精品解析：广东 深圳宝安实验学校2026-2027学年九年级上学期数学学情自测试卷

2026-2027学年第一学期九年级月度质量调研数学试卷 考试时间90分钟 满分100分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从物体上面看所得到的图形，根据几何体的特征进行判断即可求解． 【详解】解：该螺栓上部是圆柱，下部是正六棱柱 ∴从上往下看，圆柱的投影是一个圆，正六棱柱的投影是一个正六边形 ∴该螺栓的俯视图是一个正六边形，中间有一个圆． 2. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 3. 下列性质中菱形有而矩形没有的是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质和矩形的性质，它们都具有平行四边形的性质，且各具有自己的特点．根据菱形和矩形性质，可知菱形和矩形的不同是：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 【详解】解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角相等；菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 故选：B． 4. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为 ，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比，根据题意，代值求解即可得到答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得， ， ， 故选：A． 6. 如图，正方形的边长为8，分别交，于点，，在上任取两点，，那么图中阴影部分的面积是（　　） A. 48 B. 40 C. 32 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．过点作直线于点，交于点，过点作于点，证明四边形和是四边形都是矩形得，，则，由三角形面积公式得，，则，根据“”即可得出答案． 【详解】解：过点作直线于点，交于点，过点作于点，如图所示： 四边形是正方形，且边长为8， ，，，， ， ， ，， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， 由三角形的面积公式得：，， ， ． 故选：C． 7. 如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 8. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，动点问题的函数图象，由函数图象，得到，，，再由勾股定理，三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由图象知：，，， 令， ∴ 由勾股定理： ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到的值． 【详解】解：， ， 即， 移项得， 等号两边都除以2得． 故答案为． 10. 如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 11. 如图，小益利用标杆测量旗杆的高度，测得小益的身高米，标杆米，米，米，则旗杆的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】先求出米，米，再根据，得到，即可得到旗杆的高度． 【详解】解：如图， 米，米，米， 米，米， ， ， ， ， 米， 米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握用相似三角形的相似比求物体高度是解题关键． 12. 取一张矩形纸片（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在上，折痕为，再按如图3所示方式折叠，点与点恰好重合，则____． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据折叠的性质、矩形的性质可判断是等腰直角三角形，则可得，根据折叠的性质得出，即可求解． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 根据图2可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据图3可得， ∴. 13. 如图，在矩形中，，点E为上一点，，连接，作的平分线交于点F，连接交于点G．当时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交的延长线于M，延长，交的延长线于N．根据勾股定理可求，从而可求出．又易证，即可求得，结合勾股定理可求得的长．又易证，即可求得的长．再根据即可求得答案． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于M，延长，交的延长线于N． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵在中，， ∴． ∵平分，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 三、解答题 14. 实数的计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简乘方，算术平方根，绝对值，然后去括号，最后算加减． 【详解】解： = = =． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根的概念和绝对值的意义是解题关键． 15. 解下列方程： （1） （2）； （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 【小问3详解】 解： 方程变形为， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 16. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在第二象限作的位似图形，使的边长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点的坐标：___________； （2）如果内部的一点M坐标为，则M的对应点的坐标是___________． （3）___________． 【答案】（1） 由位似的性质作图，如图1： ∴， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了位似作图，位似的性质．熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）由位似的性质作图，如图1：进而可求； （2）由位似的性质可知，； （3）如图2，连接，由位似的性质可知，，即，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由位似的性质可知，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图2，连接， 由位似的性质可知，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克， （1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为___________千克，每天共盈利___________元； （2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）480、3360； （2）水果在原售价的基础上应涨价5元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用每天的销售量某水果批发价每千克涨价的钱数，可求出每天的销售量，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可求出每天销售该种水果获得的总利润； （2）设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要使顾客得到实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：当某水果批发价每千克涨价2元时，则每千克的销售利润为（元，每天的销售量为（千克）， 每天共盈利（元） 故答案为：480，3360； 【小问2详解】 解：设水果批发价每千克涨价元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要使顾客得到实惠， ． 答：水果批发价每千克应涨价5元． 18. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ． ∵， ， ， ， ， ， ； （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质， （1）由菱形的性质可证明，即可证明，可得出结论； （2）由可得，设，则，，证明，得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ． 19. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 【答案】（1）； （2） 解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3），． 【解析】 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【小问1详解】 由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．． 20. 定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． （1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有：______； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是4的平行四边形 （2）在“N字平行四边形”中，，，则______； （3）如图1，在“N字平行四边形”中，，，点F是边上一点，过F作交延长线于点G，若为“N字平行四边形”，求的值； （4）如图2，在矩形中，点E、F分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”，若，求的值． 【答案】（1）C （2） （3） （4）1或 【解析】 【分析】（1）根据定义逐一判断即可； （2）当时，可分两种情况：，和，讨论求解即可； （3）连接，可证明，由大角对大边可得，，再分两种情况：①当时， ②当时，讨论求解即可； （4）过点E作于点M，过点F作于点N，证明四边形是矩形，得到；根据，，可分两种情况：①当时，②当时，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：矩形的一条对角线与其相邻的两边组成一个直角三角形，且对角线是斜边，故矩形的对角线长一定大于其任意一边的长，故矩形不是“N字平行四边形”， 正方形的一条对角线与其相邻的两边组成一个直角三角形，且对角线是斜边，故正方形的对角线长一定大于其边长，故正方形不是“N字平行四边形”， 菱形的一组邻边相等，若有一个角是，那么该角所对的对角线与一组邻边可构成等边三角形，故有一个角是的菱形是“N字平行四边形”； 有一个角是的平行四边形和有一个角是的平行四边形都不一定是“N字平行四边形”； 【小问2详解】 解：当时，如图，平行四边形是“N字平行四边形”， 若，则， ∴， ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴，这与矛盾，故此种情况不存在； 若，则， ∴， ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵在中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由大角对大边可得，， 若为“N字平行四边形”，只能分为以下几种情况： ①当时，， 过点F作于点H，则，， ∴， ∴， ∴； ②当时，，此时，则此时点在的延长线上，不符合题意； 综上，若为“N字平行四边形”，则； 【小问4详解】 解：如图，过点E作于点M，过点F作于点N， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴． ∵四边形为“N字平行四边形”， 又∵，， ∴分两种情况讨论如下： ①当时， ∵， ∴． 在矩形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由可得：． ∴， ∴． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级月度质量调研数学试卷 考试时间90分钟 满分100分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列性质中菱形有而矩形没有的是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 4. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为8，分别交，于点，，在上任取两点，，那么图中阴影部分的面积是（　　） A. 48 B. 40 C. 32 D. 24 7. 如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为________． 10. 如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 11. 如图，小益利用标杆测量旗杆的高度，测得小益的身高米，标杆米，米，米，则旗杆的高度是______米． 12. 取一张矩形纸片（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在上，折痕为，再按如图3所示方式折叠，点与点恰好重合，则____． 13. 如图，在矩形中，，点E为上一点，，连接，作的平分线交于点F，连接交于点G．当时，的长为______． 三、解答题 14. 实数的计算： 15. 解下列方程： （1） （2）； （3） 16. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在第二象限作的位似图形，使的边长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点的坐标：___________； （2）如果内部的一点M坐标为，则M的对应点的坐标是___________． （3）___________． 17. 某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克， （1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为___________千克，每天共盈利___________元； （2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？ 18. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 20. 定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． （1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有：______； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是4的平行四边形 （2）在“N字平行四边形”中，，，则______； （3）如图1，在“N字平行四边形”中，，，点F是边上一点，过F作交延长线于点G，若为“N字平行四边形”，求的值； （4）如图2，在矩形中，点E、F分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $