专题12 随机事件的概率（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题12 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）下列事件中，是必然事件的是（       ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 B. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 打开电视，正在播放《大国工匠》 【答案】B 【分析】 本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行判断即可． 【详解】 解：A、是随机事件，不符合题意； B、是必然事件，符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是随机事件，不符合题意； 故选B． 2．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）下列事件是必然事件的是（       ） A. 打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C. 小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【分析】 本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】 解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误； B、是必然事件，符合题意，选项正确； C、是随机事件，不符合题意，选项错误； D、是随机事件，不符合题意，选项错误； 故选：B． 3．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）下列事件中是必然事件的是（       ） A. 内错角相等 B. 经过红绿灯路口，遇到红灯 C. 任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】 本题考查了事件的分类，三角形三边关系，平行线的性质．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．选项A需要两直线平行才成立，否则不一定；选项B和C是随机事件，具有不确定性；选项D是三角形的基本性质，总是成立，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：A、内错角相等需两直线平行，否则不成立，不是必然事件； B、经过红绿灯路口可能遇到红灯、绿灯或黄灯，不是必然事件； C、抛掷硬币可能正面朝上或反面朝上，不是必然事件； D、三角形任意两边之和大于第三边是三角形的三边关系定理，对于任何三角形都必然成立，是必然事件． 故选：D 4．（2025·四川宜宾·质量监测）下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（       ） A. 宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B. 游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C. 宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D. 宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 【答案】B 【分析】 本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，需依据三类事件的概念对各选项进行判断． 【详解】 ∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． ∵A选项中金沙江与岷江在三江口汇入长江是客观既定事实，属于必然事件． ∵C选项中溶洞内不具备阳光直射的条件，一定不会出现阳光直射现象，属于不可能事件． ∵D选项中李庄白肉制作过程使用猪肉是其固有属性，属于必然事件． ∵B选项中游览蜀南竹海时是否遇到下雨，结果具有不确定性，可能发生也可能不发生，属于随机事件． 故选：B． 5．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）签筒中有5根质地均匀材质相同的纸签，上面分别标有数字1，2，3，4，5．从中随机抽取一根，下列事件属于随机事件的是（       ） A. 抽到的纸签上标有数字是1 B. 抽到的纸签上标有数字小于6 C. 抽到的纸签上标有数字是0 D. 抽到的纸签上标有数字大于6 【答案】A 【分析】 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，据此逐项分析解题． 【详解】 解：A.有可能抽到也有可能没抽到，是随机事件，故A符合题意； B.是一定会发生的事件，是必然事件，故B不符合题意； C.是不可能发生的事件，故C不符合题意； D.是不可能发生的事件，故D不符合题意， 故选：A． 【点睛】 本题考查随机事件，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）下列说法正确的是 （    ） A. “若是实数，则”是必然事件 B. 某高速路口对来往车辆进行疫情防控检查，可以采取抽样调查的方式进行 C. 某天位学生体温数据是 ，，，， ，这组数据的中位数是 D. 甲、乙两块地小麦长势的平均数相同，方差分别为，，那么甲块地小麦长得比较整齐 【答案】D 【分析】 本题考查必然事件、调查方式、中位数和方差的概念．A选项涉及必然事件的判断；B选项涉及调查方式的选择；C选项涉及中位数的计算；D选项涉及方差的意义．解题的关键是掌握：必然事件需一定发生；疫情防控应全面调查；中位数需排序取中；方差小表示数据稳定． 【详解】 解：A．∵当时，， ∴“”不是必然事件，原说法错误，故此选项不符合题意； B．∵疫情防控检查需全面调查，不能抽样， ∴原说法错误，故此选项不符合题意； C．∵数据排序后为，，，，， ∴中位数为，原说法错误，故此选项不符合题意； D．∵方差越小越整齐，且， ∴甲块地小麦长得比较整齐，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 考点02 概率 1．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）在一次数学活动课中制作了一个抽奖转盘，如图所示的盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字1，2，3分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了几何概率，正确应用概率公式是解题关键．每转动一次就要8种可能，而其中是2的有3种可能．然后根据概率公式直接计算即可． 【详解】 解：出现2有3种情况，共有8种情况， 将转盘转动一次，转到2的概率为：． ∴获得二等奖的概率为． 故此题选C． 2．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 3．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（       ） A. 3 B. 12 C. 18 D. 27 【答案】C 【分析】设黑球个数为，根据概率公式可知白球个数除以总球数等于摸到白球的概率，建立方程求解即可. 【详解】设黑球个数为，由题意得 解得： 故选C. 【点睛】本题考查根据概率求数量，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键. 4．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）（    ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意列表得出所有等可能结果以及满足题意的结果数是解题的关键． 将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】 解：将5个扇形分别记作A、B、C、D、E，其中红色区域分别记作A、B，列表如下： 由表知，共有25种等可能结果，其中他获得奖品的有16种结果， 所以他获得奖品的概率为． 故选：C． A B C D E A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （E，E） 5．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n值是　　　　　． 【答案】33 【分析】直接利用频率估计概率，进而得出关于n的等式求出答案． 【详解】由题意可得：， 解得：n＝33， 经检验，n=33是原方程的解. 故答案为：33． 【点睛】此题主要考查了用频率估计概率，正确得出关于n的等式是解题关键． 6．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到四边形上，则飞镖落在阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查几何概率．利用三角形中位线的性质以及相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：．， ∴，， ， ， ， 同法可证，，，， ， 则飞镖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了几何概率，落在蓝色区域的概率等于蓝色区域面积在整个圆中的占比，据此可得答案． 【详解】 解：指针落在蓝色区域的概率是， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解． 【详解】 解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果， 所以取到有理数的概率为， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）一个盒子中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的红球的个数为　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了简单事件的概率计算、分式方程的应用，熟练掌握简单事件的概率计算方法是解题关键． 设盒子中原有的红球的个数为个，根据摸到白球的概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：设盒子中原有的红球的个数为x个，则总球数为个． 摸到白球的概率为， 由题意得：． 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 故盒子中原有的红球的个数为4个． 10．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】 解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）在三张分别标有数字，，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为后放回，再次洗匀从中任取一张，将数字记为，则方程有解的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了概率公式，用到的知识点是概率公式和根的判别式．根据题意可以求得，得到两次取得卡片数字的事件共有等9种可能的事件，然后根据概率公式求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有解， ， 两次取得卡片数字的事件为，，，，，，，，等9种可能的事件， 当时，一定大于0，方程有解，共有，，，，，6种可能的事件， 当时，，方程无解； 当时，，方程无解； 当时，，方程无解； 数字，使得关于的方程有解的概率为：； 故答案为：． 12．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）若关于的一元一次不等式组 的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数是非负整数的概率为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 解一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为，列出6，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出0，求得a的范围；检验分式方程，列出1，即，求得a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求概率即可． 【详解】 解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：x， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 分式方程两边都乘得：， 解得：， ∵方程的解是正整数， ∴， ∴； ∵， ∴1， ∴， ∴， ∴能是正整数解的a是：， ∴是非负整数的概率为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，求概率，注意解分式方程一定要检验是本题的关键． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，电路图上有A，B，C三个开关和一个正常的小灯泡L，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】 解：列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中能让灯泡发光的情况有种， ∴能让灯泡发光的概率为， 故选：D． 2．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 画树状图得出所有可能的结果数以及两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果数，再利用概率公式即可解答． 【详解】 解：按图上顺序将张卡片分别记为，，，，则属于化学变化的有和，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有种， 故这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 3．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种， 则灯泡发光的概率为， 故选：B． 4．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）因国家对体育健康的重视程度不断提高，某校对九年级学生的喜好安排体育延时社团活动，分别有：足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳，每位学生只能选其中一项作为延时社团活动．为了了解学生对这几种运动具体的喜爱情况，该校的某位数学刘老师在自己所教的九年级七班进行了调查，被调查的学生必须从足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳中选择自己最喜爱的运动项目，根据调查结果绘制成如下图所示的不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了___________名学生，________，_________． （2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数； （3）若从九年级七班喜欢足球和铅球的学生中选出两名学生，请用列表法或画树状图的方法求出选出的两名学生喜欢的运动项目相同的概率． 【答案】（1）60，35，10     （2） 补全统计图如下所示：      （3）      【分析】 （1）用喜欢篮球的人数除以其人数占比即可求出总人数，再求出a的值，进而求出喜欢乒乓球的人数，从而求出喜欢跳绳的人数，最后用喜欢跳绳的人数除以总人数即可求出b； （2）根据（1）所求补全统计图即可；用360度乘以跳绳的人数占比即可得到答案； （3）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：名， ∴在这项调查中，共调查了60名学生； ∵， ∴， ∴最喜爱乒乓球的人数为名， ∴最喜爱跳绳的人数为名， ∴， ∴， 故答案为：60，35，10； (2) 小问详解： 解：扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数为 (3) 小问详解： 解：喜欢足球的用A、B、C表示，喜欢铅球的用D、E、F，列表如下： 由表格可知一共有30种等可能性的结果数，其中两名学生喜欢的运动项目相同的结果数有12种， ∴两名学生喜欢的运动项目相同的概率为． A B C D E F A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （F，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） （F，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） （F，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） （F、D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （F、E） F （A，F） （B，F） （C，F） （D，F） （E，F） 【点睛】 本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）南宁市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，a的值为__________；A组对应的扇形圆心角的度数为__________°． （3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名男生的概率． 【答案】（1） 如图所示：      （2）32，72     （3）抽取的两人恰好是两名男生的概率为      【分析】 本题考查了统计图的综合应用及概率的计算． （1）根据已知条件求出总人数，再用总人数减去A、B、D组人数求得C组人数，再将C组人数补全到条形统计图即可； （2）利用“B组人数÷总人数×100%=B组所占百分比”可得B组所占的百分比，根据“圆心角度数=A组占总体的百分比×”即可得出； （3）设两名男生分别为男1、男2，两名女生分别为女1、女2，据此列出列表，再计算所有可能的结果数和所抽取的两人恰好是两名男生的结果数，最后计算概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴C组人数为：（人）， (2) 小问详解： 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴， A组对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：32，72． (3) 小问详解： 解：由题意知，列表如下： ∴共有12种等可能情况，其中所抽取的两人恰好是两名男生的情况有2种， ∴所抽取的两人恰好是两名男生的概率为． 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 6．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同． （1）利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）； （2）在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？ 【答案】（1） 解：树状图如下图所示；      （2）解：该游戏对三人公平，理由如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中， ∴， ∴该游戏对三人公平．      【分析】 （1）根据题意画出树状图即可； （2）根据树状图求出，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了画树状图或列表法求解概率，游戏的公平性，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）我市某校准备成立四个活动小组：．声乐，．体育，．舞蹈，．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽查了　     　名学生，扇形统计图中的值是　     　； （2）请补全条形统计图； （3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1) 50，32； (2)全条形统计图为： （3） 【分析】 （1）根据D组的人数及占比即可求出本次抽样调查共抽查的人数，故可求出m的值；（2）用调查总人数减去各组人数即可求出B组人数，再补全条形统计图； （3）根据题意列出树状图，再根据概率公式即可求解. 【详解】 解：（1）， 所以本次抽样调查共抽查了50名学生， ，即； 故答案为50，32； （2）B组的人数为（人）． （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8， 所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【点睛】 此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的样本容量. 8．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． (1) 小问详解： 现有共3部电影， 甲同学选择A部电影的概率是． 故答案为：； (2) 小问详解： 用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， （甲、乙2位同学选择不同电影）． 9．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）“强国必须强语，强语助力强国”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为：A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）样本容量为________；“C”等所在扇形的圆心角的度数为________度； （2）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （3）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）50，     （2） 补全条形统计图，如图所示：      （3）      【分析】 此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解题的关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可样本的容量；用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出等级所在扇形圆心角的度数； （2）用抽取总人数乘以等级的人数所占百分比，求出成绩为等级的人数，进而求得等级的人数，即可补全条形统计图； （3）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：（人）， ∴样本容量为 “”等所在扇形的圆心角的度数为 故答案为：50，； (2) 小问详解： 解：等级的人数为：（人），则等级的人数为（人） (3) 小问详解： 解：画树状图如下：     由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果数有2种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率为． 10．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题． （1）本次抽取调查的学生共有______人； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为______°； （4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率． 【答案】（1）125     （2） 条形统计图补充为：      （3）     （4）      【分析】 （1）用项目B的人数除以其人数占比即可求出本次抽取调查的学生人数； （2）先求出项目D的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以项目A的人数占比即可得到答案； （4）先列出图表得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键． (1) 小问详解： 解：（人）， ∴此次调查共抽取了125名学生， 故答案为：125， (2) 小问详解： 解：项目D的人数为：（人）， 条形统计图补充为： (3) 小问详解： 解：在此扇形统计图中，A篮球类所对应的扇形圆心角为：， 故答案为：， (4) 小问详解： 解：列表如下： ∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有10种， ∴甲和乙至少有一人被选上的概率为， 故答案为：． 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ 11．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）太原市某校为了落实“五育”并举，提升学生的综合素养，在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．跳长绳；B．篮球；C．书法；D．绘画．该校学生会围绕“你最喜欢的项目是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项）．根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图，结合图中信息回答下列问题． （1）本次共调查了__________名学生，并将条形统计图补充完整． （2）求篮球小组所对应扇形的圆心角度数． （3）跳长绳小组的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名学生参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）40， 补全图形如下：      （2）     （3）      【分析】 本题考查了条形统计图和扇形统计图，及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形； （2）用360度乘以B组人数所占比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：本次调查总人数为名，组人数为名， 故答案为：40； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种， ∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为． 12．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： （1）这次活动共调查了___________人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为___________； （2）将条形统计图补充完整； （3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 【答案】（1）200，     （2） 补图如下： ．     （3）      【分析】 （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，利用圆心角计算公式计算即可． （2）求得样本容量，求得对应的频数，补图即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，得， 故表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：200， (2) 小问详解： 解：公交卡的人数为：(人)， 现金人数为(人)； (3) 小问详解： 解：小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果， 所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 13．（2025·四川宜宾·质量监测）为丰富学生课余生活，促进学生全面发展和健康发展，宜宾市年秋假时间安排在月日日，某学校为了解七、八年级学生对活动的参与意向，设置了（市内研学）、（家庭亲子游）、（学校托管）、（居家实践）四个选项，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的统计图（如下）． （1）本次调查共抽取了__________名学生，并补全条形统计图； （2）所在扇形的圆心角度数为__________． （3）学校将在选项（市内研学）的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人参加研学小组，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1） ，补全条形统计图如下：      （2）     （3） 列表如下： 甲、乙同时被选中的概率为．      甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 【分析】 本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握统计图表的数据分析方法和概率计算公式是解题的关键． （1）先根据选项的人数和所占百分比求出总调查人数，再依次计算、选项的人数，补全条形统计图． （2）用选项的人数占比乘以，得到所在扇形的圆心角度数． （3）用列表法列出四人中任选两人的所有等可能结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，最后根据概率公式计算概率． (1) 小问详解： 解：总人数（名）， ∴本次调查共抽取了名学生， ∵选项人数（名） ∴选项人数（名） (2) 小问详解： 解：的圆心角度数 A所在扇形的圆心角度数为 (3) 小问详解： 解：共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有2种． ． 14．（25-26学年九上·四川巴中·期末）某超市的两个摇奖转盘如图所示，每个转盘中的圆心角度数分别相等，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获得一等奖，则摇奖人摇奖一次中一等奖的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了列表法或树状图法求概率，先根据题意列表，可知共有6种等可能的结果，两个转盘指针同时指在偶数上的情况有种，最后由概率公式求解即可． 【详解】 解：根据题意列表如下： 由表格可知，总的情况有种，其中两个转盘指针同时指在偶数上的情况有种， 即获得一等奖的情况有种， 摇奖人摇奖一次中一等奖的概率是； 故答案为：． 1 2 3 1，3 2，3 4 1，4 2，4 5 1，5 2，5 15．（25-26学年九上·四川巴中·期末）南龛石窟始凿于隋代，盛镌于唐代，延续至宋代．某校组织九年级学生开展地方文化研学活动后，在九年级1、2两个班各随机抽取名学生进行“南龛石窟知识”问卷调查，得分如下： 九年级1班：8，7，9，6，7，10，7，8，9，9． 九年级2班：7，8，8，8，6，6，10，9，10，8． （1）请通过计算完成下表： 班级 平均分 中位数 众数 方差 九年级1班 九年级2班 （2）现从这两个班得分9分及以上的学生中各随机选取1名学生组成“巴中石窟文化宣传小组”，请用树状图或列表法求所选2名学生得分都是10分的概率． 【答案】（1）九年级1班中位数为8；九年级2班平均分为8，中位数为8，众数为8，方差为     （2）      【分析】 本题考查数据的处理，以及列表法或树状图法求概率，掌握数据的特征以及求概率的方法是解题的关键． （1）根据数据的特征，计算出结果即可； （2）采用列表法得出结果即可． (1) 小问详解： 解：将九年级1班成绩按从小到大排序，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 得中位数为， 九年级2班平均分为， 众数为8， 方差为， 故九年级1班中位数为8；九年级2班平均分为8，中位数为8，众数为8，方差为． (2) 小问详解： 解：九年级1班9分及以上共4人，一人10分， 九年级2班9分及以上共3人，两人10分， 列表如下（横向1班，纵向2班）： 都是10分的概率为． 9 9 9 10 9 10 10 16．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数共有___________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是___________； （3）甲同学从三类书籍中随机选择一类，乙同学从，三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1），补全条形统计图如图所示．      （2）144°     （3）      【分析】 （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查的学生人数；求出类的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以类的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：此次被调查的学生人数共有（名）． 类的人数为（人）． 故答案为：． (2) 小问详解： 在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是． 故答案为：． (3) 小问详解： 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， 甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． B C D A B C 【点睛】 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解题的关键． 17．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字，，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程是关于x的一元二次方程，且此方程有实数解的概率为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法求概率、一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握列表法与树状图法以及一元二次方程根的判别式是解答本题的关键． 由题意得， ，则，再画树状图求概率即可． 【详解】 解：由题意得， ， ∴， 画树状图如下， 共有16种等可能的结果，满足的结果有10种， ∴方程是关于x的一元二次方程且此方程有实数解的概率为， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）某校开展了学习党史的知识竞赛活动初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级其等级对应的分值分别为分分、分分、分分、分及以下现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是______人； （2）由图可知的值为______； （3）初三年级本次比赛获得满分的人中有个男生和个女生，现从这个学生中随机选人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中恰有个女生的概率． 【答案】（1）500，210     （2）18     （3）      【分析】 （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量解答即可． （2）利用百分比之和为1，计算即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，得B级有120，占比为， 故， 比赛成绩等级为级的学生人数是， 故答案为：500，210． (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 故， 故答案为：18． (3) 小问详解： 解： 将2名男同学分别记为甲、乙， 2名女同学分别记为丙、丁，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的人中恰有个女生的情况有8种， （抽取的人中恰有个女生的概率）． 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 19．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题：           （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）40人， 补全图形如下：    （2）480人； （3） 【分析】 （1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图； （2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可. 【详解】 （1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个， 因此A档共有：12-4=8人， 8÷20%=40人； （2）1200×（人） 答：全校B档的人数为480人， （3）用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，    所以P（2名学生来自不同年级）= 【点睛】 本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 20．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （3）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）名， 补全图形如下：      （2）名     （3）      【分析】 此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．正确列出所有情况是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可； （2）用样本估计总体的思想解决问题； （3）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：这次被调查的学生人数为（名）， 喜爱“体育”的人数为（名）． (2) 小问详解： 解：估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名）． (3) 小问详解： 解：列表如下： 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ 21．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情．我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：（篮球），（羽毛球），（乒乓球），（足球）．如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图． （1）本次统计的总份数为_____份，补全条形统计图； （2）扇形统计图中类所对应的圆心角度数为_____°； （3）本次调查比较喜爱的球类运动（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】（1）；见解析     （2）     （3）      【分析】 （1）用条形统计图中的份数除以扇形统计图中的百分比可得本次统计的总份数；用本次统计的总份数分别减去，，类的份数，可得条形统计图中类的份数，补全条形统计图即可； （2）用乘以类的份数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到两名性别相同的学生的结果数，再利用概率公式可得出答案； (1) 小问详解： 解：本次统计的总份数为（份）； 条形统计图中类为（份）； 补全条形统计图如下： (2) 小问详解： 解：扇形统计图中类所对应的圆心角度数为． (3) 小问详解： 解：根据题意，画树状图为： 由树状图知，共有种等可能的结果，其中两名性别相同的学生结果数为， 所以恰好抽到两名性别相同的学生的概率为． 22．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； （2）若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： 40，     （2）280名     （3）      【分析】 本题主要考查条形统计图与扇形统计图、画树状图法求概率等知识点，不重不漏地画出树状图是解题的关键． （1）用B组的人数除以所占百分比即可求出调查的人数，求出D组人数所占百分比再乘以即可得到D组的扇形圆心角的度数；再求出C组人数，然后补全条形统计图即可； （3）用800乘以睡眠时长大于等于9小时所占百分比即可解答； （4）分别用A、B、C、D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生和1名女生的情况数，再运用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学； D组的扇形圆心角的度数为：； C组人数为：（名）． 故答案为：40，． (2) 小问详解： 解：（名）， 所以，该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生有280名． (3) 小问详解： 解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种， 所以抽到1名男生和1名女生的概率是：． 23．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有                  人； （2）扇形统计图中，                  ，等级对应的圆心角为                  度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率； （1）根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数； （2）用等级的频数除以总人数即可得出的值；用度乘以等级所占的比例即可； （3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可． (1) 小问详解： （人）， 故答案为：， (2) 小问详解： ，． 故答案为：，； (3) 小问详解： 设小永用表示，其他三位同学分别用、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下： 共有种等可能出现的情况，其中小永被选中的有种， 所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为． 24．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【答案】（1）400，     （2）D     （3）      【分析】 本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； (2) 小问详解： 解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D； (3) 小问详解： 解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 25．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）某校为了解本校学生的消防知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查．调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类．并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）补全条形统计图并填空，本次调查的学生共有______名，估计该校2000名学生中“了解”的人数为______； （2）“不了解”的4人中有甲、乙两名男生，丙、丁两名女生，若从中随机抽取两人去参加消防知识培训，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率． 【答案】（1）50、600     （2）恰好抽到2名女生的概率．      【分析】 本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． （1）由“不了解”的人数及其所占百分比求得总人数，继而由各了解程度的人数之和等于总人数求得“了解”的人数，用总人数乘以样本中“了解”人数所占比例可得，然后补全统计图即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后根据概率公式计算． (1) 小问详解： 解：本次调查的学生总人数为：（名）， 则了解的学生人数为：（名）， 估计该校2000名学生中“了解”的人数约有：（名）， 补全统计图如下： 故答案为：50、600； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2个， 所以恰好抽到2名女生的概率． 26．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）成都马拉松竞赛于2025年10月26日圆满举行，有若干名学生担任赛事志愿者．为保障志愿者服装的统一性，赛前组委会随机抽取了部分志愿者，对其身高（单位：）进行了调查，并将身高数据分为五组，制作了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 10 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有___________人，扇形统计图中的圆心角度数是___________． （2）补全条形统计图． （3）若组的5人中，有3人来自甲校，有2人来自乙校，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两人来自同一学校的概率． 【答案】（1）40，     （2） 补全条形统计图如下： ；     （3）恰好抽中两人来自同一学校的概率为      【分析】 此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据C组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数， （2）求出D组的人数并补全统计图即可； （3）画出树状图得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． (1) 小问详解： 解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， 故答案为：40，； (2) 小问详解： 解：这D组的人数为（人） (3) 小问详解： 解：画树状图： 共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一学校的情况占8种， 所以这两人来自同一学校的概率是． 27．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大．为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： A：星星充电B：特来电C：云快充D：小桔充电E：国家电网 （1）此次调查中，各企业投放充电桩的总量为________万台，扇形的圆心角为________度． （2）某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率． 【答案】（1）120，54     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解题关键． （1）用品牌的数量除以对应占比，可得总数；用总数减去其它品牌数量充电桩的数量，可得品牌充电桩的数量，再除以总数可得对应占比，然后乘以即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取到男、女业主各1名的结果数，然后根据概率公式计算． (1) 小问详解： 解：由图可知品牌（特来电）的数量是36万台，且在扇形统计图中占比． 总量为（万台）． 品牌数量为（万台）． 品牌占比为， 扇形的圆心角为 ． 故答案为：120，54； (2) 小问详解： 解：画出树状图如下： 总共的结果数是12种，且每种情况出现的可能性相同，其中一男一女的情况有8种， 所以概率 ． 28．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）双流某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了          名学生，并补全条形图； （2）若从体能为等级的名男生和名女生中随机的抽取名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】（1）， 补全条形图如下：      （2）      【分析】 本题主要考查的是条形统计图与扇形统计图以及画树状图法求概率．明确频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键． （1）根据等级的人数和百分比得出总人数，进而求出等级的学生人数，再补全条形图； （2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式得出答案． (1) 小问详解： 解：本次抽样调查共抽取学生名， 故答案为：， 等级的学生有（名） (2) 小问详解： 画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为， 抽取的两人恰好都是男生的概率为． 29．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D.24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为             ，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数； （3）此次“魔方游戏”中获得优胜的有2名男生和2名女生，该校计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200人； 补全条形统计图如图所示．      （2）约150人     （3）      【分析】 （1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次调查总人数；用本次调查总人数分别减去A，B，C，E类游戏活动的人数，可得D类游戏活动的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中E类游戏活动的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：本次调查总人数为（人）． ∴D类游戏活动的人数为（人）． 故答案为：200人． (2) 小问详解： 解：（人）． ∴估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数约150人． (3) 小问详解： 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 【点睛】 本题考查了扇形统计图，样本容量，样本估计总体，列表法计算概率，熟练掌握计算是解题的关键． 30．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）从四个数中取出一个数作为点的横坐标，从四个数中取出一个数作为点的纵坐标，则点落在直线上的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查运用树状图法或者列表法计算概率，本题关键在于能够画出树状图或者列表． 用列表法表示出所有点的情况，找出落在直线上的情况，然后利用概率公式进行计算即可． 【详解】 解：列表如下： 一共有16种情况， P点落在上的点有共四种情况，所以点P落在直线上的概率为， 故答案为：． x                  y 5 6 7 8 1 2 3 4 31．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）成都市实验外国语学校开设多语种课程，以英语、西班牙语、法语、德语、日语这五类课程为主，成立了5个课程活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．英语；B．西班牙语；C．法语；D．德语；E．日语．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名学生；扇形统计图中，圆心角______度； （2）补全条形统计图； （3）学校计划从D组（德语）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加“”德语一级测试，请用画树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）400，54     （2） 补全条形统计图如下：      （3）      【分析】 本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用、画树状图求概率等知识点，读懂统计图、从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由B组的人数除以所占百分比即可求得抽取学生数；先求出A组、C组的人数，再用乘以C组所占的比例即可求得圆心角； （2）根据（1）求得A组、C组的人数补全条形统计图即可； （3）先根据由题意画出树状图，然后确定所有等可能结果数以及恰好抽中甲、乙两人的结果数，然后运用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：此次调查一共随机抽取学生人数为：（名）， A组的人数：（名）；C组的人数：（名）， 所以． 故答案为：400，54． (2) 小问详解： 解：由（1）可得：A组的人数：（名）；C组的人数：（名）， (3) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种， ∴恰好抽中甲、乙两人的概率． 32．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图所示，某地铁站有三个闸口． （1）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用列表或画树状图的方法表示两名乘客通过闸口所有可能出现的结果； （2）求两名乘客选择不同闸口通过的概率． 【答案】（1） 画树状图如下：      （2）      【分析】 本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据题意画出树状图即可； （2）列出所有可能出现的结果数及两名乘客选择不同闸口通过的结果数，然后代入概率公式求概率即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知： 共有种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为， 两名乘客选择不同闸口通过的概率． 33．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：包粽子，划旱船，诵诗词，创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题； （1）                   ，“诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为                    ； （2）补全条形统计图； （3）若学校有2000名学生，请估计选择类活动的人数； （4）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）25，54；     （2） 补全图形如下：      （3）大约有200人     （4）      【分析】 本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体以及树状图求概率，解题的关键是从统计图中获取有用信息，以及掌握画树状图的方法． （1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数乘以包粽子的人数所占的百分比即可得出的值，再计算出诵诗词的人数即可求得所对应圆心角的度数； （2）根据（1）补全条形统计图； （3）用2000乘以类活动所占的百分比即可； （4）先画树状图，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：总人数为：（人）， （人）， 诵诗词的人数：（人）， “诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为： ， 故答案为：25，54； (2) 小问详解： 解：由（1）得诵诗词的人数：（人）， (3) 小问详解： 解：， （人）， 答：选择类活动的人数大约有200人； (4) 小问详解： 解：依题意，树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种， 所以同时选中甲和乙的概率为．． 34．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数是 ______ ；扇形统计图中的圆心角α等于 ______ ；补全统计直方图； （2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率． 【答案】（1）30；；（2）． 【分析】 （1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可； （2）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可． 【详解】 解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°， 答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°； 故答案为30，144°； 补全统计图如图所示： （2）根据题意列表如下： 设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道， 记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A， ∴． 考点：列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率． 35．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字，1，4，搅匀后随机摸出一个小球，其上的数字记为p，放回重新搅匀后，再随机摸出一个小球，其上的数字记为q，则p，q使得关于x的方程有实数解的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键． 由题意通过列表求出、的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率． 【详解】 解：当关于x的方程有实数根时，， 即， 由题意，列表为： ∵通过列表可以得出共有9种情况，其中能使关于x的方程有实数根的有6种情况， ∴p，q满足关于x的方程有实数根为． 故答案为：． p                         q 1 4 ，（能） 1，（能） 4，（能） 1 ，1（能） 1，1（不能） 4，1（能） 4 ，4（不能） 1，4（不能） 4，4（能） 36．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）在学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为________； （2）将条形统计图补充完整； （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40，，     （2） 故补全条形图如下：      （3）      【分析】 本题主要考查了统计中的抽样调查、扇形统计图、条形统计图及概率的计算，解决此题的关键是正确的计算； （1）结合条形图统计图和扇形统计图得到答案即可； （2）根据（1）中算出的总人数减去已知的人数，补全条形图即可； （3）先画出树状图，列出所有的可能情况，再找出恰好选中1名男生和1名女生的情况数，得到概率即可； (1) 小问详解： 解：由题可得：小明一共抽样调查了（名）， 表示组的扇形圆心角的度数为， 故答案为：40，； (2) 小问详解： 解：由 （1）可知总人数为40名 ∴C组的人数为（名）， (3) 小问详解： 解：依题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果数为8， ∴恰好选中1男1女的概率为． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（     ） A. 1 B. 0.95 C. 0.9 D. 0.85 【答案】C 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 由图可知，成活频率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】 解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：C． 2．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A. 0.620 B. 0.618 C. 0.610 D. 1.000 【答案】B 【分析】 考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】 解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选B． 3．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 【答案】A 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可． 【详解】 解：设袋中有黄球x个，由题意得， 解得， ∴黄球可能有15个． 故选：A． 4．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 根据绿球个数总数=0.6，设绿色的球有个，根据题意，列分式方程，解分式方程，检验，即可解题． 【详解】 解：设绿色的球有个，根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 即袋中有6个绿球， 故选：C． 【点睛】 本题考查利用频率估计概率，涉及解分式方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（     ） A. 5个 B. 10个 C. 15个 D. 25个 【答案】B 【分析】 本题考查了由频率估计概率，根据概率公式进行计算，设袋中白球约有个，根据概率公式列出方程，解方程即可得解． 【详解】 解：设袋中白球约有个， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴袋中白球约有10个， 故选：B． 6．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）某校公众号的二维码如图，若它的面积为，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则二维码中黑色区域的面积约为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查用频率估计概率，概率公式．掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题关键．由题意可知点落在黑色区域的概率为，再根据概率公式计算即可． 【详解】 解：二维码中黑色区域的面积约为． 故选：C． 7．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球有5个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，那么可以推算出a大约是（       ）． A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】A 【分析】 此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于概率．根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在0.2，即概率为0.2，利用概率公式建立方程求解． 【详解】 解：∵摸到红球的频率稳定在0.2， ∴摸到红球的概率约为0.2， ∴， 解得， 因此，a大约是25． 故选：A． 8．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有(       ) A. 10个 B. 15个 C. 18个 D. 30个 【答案】B 【分析】 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解． 【详解】 解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球， ∴白球所占的比例为， 设盒子中共有白球x个，则， 解得：x=15. 故选B． 【点睛】 本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 9．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　） A. 12个 B. 16个 C. 20个 D. 25个 【答案】B 【分析】 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】 解：设盒子中有红球x个，由题意可得：=0.2， 解得：x=16， 经检验，x=16是分式方程的解， 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了利用频率估计概率及解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系 10．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】 解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 11．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】 解：根据题意，二维码中黑色部分的面积约为． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在0.7，请你估计这个口袋中红球有　　　　　　　　　　　个． 【答案】7 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 直接根据“红球的频率稳定在0.7”计算这个口袋中红球的数量． 【详解】 解：∵红球的频率稳定在0.7， ∴估计这个口袋中红球的数量为个． 故答案为：7． 13．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为　　　　　　　个． 【答案】8 【分析】 此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 根据摸到黑球的频率得出球的总数，然后减去黑球个数即可． 【详解】 解：根据题意得：， 则纸箱中白球个数很可能是8个． 故答案为：8． 14．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，几何概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，根据频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为，再根据概率公式计算即可． 【详解】 解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 随机事件的概率 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．B 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D 考点02 概率 1．C 2．A 3．C 4．C 5．【答案】33 【分析】直接利用频率估计概率，进而得出关于n的等式求出答案． 【详解】由题意可得：， 解得：n＝33， 经检验，n=33是原方程的解. 故答案为：33． 【点睛】此题主要考查了用频率估计概率，正确得出关于n的等式是解题关键． 6．【答案】 【分析】 本题考查几何概率．利用三角形中位线的性质以及相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：．， ∴，， ， ， ， 同法可证，，，， ， 则飞镖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了几何概率，落在蓝色区域的概率等于蓝色区域面积在整个圆中的占比，据此可得答案． 【详解】 解：指针落在蓝色区域的概率是， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解． 【详解】 解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果， 所以取到有理数的概率为， 故答案为：． 9．【答案】4 【分析】 本题考查了简单事件的概率计算、分式方程的应用，熟练掌握简单事件的概率计算方法是解题关键． 设盒子中原有的红球的个数为个，根据摸到白球的概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：设盒子中原有的红球的个数为x个，则总球数为个． 摸到白球的概率为， 由题意得：． 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 故盒子中原有的红球的个数为4个． 10．【答案】 【分析】 本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】 解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 此题考查了概率公式，用到的知识点是概率公式和根的判别式．根据题意可以求得，得到两次取得卡片数字的事件共有等9种可能的事件，然后根据概率公式求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有解， ， 两次取得卡片数字的事件为，，，，，，，，等9种可能的事件， 当时，一定大于0，方程有解，共有，，，，，6种可能的事件， 当时，，方程无解； 当时，，方程无解； 当时，，方程无解； 数字，使得关于的方程有解的概率为：； 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 解一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为，列出6，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出0，求得a的范围；检验分式方程，列出1，即，求得a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求概率即可． 【详解】 解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：x， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 分式方程两边都乘得：， 解得：， ∵方程的解是正整数， ∴， ∴； ∵， ∴1， ∴， ∴， ∴能是正整数解的a是：， ∴是非负整数的概率为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，求概率，注意解分式方程一定要检验是本题的关键． 考点03 用列举法求概率 1．D 2．C 3．B 4．【答案】（1）60，35，10     （2） 补全统计图如下所示：      （3）      【分析】 （1）用喜欢篮球的人数除以其人数占比即可求出总人数，再求出a的值，进而求出喜欢乒乓球的人数，从而求出喜欢跳绳的人数，最后用喜欢跳绳的人数除以总人数即可求出b； （2）根据（1）所求补全统计图即可；用360度乘以跳绳的人数占比即可得到答案； （3）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：名， ∴在这项调查中，共调查了60名学生； ∵， ∴， ∴最喜爱乒乓球的人数为名， ∴最喜爱跳绳的人数为名， ∴， ∴， 故答案为：60，35，10； (2) 小问详解： 解：扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数为 (3) 小问详解： 解：喜欢足球的用A、B、C表示，喜欢铅球的用D、E、F，列表如下： 由表格可知一共有30种等可能性的结果数，其中两名学生喜欢的运动项目相同的结果数有12种， ∴两名学生喜欢的运动项目相同的概率为． A B C D E F A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （F，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） （F，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） （F，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） （F、D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （F、E） F （A，F） （B，F） （C，F） （D，F） （E，F） 【点睛】 本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．【答案】（1） 如图所示：      （2）32，72     （3）抽取的两人恰好是两名男生的概率为      【分析】 本题考查了统计图的综合应用及概率的计算． （1）根据已知条件求出总人数，再用总人数减去A、B、D组人数求得C组人数，再将C组人数补全到条形统计图即可； （2）利用“B组人数÷总人数×100%=B组所占百分比”可得B组所占的百分比，根据“圆心角度数=A组占总体的百分比×”即可得出； （3）设两名男生分别为男1、男2，两名女生分别为女1、女2，据此列出列表，再计算所有可能的结果数和所抽取的两人恰好是两名男生的结果数，最后计算概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴C组人数为：（人）， (2) 小问详解： 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴， A组对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：32，72． (3) 小问详解： 解：由题意知，列表如下： ∴共有12种等可能情况，其中所抽取的两人恰好是两名男生的情况有2种， ∴所抽取的两人恰好是两名男生的概率为． 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 6．【答案】（1） 解：树状图如下图所示；      （2）解：该游戏对三人公平，理由如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中， ∴， ∴该游戏对三人公平．      【分析】 （1）根据题意画出树状图即可； （2）根据树状图求出，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了画树状图或列表法求解概率，游戏的公平性，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．【答案】(1) 50，32； (2)全条形统计图为： （3） 【分析】 （1）根据D组的人数及占比即可求出本次抽样调查共抽查的人数，故可求出m的值；（2）用调查总人数减去各组人数即可求出B组人数，再补全条形统计图； （3）根据题意列出树状图，再根据概率公式即可求解. 【详解】 解：（1）， 所以本次抽样调查共抽查了50名学生， ，即； 故答案为50，32； （2）B组的人数为（人）． （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8， 所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【点睛】 此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的样本容量. 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． (1) 小问详解： 现有共3部电影， 甲同学选择A部电影的概率是． 故答案为：； (2) 小问详解： 用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， （甲、乙2位同学选择不同电影）． 9．【答案】（1）50，     （2） 补全条形统计图，如图所示：      （3）      【分析】 此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解题的关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可样本的容量；用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出等级所在扇形圆心角的度数； （2）用抽取总人数乘以等级的人数所占百分比，求出成绩为等级的人数，进而求得等级的人数，即可补全条形统计图； （3）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：（人）， ∴样本容量为 “”等所在扇形的圆心角的度数为 故答案为：50，； (2) 小问详解： 解：等级的人数为：（人），则等级的人数为（人） (3) 小问详解： 解：画树状图如下：     由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果数有2种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率为． 10．【答案】（1）125     （2） 条形统计图补充为：      （3）     （4）      【分析】 （1）用项目B的人数除以其人数占比即可求出本次抽取调查的学生人数； （2）先求出项目D的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以项目A的人数占比即可得到答案； （4）先列出图表得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键． (1) 小问详解： 解：（人）， ∴此次调查共抽取了125名学生， 故答案为：125， (2) 小问详解： 解：项目D的人数为：（人）， 条形统计图补充为： (3) 小问详解： 解：在此扇形统计图中，A篮球类所对应的扇形圆心角为：， 故答案为：， (4) 小问详解： 解：列表如下： ∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有10种， ∴甲和乙至少有一人被选上的概率为， 故答案为：． 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ 11．【答案】（1）40， 补全图形如下：      （2）     （3）      【分析】 本题考查了条形统计图和扇形统计图，及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形； （2）用360度乘以B组人数所占比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：本次调查总人数为名，组人数为名， 故答案为：40； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种， ∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为． 12．【答案】（1）200，     （2） 补图如下： ．     （3）      【分析】 （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，利用圆心角计算公式计算即可． （2）求得样本容量，求得对应的频数，补图即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，得， 故表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：200， (2) 小问详解： 解：公交卡的人数为：(人)， 现金人数为(人)； (3) 小问详解： 解：小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果， 所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 13．【答案】（1） ，补全条形统计图如下：      （2）     （3） 列表如下： 甲、乙同时被选中的概率为．      甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 【分析】 本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握统计图表的数据分析方法和概率计算公式是解题的关键． （1）先根据选项的人数和所占百分比求出总调查人数，再依次计算、选项的人数，补全条形统计图． （2）用选项的人数占比乘以，得到所在扇形的圆心角度数． （3）用列表法列出四人中任选两人的所有等可能结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，最后根据概率公式计算概率． (1) 小问详解： 解：总人数（名）， ∴本次调查共抽取了名学生， ∵选项人数（名） ∴选项人数（名） (2) 小问详解： 解：的圆心角度数 A所在扇形的圆心角度数为 (3) 小问详解： 解：共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有2种． ． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了列表法或树状图法求概率，先根据题意列表，可知共有6种等可能的结果，两个转盘指针同时指在偶数上的情况有种，最后由概率公式求解即可． 【详解】 解：根据题意列表如下： 由表格可知，总的情况有种，其中两个转盘指针同时指在偶数上的情况有种， 即获得一等奖的情况有种， 摇奖人摇奖一次中一等奖的概率是； 故答案为：． 1 2 3 1，3 2，3 4 1，4 2，4 5 1，5 2，5 15．【答案】（1）九年级1班中位数为8；九年级2班平均分为8，中位数为8，众数为8，方差为     （2）      【分析】 本题考查数据的处理，以及列表法或树状图法求概率，掌握数据的特征以及求概率的方法是解题的关键． （1）根据数据的特征，计算出结果即可； （2）采用列表法得出结果即可． (1) 小问详解： 解：将九年级1班成绩按从小到大排序，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， 得中位数为， 九年级2班平均分为， 众数为8， 方差为， 故九年级1班中位数为8；九年级2班平均分为8，中位数为8，众数为8，方差为． (2) 小问详解： 解：九年级1班9分及以上共4人，一人10分， 九年级2班9分及以上共3人，两人10分， 列表如下（横向1班，纵向2班）： 都是10分的概率为． 9 9 9 10 9 10 10 16．【答案】（1），补全条形统计图如图所示．      （2）144°     （3）      【分析】 （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查的学生人数；求出类的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以类的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：此次被调查的学生人数共有（名）． 类的人数为（人）． 故答案为：． (2) 小问详解： 在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是． 故答案为：． (3) 小问详解： 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， 甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． B C D A B C 【点睛】 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解题的关键． 17．【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法求概率、一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握列表法与树状图法以及一元二次方程根的判别式是解答本题的关键． 由题意得， ，则，再画树状图求概率即可． 【详解】 解：由题意得， ， ∴， 画树状图如下， 共有16种等可能的结果，满足的结果有10种， ∴方程是关于x的一元二次方程且此方程有实数解的概率为， 故答案为：． 18．【答案】（1）500，210     （2）18     （3）      【分析】 （1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量解答即可． （2）利用百分比之和为1，计算即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，得B级有120，占比为， 故， 比赛成绩等级为级的学生人数是， 故答案为：500，210． (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 故， 故答案为：18． (3) 小问详解： 解： 将2名男同学分别记为甲、乙， 2名女同学分别记为丙、丁，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的人中恰有个女生的情况有8种， （抽取的人中恰有个女生的概率）． 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 19．【答案】（1）40人， 补全图形如下：    （2）480人； （3） 【分析】 （1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图； （2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可. 【详解】 （1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个， 因此A档共有：12-4=8人， 8÷20%=40人； （2）1200×（人） 答：全校B档的人数为480人， （3）用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，    所以P（2名学生来自不同年级）= 【点睛】 本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 20．【答案】（1）名， 补全图形如下：      （2）名     （3）      【分析】 此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．正确列出所有情况是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可； （2）用样本估计总体的思想解决问题； （3）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：这次被调查的学生人数为（名）， 喜爱“体育”的人数为（名）． (2) 小问详解： 解：估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名）． (3) 小问详解： 解：列表如下： 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ 21．【答案】（1）；见解析     （2）     （3）      【分析】 （1）用条形统计图中的份数除以扇形统计图中的百分比可得本次统计的总份数；用本次统计的总份数分别减去，，类的份数，可得条形统计图中类的份数，补全条形统计图即可； （2）用乘以类的份数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到两名性别相同的学生的结果数，再利用概率公式可得出答案； (1) 小问详解： 解：本次统计的总份数为（份）； 条形统计图中类为（份）； 补全条形统计图如下： (2) 小问详解： 解：扇形统计图中类所对应的圆心角度数为． (3) 小问详解： 解：根据题意，画树状图为： 由树状图知，共有种等可能的结果，其中两名性别相同的学生结果数为， 所以恰好抽到两名性别相同的学生的概率为． 22．【答案】（1） 补全条形统计图如下： 40，     （2）280名     （3）      【分析】 本题主要考查条形统计图与扇形统计图、画树状图法求概率等知识点，不重不漏地画出树状图是解题的关键． （1）用B组的人数除以所占百分比即可求出调查的人数，求出D组人数所占百分比再乘以即可得到D组的扇形圆心角的度数；再求出C组人数，然后补全条形统计图即可； （3）用800乘以睡眠时长大于等于9小时所占百分比即可解答； （4）分别用A、B、C、D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生和1名女生的情况数，再运用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学； D组的扇形圆心角的度数为：； C组人数为：（名）． 故答案为：40，． (2) 小问详解： 解：（名）， 所以，该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生有280名． (3) 小问详解： 解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种， 所以抽到1名男生和1名女生的概率是：． 23．【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率； （1）根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数； （2）用等级的频数除以总人数即可得出的值；用度乘以等级所占的比例即可； （3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可． (1) 小问详解： （人）， 故答案为：， (2) 小问详解： ，． 故答案为：，； (3) 小问详解： 设小永用表示，其他三位同学分别用、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下： 共有种等可能出现的情况，其中小永被选中的有种， 所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为． 24．【答案】（1）400，     （2）D     （3）      【分析】 本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； (2) 小问详解： 解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D； (3) 小问详解： 解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 25．【答案】（1）50、600     （2）恰好抽到2名女生的概率．      【分析】 本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． （1）由“不了解”的人数及其所占百分比求得总人数，继而由各了解程度的人数之和等于总人数求得“了解”的人数，用总人数乘以样本中“了解”人数所占比例可得，然后补全统计图即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后根据概率公式计算． (1) 小问详解： 解：本次调查的学生总人数为：（名）， 则了解的学生人数为：（名）， 估计该校2000名学生中“了解”的人数约有：（名）， 补全统计图如下： 故答案为：50、600； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2个， 所以恰好抽到2名女生的概率． 26．【答案】（1）40，     （2） 补全条形统计图如下： ；     （3）恰好抽中两人来自同一学校的概率为      【分析】 此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据C组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数， （2）求出D组的人数并补全统计图即可； （3）画出树状图得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． (1) 小问详解： 解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， 故答案为：40，； (2) 小问详解： 解：这D组的人数为（人） (3) 小问详解： 解：画树状图： 共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一学校的情况占8种， 所以这两人来自同一学校的概率是． 27．【答案】（1）120，54     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解题关键． （1）用品牌的数量除以对应占比，可得总数；用总数减去其它品牌数量充电桩的数量，可得品牌充电桩的数量，再除以总数可得对应占比，然后乘以即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取到男、女业主各1名的结果数，然后根据概率公式计算． (1) 小问详解： 解：由图可知品牌（特来电）的数量是36万台，且在扇形统计图中占比． 总量为（万台）． 品牌数量为（万台）． 品牌占比为， 扇形的圆心角为 ． 故答案为：120，54； (2) 小问详解： 解：画出树状图如下： 总共的结果数是12种，且每种情况出现的可能性相同，其中一男一女的情况有8种， 所以概率 ． 28．【答案】（1）， 补全条形图如下：      （2）      【分析】 本题主要考查的是条形统计图与扇形统计图以及画树状图法求概率．明确频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键． （1）根据等级的人数和百分比得出总人数，进而求出等级的学生人数，再补全条形图； （2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式得出答案． (1) 小问详解： 解：本次抽样调查共抽取学生名， 故答案为：， 等级的学生有（名） (2) 小问详解： 画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为， 抽取的两人恰好都是男生的概率为． 29．【答案】（1）200人； 补全条形统计图如图所示．      （2）约150人     （3）      【分析】 （1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次调查总人数；用本次调查总人数分别减去A，B，C，E类游戏活动的人数，可得D类游戏活动的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中E类游戏活动的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：本次调查总人数为（人）． ∴D类游戏活动的人数为（人）． 故答案为：200人． (2) 小问详解： 解：（人）． ∴估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数约150人． (3) 小问详解： 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 【点睛】 本题考查了扇形统计图，样本容量，样本估计总体，列表法计算概率，熟练掌握计算是解题的关键． 30．【答案】 【分析】 本题考查运用树状图法或者列表法计算概率，本题关键在于能够画出树状图或者列表． 用列表法表示出所有点的情况，找出落在直线上的情况，然后利用概率公式进行计算即可． 【详解】 解：列表如下： 一共有16种情况， P点落在上的点有共四种情况，所以点P落在直线上的概率为， 故答案为：． x                  y 5 6 7 8 1 2 3 4 31．【答案】（1）400，54     （2） 补全条形统计图如下：      （3）      【分析】 本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用、画树状图求概率等知识点，读懂统计图、从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由B组的人数除以所占百分比即可求得抽取学生数；先求出A组、C组的人数，再用乘以C组所占的比例即可求得圆心角； （2）根据（1）求得A组、C组的人数补全条形统计图即可； （3）先根据由题意画出树状图，然后确定所有等可能结果数以及恰好抽中甲、乙两人的结果数，然后运用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：此次调查一共随机抽取学生人数为：（名）， A组的人数：（名）；C组的人数：（名）， 所以． 故答案为：400，54． (2) 小问详解： 解：由（1）可得：A组的人数：（名）；C组的人数：（名）， (3) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种， ∴恰好抽中甲、乙两人的概率． 32．【答案】（1） 画树状图如下：      （2）      【分析】 本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据题意画出树状图即可； （2）列出所有可能出现的结果数及两名乘客选择不同闸口通过的结果数，然后代入概率公式求概率即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知： 共有种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为， 两名乘客选择不同闸口通过的概率． 33．【答案】（1）25，54；     （2） 补全图形如下：      （3）大约有200人     （4）      【分析】 本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体以及树状图求概率，解题的关键是从统计图中获取有用信息，以及掌握画树状图的方法． （1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数乘以包粽子的人数所占的百分比即可得出的值，再计算出诵诗词的人数即可求得所对应圆心角的度数； （2）根据（1）补全条形统计图； （3）用2000乘以类活动所占的百分比即可； （4）先画树状图，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：总人数为：（人）， （人）， 诵诗词的人数：（人）， “诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为： ， 故答案为：25，54； (2) 小问详解： 解：由（1）得诵诗词的人数：（人）， (3) 小问详解： 解：， （人）， 答：选择类活动的人数大约有200人； (4) 小问详解： 解：依题意，树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种， 所以同时选中甲和乙的概率为．． 34．【答案】（1）30；；（2）． 【分析】 （1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可； （2）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可． 【详解】 解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°， 答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°； 故答案为30，144°； 补全统计图如图所示： （2）根据题意列表如下： 设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道， 记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A， ∴． 考点：列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率． 35．【答案】 【分析】 本题考查列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键． 由题意通过列表求出、的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率． 【详解】 解：当关于x的方程有实数根时，， 即， 由题意，列表为： ∵通过列表可以得出共有9种情况，其中能使关于x的方程有实数根的有6种情况， ∴p，q满足关于x的方程有实数根为． 故答案为：． p                         q 1 4 ，（能） 1，（能） 4，（能） 1 ，1（能） 1，1（不能） 4，1（能） 4 ，4（不能） 1，4（不能） 4，4（能） 36．【答案】（1）40，，     （2） 故补全条形图如下：      （3）      【分析】 本题主要考查了统计中的抽样调查、扇形统计图、条形统计图及概率的计算，解决此题的关键是正确的计算； （1）结合条形图统计图和扇形统计图得到答案即可； （2）根据（1）中算出的总人数减去已知的人数，补全条形图即可； （3）先画出树状图，列出所有的可能情况，再找出恰好选中1名男生和1名女生的情况数，得到概率即可； (1) 小问详解： 解：由题可得：小明一共抽样调查了（名）， 表示组的扇形圆心角的度数为， 故答案为：40，； (2) 小问详解： 解：由 （1）可知总人数为40名 ∴C组的人数为（名）， (3) 小问详解： 解：依题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果数为8， ∴恰好选中1男1女的概率为． 考点04 用频率估计概率 1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．B 10．A 11．【答案】 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】 解：根据题意，二维码中黑色部分的面积约为． 故答案为：． 12．【答案】7 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 直接根据“红球的频率稳定在0.7”计算这个口袋中红球的数量． 【详解】 解：∵红球的频率稳定在0.7， ∴估计这个口袋中红球的数量为个． 故答案为：7． 13．【答案】8 【分析】 此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 根据摸到黑球的频率得出球的总数，然后减去黑球个数即可． 【详解】 解：根据题意得：， 则纸箱中白球个数很可能是8个． 故答案为：8． 14．【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，几何概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 已知这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，根据频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为，再根据概率公式计算即可． 【详解】 解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）下列事件中，是必然事件的是（       ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 B. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 打开电视，正在播放《大国工匠》 2．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）下列事件是必然事件的是（       ） A. 打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C. 小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 3．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）下列事件中是必然事件的是（       ） A. 内错角相等 B. 经过红绿灯路口，遇到红灯 C. 任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 4．（2025·四川宜宾·质量监测）下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（       ） A. 宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B. 游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C. 宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D. 宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 5．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）签筒中有5根质地均匀材质相同的纸签，上面分别标有数字1，2，3，4，5．从中随机抽取一根，下列事件属于随机事件的是（       ） A. 抽到的纸签上标有数字是1 B. 抽到的纸签上标有数字小于6 C. 抽到的纸签上标有数字是0 D. 抽到的纸签上标有数字大于6 6．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）下列说法正确的是 （    ） A. “若是实数，则”是必然事件 B. 某高速路口对来往车辆进行疫情防控检查，可以采取抽样调查的方式进行 C. 某天位学生体温数据是 ，，，， ，这组数据的中位数是 D. 甲、乙两块地小麦长势的平均数相同，方差分别为，，那么甲块地小麦长得比较整齐 考点02 概率 1．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）在一次数学活动课中制作了一个抽奖转盘，如图所示的盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字1，2，3分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（       ） A. 3 B. 12 C. 18 D. 27 4．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）（    ） A. 1 B.  C.  D.  A B C D E A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （E，E） 5．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n值是　　　　　． 6．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到四边形上，则飞镖落在阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是　　　　　． 8．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是　　　　　　． 9．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）一个盒子中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的红球的个数为　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）在三张分别标有数字，，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为后放回，再次洗匀从中任取一张，将数字记为，则方程有解的概率是　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）若关于的一元一次不等式组 的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数是非负整数的概率为　　　　　　　　． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，电路图上有A，B，C三个开关和一个正常的小灯泡L，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）因国家对体育健康的重视程度不断提高，某校对九年级学生的喜好安排体育延时社团活动，分别有：足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳，每位学生只能选其中一项作为延时社团活动．为了了解学生对这几种运动具体的喜爱情况，该校的某位数学刘老师在自己所教的九年级七班进行了调查，被调查的学生必须从足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳中选择自己最喜爱的运动项目，根据调查结果绘制成如下图所示的不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了___________名学生，________，_________． （2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数； （3）若从九年级七班喜欢足球和铅球的学生中选出两名学生，请用列表法或画树状图的方法求出选出的两名学生喜欢的运动项目相同的概率． A B C D E F A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （F，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） （F，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） （F，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） （F、D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （F、E） F （A，F） （B，F） （C，F） （D，F） （E，F） 5．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）南宁市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，a的值为__________；A组对应的扇形圆心角的度数为__________°． （3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名男生的概率． 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 6．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同． （1）利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）； （2）在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？ 7．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）我市某校准备成立四个活动小组：．声乐，．体育，．舞蹈，．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽查了　     　名学生，扇形统计图中的值是　     　； （2）请补全条形统计图； （3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 8．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 9．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）“强国必须强语，强语助力强国”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为：A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）样本容量为________；“C”等所在扇形的圆心角的度数为________度； （2）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （3）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 10．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题． （1）本次抽取调查的学生共有______人； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为______°； （4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ 11．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）太原市某校为了落实“五育”并举，提升学生的综合素养，在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．跳长绳；B．篮球；C．书法；D．绘画．该校学生会围绕“你最喜欢的项目是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项）．根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图，结合图中信息回答下列问题． （1）本次共调查了__________名学生，并将条形统计图补充完整． （2）求篮球小组所对应扇形的圆心角度数． （3）跳长绳小组的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名学生参加比赛．请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生与1名女生的概率． 12．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： （1）这次活动共调查了___________人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为___________； （2）将条形统计图补充完整； （3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 13．（2025·四川宜宾·质量监测）为丰富学生课余生活，促进学生全面发展和健康发展，宜宾市年秋假时间安排在月日日，某学校为了解七、八年级学生对活动的参与意向，设置了（市内研学）、（家庭亲子游）、（学校托管）、（居家实践）四个选项，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的统计图（如下）． （1）本次调查共抽取了__________名学生，并补全条形统计图； （2）所在扇形的圆心角度数为__________． （3）学校将在选项（市内研学）的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人参加研学小组，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 14．（25-26学年九上·四川巴中·期末）某超市的两个摇奖转盘如图所示，每个转盘中的圆心角度数分别相等，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获得一等奖，则摇奖人摇奖一次中一等奖的概率是　　　　　　　　． 1 2 3 1，3 2，3 4 1，4 2，4 5 1，5 2，5 15．（25-26学年九上·四川巴中·期末）南龛石窟始凿于隋代，盛镌于唐代，延续至宋代．某校组织九年级学生开展地方文化研学活动后，在九年级1、2两个班各随机抽取名学生进行“南龛石窟知识”问卷调查，得分如下： 九年级1班：8，7，9，6，7，10，7，8，9，9． 九年级2班：7，8，8，8，6，6，10，9，10，8． （1）请通过计算完成下表： 班级 平均分 中位数 众数 方差 九年级1班 九年级2班 （2）现从这两个班得分9分及以上的学生中各随机选取1名学生组成“巴中石窟文化宣传小组”，请用树状图或列表法求所选2名学生得分都是10分的概率． 9 9 9 10 9 10 10 16．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数共有___________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是___________； （3）甲同学从三类书籍中随机选择一类，乙同学从，三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． B C D A B C 17．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字，，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程是关于x的一元二次方程，且此方程有实数解的概率为　　　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）某校开展了学习党史的知识竞赛活动初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级其等级对应的分值分别为分分、分分、分分、分及以下现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是______人； （2）由图可知的值为______； （3）初三年级本次比赛获得满分的人中有个男生和个女生，现从这个学生中随机选人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中恰有个女生的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 19．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题：           （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 20．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （3）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ 21．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）2025年11月9日，十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地联合举行，点燃了全国人民运动的激情．我校抽样调查评选出了学生比较喜爱的球类运动分别是以下四类：（篮球），（羽毛球），（乒乓球），（足球）．如图是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图． （1）本次统计的总份数为_____份，补全条形统计图； （2）扇形统计图中类所对应的圆心角度数为_____°； （3）本次调查比较喜爱的球类运动（乒乓球）类中有4位同学是乒乓球明星樊振东的粉丝，其中2名男生，2名女生，从这四人中随机抽选两人进行交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名性别相同的学生的概率． 22．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； （2）若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 23．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有                  人； （2）扇形统计图中，                  ，等级对应的圆心角为                  度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 24．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 25．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）某校为了解本校学生的消防知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查．调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类．并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）补全条形统计图并填空，本次调查的学生共有______名，估计该校2000名学生中“了解”的人数为______； （2）“不了解”的4人中有甲、乙两名男生，丙、丁两名女生，若从中随机抽取两人去参加消防知识培训，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率． 26．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）成都马拉松竞赛于2025年10月26日圆满举行，有若干名学生担任赛事志愿者．为保障志愿者服装的统一性，赛前组委会随机抽取了部分志愿者，对其身高（单位：）进行了调查，并将身高数据分为五组，制作了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 10 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有___________人，扇形统计图中的圆心角度数是___________． （2）补全条形统计图． （3）若组的5人中，有3人来自甲校，有2人来自乙校，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两人来自同一学校的概率． 27．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大．为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： A：星星充电B：特来电C：云快充D：小桔充电E：国家电网 （1）此次调查中，各企业投放充电桩的总量为________万台，扇形的圆心角为________度． （2）某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率． 28．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）双流某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了          名学生，并补全条形图； （2）若从体能为等级的名男生和名女生中随机的抽取名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 29．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）某校举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D.24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为             ，并补全条形统计图；（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有1000名学生，请估计该校参加“数字华容道”游戏的学生人数； （3）此次“魔方游戏”中获得优胜的有2名男生和2名女生，该校计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 30．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）从四个数中取出一个数作为点的横坐标，从四个数中取出一个数作为点的纵坐标，则点落在直线上的概率是　　　　　　． x                  y 5 6 7 8 1 2 3 4 31．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）成都市实验外国语学校开设多语种课程，以英语、西班牙语、法语、德语、日语这五类课程为主，成立了5个课程活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．英语；B．西班牙语；C．法语；D．德语；E．日语．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名学生；扇形统计图中，圆心角______度； （2）补全条形统计图； （3）学校计划从D组（德语）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加“”德语一级测试，请用画树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 32．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图所示，某地铁站有三个闸口． （1）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用列表或画树状图的方法表示两名乘客通过闸口所有可能出现的结果； （2）求两名乘客选择不同闸口通过的概率． 33．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：包粽子，划旱船，诵诗词，创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题； （1）                   ，“诵诗词”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为                    ； （2）补全条形统计图； （3）若学校有2000名学生，请估计选择类活动的人数； （4）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 34．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数是 ______ ；扇形统计图中的圆心角α等于 ______ ；补全统计直方图； （2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率． 35．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字，1，4，搅匀后随机摸出一个小球，其上的数字记为p，放回重新搅匀后，再随机摸出一个小球，其上的数字记为q，则p，q使得关于x的方程有实数解的概率是　　　　　　． p                         q 1 4 ，（能） 1，（能） 4，（能） 1 ，1（能） 1，1（不能） 4，1（能） 4 ，4（不能） 1，4（不能） 4，4（能） 36．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）在学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为________； （2）将条形统计图补充完整； （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（     ） A. 1 B. 0.95 C. 0.9 D. 0.85 2．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A. 0.620 B. 0.618 C. 0.610 D. 1.000 3．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 4．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（     ） A. 5个 B. 10个 C. 15个 D. 25个 6．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）某校公众号的二维码如图，若它的面积为，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则二维码中黑色区域的面积约为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球有5个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，那么可以推算出a大约是（       ）． A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 8．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有(       ) A. 10个 B. 15个 C. 18个 D. 30个 9．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　） A. 12个 B. 16个 C. 20个 D. 25个 10．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在0.7，请你估计这个口袋中红球有　　　　　　　　　　　个． 13．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为　　　　　　　个． 14．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在左右，若一张邮票的面积是，则邮票上蛇形图案的面积约为　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $