列括号内都可以填，你认为使等式成立的只能是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 29．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·上海·阶段检测）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 31．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知，则的值为______． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，，则____．（填“”“”或“”） 33．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）现定义一种新运算“※”：，例如，．若，则________． 34．（25-26八年级上·全国·单元测试），则______． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则x的值为________． 36．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． (3)直接写出a，b，c之间的数量关系：_______ 37．（25-26七年级下·全国·课后作业）我们知道还可以用怎样的式子来表示？请说出你这样表示的依据． 38．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）计算：． 39．（25-26六年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 40．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 41．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)____________；若，则____________； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，求的值 【考点3】积的乘方与幂的混合运算（第53-52题） · (ab)^n=a^n b^n · 逆用凑整 · 先乘方后乘除 · 注意符号 42．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段检测）计算：（　　） A． B． C．1 D．4 43．（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 45．（23-24七年级下·全国·暑假作业）计算的结果等于_________． 46．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知，，那么P________Q ．（填“”或“”或“”　） 47．（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个正方形的周长为，则这个正方形的面积是________． 48．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）计算： ______． 49．（25-26七年级上·上海·期末）计算： 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 51．（2023七年级上·全国·竞赛）计算或解方程 (1) (2) (3) 52．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 💯 课后巩固 复习建议 · 同底数幂乘法指数加 · 幂的乘方指数乘 · 积的乘方各因式乘 · 逆用注意变形 · 混合先乘方后乘除 【作业1】．（25-26七年级下·北京石景山·期中）已知，，则的值为（     ） A．8 B．16 C．6 D．4 【作业2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【作业4】．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）． A．9 B．81 C．243 D．729 【作业5】．（24-25七年级下·山东聊城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如若，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业7】．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则________． 【作业8】．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如果，那么__________． 【作业9】．（24-25八年级上·山东济宁·期末）_____． 【作业10】．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知，则_______． 【作业11】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则的值为_______________． 【作业12】．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是_____（填序号）． 【作业13】．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，，则________． 【作业14】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，求下列各式的值． (1) (2) 【作业15】．（25-26七年级下·全国·课后作业）等于什么？ 【作业16】．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）若，，求． 【作业17】．（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【作业18】．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册 第9讲 幂的运算 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握同底数幂的乘法法则 · 掌握幂的乘方法则 · 掌握积的乘方法则 · 能逆用幂的运算法则求值 · 熟练进行幂的混合运算 📚 知识梳理 ☆ 1.同底数幂的乘法 同底数幂相乘：a^m · a^n = am+n 底数不变，指数相加 逆用：am+n = a^m · a^n 注意底数必须相同 概念辨析例题：计算：a^3 · a^4 答案：a^7 解析：同底数幂相乘，底数不变指数相加：a3+4=a^7。 ☆ 2.幂的乘方 幂的乘方：(a^m)^n = amn 底数不变，指数相乘 逆用：amn = (a^m)^n 注意与同底数幂乘法区分 概念辨析例题：计算：(a^2)^3 答案：a^6 解析：幂的乘方，底数不变指数相乘：a2×3=a^6。 ☆ 3.积的乘方与混合运算 积的乘方：(ab)^n = a^n b^n 积的乘方等于各因式乘方的积 逆用：a^n b^n = (ab)^n 混合运算注意运算顺序 概念辨析例题：计算：(2a)^3 答案：8a^3 解析：积的乘方：2^3 · a^3 = 8a^3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同底数幂乘法 a^m · a^n = am+n 底数不变指数相加 幂的乘方 (a^m)^n = amn 底数不变指数相乘 积的乘方 (ab)^n = a^n b^n 各因式分别乘方 逆用 am+n=a^m·a^n 注意变形方向 混合运算 先乘方后乘除 注意符号 ⚠️ 核心考点 【考点1】同底数幂的乘法（第1-34题） · a^m·a^n=am+n · 底数不变指数相加 · 逆用拆分指数 · 注意底数相同 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则＝（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据同底数幂的乘法可得，再将，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·山东淄博·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，据此可得答案． 【详解】解： ， 故选：D． 4．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段检测）式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子： 根据以上的信息及运关系，若则 （   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 5．（24-25七年级下·广东茂名·期末）我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段检测）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同底数幂的乘法法则进行作答，即可求解． 【详解】根据同底数幂相乘的法则，当底数相同时，指数相加，即：， 选项A为，对应幂的乘方法则（指数相乘），但题目中是乘法，故错误； 选项B为，错误地将底数相乘，不符合法则； 选项D为，底数被错误地相加，结果显然不成立； 选项C符合同底数幂相乘的法则，因此正确答案为C； 故选：C． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】将待求式中的、化为以2为底的幂，使指数出现，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）______． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·浙江金华·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂乘法，根据同底数幂乘法得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·江西抚州·期中）如果，则，例如，则．根据上述规定，若，则_____； 【答案】3 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查乘方及同底数幂乘法逆运算， 根据新定义列式，再根据乘方的逆运算即可得答案，正确理解新定义，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：如果，则，， ， ， 故答案为：3. 12．（2025·河北保定·三模）已知，则的值是________ ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·全国·课堂例题）若，则______． 【答案】8 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，由题意可得，再将所求式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为___________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘，将等式两边分别化简，利用同底数幂的乘法运算性质，得到指数相等的条件，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算：________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 16．（24-25八年级上·江西南昌·阶段检测）已知，，则__________． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了逆用同底数幂相乘，幂的乘方，根据题意得出，再代入数据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 17．（24-25七年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．（20-21七年级下·湖南张家界·期末）已知：，则m的值为___________． 【答案】1007 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】这道题考查的是指数的运算性质．需要将不同底数的幂转换为相同底数的幂，通过等式两边的指数相等来求解未知数 的值．本题主要考查了指数的运算性质，熟练掌握指数运算性质和等式两边指数相等的解题方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 解得， 故答案为： ． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】25 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据计算即可． 【详解】解：因为， 所以． 20．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘的应用，理解题意，整理得，又因为，故，运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，即可作答． 【详解】解：，， ∴， ∵， ． 则 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算下列各题，结果用幂的形式表示． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键. （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 22．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若运算的结果为108，则t的值是多少？ 【答案】(1)96； (2)22； (3)3 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】（1）根据所给的新定义把代入中进行求解即可； （2）先根据积的乘方求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴ ； （3）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算等计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方进行计算即可求解； （2）根据积的乘方进行计算即可求解； （3）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m、n是正整数）； (4)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加，即（m，n为正整数）． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【考点2】幂的乘方（第35-52题） · (a^m)^n=amn · 底数不变指数相乘 · 逆用合并指数 · 与乘法区分 25．（22-23七年级下·河南平顶山·期中）丁丁认为下列括号内都可以填，你认为使等式成立的只能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算 【分析】此题考查了幂的乘方，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（是正整数），依此即可求解，熟知幂的乘方法则是关键 【详解】解： 故选：A． 26．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】此题考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算得到，，然后比较它们的指数的大小，指数大的就大． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 27．（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【答案】B 【知识点】有理数乘方逆运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 29．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 30．（24-25七年级上·上海·阶段检测）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方计算法则得到，根据幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方计算法则得到，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知，则的值为______． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的混合运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂乘除法，幂的乘方的逆运算，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可得，再将变形为，即可计算求值． 【详解】解：， ， ， 故答案为：3． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，，则____．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握该知识点是解题的关键．先计算出，，通过，得到，从而得出答案． 【详解】解：已知，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 33．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）现定义一种新运算“※”：，例如，．若，则________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】先根据新运算定义展开等式左边，利用幂的运算法则化简后，对比等式两边同类项的指数得到n的值，再求出系数k，最后计算即可． 【详解】解：根据新运算定义，可得， 根据积的乘方法则展开，得 原式， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 34．（25-26八年级上·全国·单元测试），则______． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂的运算法则，幂的乘方与积的乘方，运用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的运算法则推导出即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则x的值为________． 【答案】4 【知识点】幂的乘方的逆用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则． 根据同底数幂的乘法，可化成同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． (3)直接写出a，b，c之间的数量关系：_______ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解； （2）根据同底数幂乘法的逆运算求解； （3）观察（1）（2）结论可直接得出答案． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ，， ； （3）解：由（1）（2）知， ． 37．（25-26七年级下·全国·课后作业）我们知道还可以用怎样的式子来表示？请说出你这样表示的依据． 【答案】或（合理即可） 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的运算（幂的乘方、同底数幂乘法），运用了公式逆用的方法，解题关键是掌握幂的运算公式，易错点是混淆幂的乘方与同底数幂乘法的法则． 【详解】解：还可以表示为，依据幂的乘方法则： 这里，，； 也可表示为，依据同底数幂乘法法则： ； 38．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算即可． 【详解】解：． 39．（25-26六年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 【答案】（1）8；（2）32 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法运算，以及整体代入的思想． 解题的关键是将所求代数式转化为以2为底的幂，再利用已知条件进行整体代入．利用幂的乘方公式，将所求代数式转化为含的形式，再代入计算． 【详解】（1）解：由 ，得 ． 将 转化为． 代入，得． (2)解： 将代入，得 ． 40．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)； ，，之间存在等量关系， 证明：，，，， ， ， ， ． 【知识点】有理数大小比较、同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． 略 41．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)____________；若，则____________； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，求的值 【答案】(1)4；64 (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，幂的乘方及其逆运算： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂乘法计算法则得到，据此可得答案； （3）根据新定义得到，再由幂的乘方计算法则求出，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；64； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 【考点3】积的乘方与幂的混合运算（第53-52题） · (ab)^n=a^n b^n · 逆用凑整 · 先乘方后乘除 · 注意符号 42．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段检测）计算：（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方逆运算计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 43．（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项的运算，解题的关键是牢记法则并熟记计算．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 45．（23-24七年级下·全国·暑假作业）计算的结果等于_________． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知积的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 46．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知，，那么P________Q ．（填“”或“”或“”　） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、同底数幂相乘、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了实数的大小比较，同底数幂的乘法，积的乘方逆运算，掌握运算法则是解题的关键．利用作差法得到，再根据积的乘方逆运算化简计算． 【详解】解： ， ∴ 故答案为：． 47．（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个正方形的周长为，则这个正方形的面积是________． 【答案】/ 【知识点】列代数式、积的乘方运算 【分析】本题考查了列代数式和积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先表示出正方形边长，在求面积即可． 【详解】因为这个正方形的周长为， 所以这个正方形的边长为， 所以这个正方形的面积是． 故答案为：． 48．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）计算： ______． 【答案】 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为: ． 49．（25-26七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】合并同类项、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方． 先计算积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的逆运算法则得到，再代值求解即可． 【详解】解：原式， ． ∵，， ∴原式． 51．（2023七年级上·全国·竞赛）计算或解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方的逆用、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，幂的乘方的逆用，解一元一次方程，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内运算，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）逆用幂的乘方简便计算即可； （3）先去中括号，再移项合并化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 解得． 52．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)1，6； (2)6； (3) 证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【知识点】数字类规律探索、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为1； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：1，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）略 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 同底数幂乘法指数加 · 幂的乘方指数乘 · 积的乘方各因式乘 · 逆用注意变形 · 混合先乘方后乘除 【作业1】．（25-26七年级下·北京石景山·期中）已知，，则的值为（     ） A．8 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【作业2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据积的乘方和幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故选：C 【作业3】．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则的逆运算，解答本题的关键是根据幂的乘方运算逆运算进行变式．根据幂的乘方运算即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【作业4】．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）． A．9 B．81 C．243 D．729 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键． 先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球． ∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有（个）球， ，， ， ， 故选：C． 【作业5】．（24-25七年级下·山东聊城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如若，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，新定义下的实数运算，根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题． 【详解】解：∵，， 故． 故选： C． 【作业6】．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【作业7】．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【作业8】．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如果，那么__________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法运算可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【作业9】．（24-25八年级上·山东济宁·期末）_____． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方的逆用是解题的关键．逆用积的乘方法则即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【作业10】．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知，则_______． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方运算法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可. 【详解】解： ∵，， ∴上式. 【作业11】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则的值为_______________． 【答案】64 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘法的逆用，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行化简，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：64． 【作业12】．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是_____（填序号）． 【答案】①③ 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 【作业13】．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，，则________． 【答案】12 【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方和有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先进行积的乘方运算，然后整体代入求值即可． 【详解】 把，代入，原式． 【作业14】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)63 (2)196 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则． （1）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】（1）解： 已知，代入得： ； （2）解： 已知，代入得： ． 【作业15】．（25-26七年级下·全国·课后作业）等于什么？ 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 【作业16】．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段检测）若，，求． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用、代入消元法 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，代入消元法，幂的乘方和积的乘方逆用法则，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方运算法则． 根据幂的乘方和积的乘方的逆运算，建立二元一次方程组，分别求出m、n的值，然后代入中求解即可． 【详解】解：依题意，，， ∴， 即， 整理得， 再把代入，得， 解得， 则， 解得， ∴． 【作业17】．（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先逆用积的乘方运算法则将原式化成符合逆用幂的乘方运算法则的形式，然后再计算即可； （2）先逆用积的乘方运算法则将原式化成符合逆用幂的乘方运算法则的形式，然后再计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． 【作业18】．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【答案】（1）（2） 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解决问题的关键． （1），，利用运算法则计算即可． （2）观察题目中数据可知，构造即可求出结果． 【详解】解：（1），， ． （2）， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $