专题01 二次根式（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题01 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．D 9．B 10．C 11．B 12．A 13．C 14．C 15．【答案】x≥4 【分析】 根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】 由题意得x-4≥0， 解得x≥4． 故答案为：x≥4． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 16．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义的条件解答即可． 【详解】 解：根据题意得， 所以，， 解得， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】 解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且， ∴  的取值范围是 ； 故答案为：． 18．【答案】x≥-2且x≠1 【分析】 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】 解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】 此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 19．【答案】7 【分析】 根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解． 【详解】 解：由题意知，m，n满足， ∴m-n-5=0，2m+n−4=0， ∴m=3，n=-2， ∴， 故答案为：7． 【点睛】 此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 20．【答案】且且 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出和是解此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可． 【详解】 解：代数式有意义， 且， 解得：且， 实数x的取值范围是且． 故答案为：且． 21．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件：成立的条件是． 根据二次根式有意义的条件和分母不为0得到且，解不等式组即可． 【详解】 解：根据题意得，且， ． 故答案为：． 22．【答案】且 【分析】 本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零且被开方数是非负数求解即可． 【详解】 解：由题意得，且， 解得且． 故答案为且． 23．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得、的值． 【详解】 解： 和有意义， ， ，． ． 故答案为：． 24．【答案】2023 【分析】 本题主要考查二次根式的性质，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质可得，由此可化简绝对值，得，所以有，由此即可求解． 【详解】 解：由题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023 25．【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0和分式有意义的条件：分母不为0列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，2x-1≥0且x+3≠0， 解得：x≥， 故答案为x≥． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 26．【答案】 【分析】 根据二次根式的四则性质求解即可． 【详解】 解：由中被开方数总要大于等于0可知，分子， ∵，得到， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解答本类题的关键． 27．【答案】（1）4，8     （2）真分式，，4     （3）当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米     （4）当时，分式取到最大值，最大值为      【分析】 （1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． (1) 小问详解： 解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； (2) 小问详解： 解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； (3) 小问详解： 解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4) 小问详解： 解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】 本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 28．【答案】2026 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2026． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．C 12．【答案】 【分析】 根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法． 13．【答案】 【分析】 本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】 解： ． 故答案为：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．D 2．C 3．B 4．B 5．C 6．D 7．C 8．D 9．C 10．【答案】2 【分析】 根据二次根式运算顺序直接运算得出即可 【详解】 解：． 故答案为：2. 11．【答案】， 【分析】 本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】 解： ． 当时， 原式． 12．【答案】 【分析】 本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】 解：原式 当，时， 原式． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】 解：∵，，， ∴． 14．【答案】 【分析】 先将分母有理化，得，进而可得，，然后将原式化简为，再将和的值代入求值即可． 【详解】 解：， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的化简求值 ，分母有理化，等式的性质，完全平方公式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 15．【答案】6 【分析】 本题主要考查了同类二次根式的定义，先把化为最简二次根式，再根据与最简二次根式可以合并可知的被开方数与化为最简二次根式的后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】 解：∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：6． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查负指数幂，零次幂及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂，零次幂及二次根式的运算进行求解即可． 【详解】 解：原式． 17．【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的加减计算，先把两个分式的分子，分母分别分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、绝对值的化简及二次根式的运算，熟练掌握各部分的运算性质并准确化简是解题的关键．先分别计算负整数指数幂、绝对值、二次根式化简、零指数幂，再进行加减运算． 【详解】 解： ． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 20．【答案】3 【分析】 此题考查完全平方公式的变形计算，二次根式的乘法及加法计算法则，先计算 和 的值，再利用完全平方公式将 转化为 ，代入计算后求算术平方根． 【详解】 由已知，，， 则 ， ， 所以 ， 因此， 故答案为：3． 21．【答案】3 【分析】 本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、分式的化简求值等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据分母有理化可得，再求出，，然后利用完全平方公式、二次根式的性质化简代数式，代入计算即可得． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 22．【答案】（1）12     （2）2      【分析】 本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的混合运算法则、二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的运算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算； （2）根据完全平方公式、绝对值的性质、零指数幂化简，合并同类二次根式得到答案． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 23．【答案】（1），；     （2）；     （3）      【分析】 此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键． （1）①分子、分母都乘以；②分子、分母都乘以． （2）将式子变形成…… 然后再分母有理化，最后再计算即可； （3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，即可求解． (1) 小问详解： 解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： …… …… ． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是有理数， ∴，， 解得，． 24．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先进行零指数幂，负整数指数幂，去绝对值和通过二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （）根据完全平方公式，平方差公式进行运算，然后进行加减运算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）若式子有意义，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）下列为无理数的是（       ）． A. 0 B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）下列各式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）要使有意义，则x的值可以是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）若，则代数式可化简为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川资阳·期中）要使式子有意义，则x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）当a<3时，化简的结果是（       ） A. 1 B. 1 C. 72a D. 2a7 8．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若有意义，则能取的最小整数值是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（      ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（       ） A. 2a－b B. －3b C. b－2a D. 3b 12．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）函数中自变量x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是　　　　　　　　　. 16．（2025·四川宜宾·质量监测）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是　　　　　　． 17．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　． 18．（2026·四川巴中平昌中学·二模）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若实数m，n满足，则　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　　． 21．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）若，则的取值范围是　　　　　． 22．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）函数 中自变量x的取值范围是　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知满足，则　　　　． 25．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）函数的自变量的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）已知，化简二次根式的正确结果为　　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知，则当          时，式子取得最小值，最小值为          ； （2）分式是            （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为       ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有          个； （3）用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 28．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知实数满足，那么　　　　　　　　　　． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（2025·四川宜宾·质量监测）下列运算正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）下列式子属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C. （a＞0） D.  4．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列根式中不是最简二次根式的是（ 　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列计算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）下列计算正确的是（            ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）下列二次根式中， 最简二次根式是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）估计的值应在（　　） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 10．（2025·四川宜宾·质量监测）下列二次根式中，最简二次根式是(       ) A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（       ）． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）将化成最简二次根式为 　　　　　． 13．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则　　　　　　　　　　　　　　　． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列各式中计算正确的是（） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 5．（25-26学年九上·四川资阳·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）下列计算，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）若，，则代数式的值等于（     ） A.  B.  C.  D. 2 10．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）计算的值是　     　． 11．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 12．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）先化简，再求值：，其中，． 13．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）比较大小：　　　　　　（填“，，”）． 14．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）已知，求的值． 15．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）若与最简二次根式可以合并，则的值为　　　　　． 16．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）计算． 17．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）先化简再求值∶ ，其中． 18．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）计算题： 19．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）计算： （1）； （2）． 20．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知，，则代数式　　　　　　． 21．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知， 求代数式的值． 22．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）计算： （1） （2） 23．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）直接写出化简结果：①                 ，②                 ； （2）化简：； （3）已知有理数、满足，求、的值． 24．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）计算： （1）； （2）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）若式子有意义，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数为非负数，建立不等式求解，即可解题． 【详解】 解：∵要使 有意义，则 ， ∴ ． 故 的取值范围为 ． 故选：C． 2．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）下列为无理数的是（       ）． A. 0 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；② 开方开不尽的数，如，等；③ 具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．0是整数，是有理数； B．是分数，是有理数； C．是整数，是有理数； D．是无理数； 故选D． 3．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）下列各式中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查算术平方根的运算，负指数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根的性质逐项判断即可． 【详解】 解：A：，∴ A错误． B：，∴ B正确． C：，∴ C错误． D：，∴ D错误． 故选：B． 4．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）要使有意义，则x的值可以是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式的分母不为0，二次根式的被开方数非负，据此求解即可． 【详解】 解：由题意得， ， ∴ ∴x的值可以是3， 故选：D． 5．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）若，则代数式可化简为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简，先根据二次根式有意义的条件和已知条件推出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】 解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年九上·四川资阳·期中）要使式子有意义，则x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于0），分式有意义的条件（分母不等于0）可得答案． 【详解】 要使式子有意义， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）当a<3时，化简的结果是（       ） A. 1 B. 1 C. 72a D. 2a7 【答案】C 【分析】 根据题意可得a－3＜0，4－a＞0，然后根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】 解：∵a<3 ∴a－3＜0，4－a＞0 ∴ = = = 故选C． 【点睛】 此题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键． 8．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）已知为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键． 【详解】 解：A.当时，没有意义，不符合题意； B.当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C.当 ，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D.当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选D． 9．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若有意义，则能取的最小整数值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件列不等式，求最小整数解即可． 【详解】 解：∵有意义， ∴， ∴， ∴能取的最小整数值是． 故选：B． 10．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（      ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】 解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 11．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（       ） A. 2a－b B. －3b C. b－2a D. 3b 【答案】B 【分析】 根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0，再把二次根式化简即可． 【详解】 解：根据数轴可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0， ∴ = =-（a+b） =a-2b-a-b =-3b． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简，二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a，解题关键是先判断所求的代数式的正负性． 12．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了代数式化简，涉及由数轴表示数的大小、绝对值代数意义、二次根式性质及整式的混合运算等知识，先由实数在数轴上的对应点的位置得到，且，进而得到，，，再由二次根式性质化简，然后利用绝对值的代数意义去绝对值，最后由整式加减运算法则化简即可得到答案． 【详解】 解：根据数轴上点的位置得到，且， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 13．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）函数中自变量x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为，二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键．根据分式中分母不等于，二次根式中被开方数为非负数解答即可． 【详解】 解：根据题意 ， 解得：． 故选：C． 14．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式是形如的式子是解题的关键． 要判断哪些式子是二次根式，需根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，依次分析每个式子是否符合该定义即可． 【详解】 式子① ：，根指数是，是三次根式，不是二次根式，不合题意； 式子② ：，根指数为，其被开方数，符合二次根式定义，符合题意； 式子③ ：，根指数为，其被开方数，符合二次根式定义，符合题意； 式子④ ：，根指数为，其被开方数，符合二次根式定义，符合题意． 综上所述，式子② 、③ 、④ 是二次根式，共个， 故选：C ． 15．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是　　　　　　　　　. 【答案】x≥4 【分析】 根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】 由题意得x-4≥0， 解得x≥4． 故答案为：x≥4． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 16．（2025·四川宜宾·质量监测）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义的条件解答即可． 【详解】 解：根据题意得， 所以，， 解得， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】 解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且， ∴  的取值范围是 ； 故答案为：． 18．（2026·四川巴中平昌中学·二模）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】x≥-2且x≠1 【分析】 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】 解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】 此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 19．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若实数m，n满足，则　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解． 【详解】 解：由题意知，m，n满足， ∴m-n-5=0，2m+n−4=0， ∴m=3，n=-2， ∴， 故答案为：7． 【点睛】 此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 20．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　　． 【答案】且且 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出和是解此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可． 【详解】 解：代数式有意义， 且， 解得：且， 实数x的取值范围是且． 故答案为：且． 21．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）若，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件：成立的条件是． 根据二次根式有意义的条件和分母不为0得到且，解不等式组即可． 【详解】 解：根据题意得，且， ． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）函数 中自变量x的取值范围是　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零且被开方数是非负数求解即可． 【详解】 解：由题意得，且， 解得且． 故答案为且． 23．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得、的值． 【详解】 解： 和有意义， ， ，． ． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知满足，则　　　　． 【答案】2023 【分析】 本题主要考查二次根式的性质，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质可得，由此可化简绝对值，得，所以有，由此即可求解． 【详解】 解：由题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023 25．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）函数的自变量的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0和分式有意义的条件：分母不为0列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，2x-1≥0且x+3≠0， 解得：x≥， 故答案为x≥． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 26．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）已知，化简二次根式的正确结果为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次根式的四则性质求解即可． 【详解】 解：由中被开方数总要大于等于0可知，分子， ∵，得到， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解答本类题的关键． 27．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知，则当          时，式子取得最小值，最小值为          ； （2）分式是            （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为       ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有          个； （3）用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）4，8     （2）真分式，，4     （3）当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米     （4）当时，分式取到最大值，最大值为      【分析】 （1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． (1) 小问详解： 解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； (2) 小问详解： 解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； (3) 小问详解： 解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4) 小问详解： 解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】 本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 28．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知实数满足，那么　　　　　　　　　　． 【答案】2026 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2026． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】直接利用最简二次根式的定义得出答案． 【详解】解： A、＝5，故此选项错误； B、是最简二次根式，故此选项正确； C、＝，故此选项错误； D、＝2，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键． 2．（2025·四川宜宾·质量监测）下列运算正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次根式的除法对A进行判断，根据二次根式的乘法对B进行判断，根据二次根式的加减法对C、D进行判断． 【详解】 解：A. ，计算正确，符合题意； B. ，计算错误，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. 和不是同类二次根式，不能直接相加减，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题的关键是熟悉二次根式的四则运算法则． 3．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）下列式子属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C. （a＞0） D.  【答案】B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】A、=，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、（a＞0）=|a|=a，不符合题意； D、=，不符合题意． 故选B． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 4．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据相关运算法则进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】 解：A、不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列根式中不是最简二次根式的是（ 　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开的尽方的因数或因式． =2，故不是最简二次根式． 故选C． 6．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列计算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．因为和不是同类二次根式，不能合并；根据合并同类二次根式的法则，可得：；根据二次根式的乘法法则，可得：；根据二次根式的除法法则，可得：． 【详解】 解：A选项：和不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误； B选项：根据合并同类二次根式的法则，可得：，故B选项错误； C选项：根据二次根式的乘法法则，可得：，故C选项错误； D选项：根据二次根式的除法法则，可得：； 故D选项正确． 故选：D． 7．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）下列计算正确的是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】试题解析：A.故错误. B. 故错误. C. 故错误. D.正确. 故选D. 8．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）下列二次根式中， 最简二次根式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】 A．，故不是最简二次根式，不符合题意； B．，故不是最简二次根式，不符合题意； C．，故不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意； 故选D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式的知识，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式． 9．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）估计的值应在（　　） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 【答案】C 【分析】 本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】 解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 10．（2025·四川宜宾·质量监测）下列二次根式中，最简二次根式是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，即可解答． 【详解】 解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 11．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】 由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】 本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 12．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）将化成最简二次根式为 　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法． 13．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】 解： ． 故答案为：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】 解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列各式中计算正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次根式的运算、同类二次根式的合并及算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的化简与运算规则是解题的关键． 逐一验证每个选项，依据二次根式的运算、同类二次根式合并、平方运算及算术平方根的定义判断正误． 【详解】 解：与不是同类二次根式，无法合并，故A项错误． ，故B项错误． ，故C项正确． （算术平方根为非负数）， ，故D项错误． 故选：C． 3．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】 解：是最简二次根式，被开方数为． 选项A：，被开方数为，不符合题意． 选项B：，被开方数为，符合题意． 选项C：，被开方数为，不符合题意． 选项D：，被开方数为，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【分析】 根据二次根式的运算法则进行运算即可． 【详解】 解： . 故应选B 5．（25-26学年九上·四川资阳·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】 解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 6．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）下列计算，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可；本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【详解】 A．，故本选项不符合题意 B．，故本选项不符合题意 C．，故本选项不符合题意 D．，故本选项符合题意 故选：D． 7．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的运算，包括加法、除法、平方根性质和乘法公式，解题的关键是需要根据二次根式的运算法则逐一判断． 【详解】 解：A．和不是同类二次根式，不能合并，错误，不符合题意． B．，错误，不符合题意． C．，正确，符合题意． D．，错误，不符合题意， 故选：C． 8．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次根式的运算，分别根据二次根式加、减、乘、除法运算法则计算各选项后再进行判断即可． 【详解】 解：A、与不是同类二次根式，不能计算，故此选项计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能计算，故此选项计算错误，不符合题意； C、 ，故此选项计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意， 故选：D． 9．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）若，，则代数式的值等于（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 此题主要考查了整体代入在代数求值中的应用． 将代数式 展开，利用已知条件和直接代入计算． 【详解】 解：∵ ， ∵ ，， ∴ ． 故选：C． 10．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）计算的值是　     　． 【答案】2 【分析】 根据二次根式运算顺序直接运算得出即可 【详解】 解：． 故答案为：2. 11．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】 解： ． 当时， 原式． 12．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】 本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】 解：原式 当，时， 原式． 13．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）比较大小：　　　　　　（填“，，”）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】 解：∵，，， ∴． 14．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】 先将分母有理化，得，进而可得，，然后将原式化简为，再将和的值代入求值即可． 【详解】 解：， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的化简求值 ，分母有理化，等式的性质，完全平方公式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 15．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）若与最简二次根式可以合并，则的值为　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了同类二次根式的定义，先把化为最简二次根式，再根据与最简二次根式可以合并可知的被开方数与化为最简二次根式的后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】 解：∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：6． 16．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）计算． 【答案】 【分析】 本题主要考查负指数幂，零次幂及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂，零次幂及二次根式的运算进行求解即可． 【详解】 解：原式． 17．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）先化简再求值∶ ，其中． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的加减计算，先把两个分式的分子，分母分别分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 18．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）计算题： 【答案】 【分析】 本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、绝对值的化简及二次根式的运算，熟练掌握各部分的运算性质并准确化简是解题的关键．先分别计算负整数指数幂、绝对值、二次根式化简、零指数幂，再进行加减运算． 【详解】 解： ． 19．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 20．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知，，则代数式　　　　　　． 【答案】3 【分析】 此题考查完全平方公式的变形计算，二次根式的乘法及加法计算法则，先计算 和 的值，再利用完全平方公式将 转化为 ，代入计算后求算术平方根． 【详解】 由已知，，， 则 ， ， 所以 ， 因此， 故答案为：3． 21．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知， 求代数式的值． 【答案】3 【分析】 本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、分式的化简求值等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据分母有理化可得，再求出，，然后利用完全平方公式、二次根式的性质化简代数式，代入计算即可得． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 22．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）12     （2）2      【分析】 本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的混合运算法则、二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的运算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算； （2）根据完全平方公式、绝对值的性质、零指数幂化简，合并同类二次根式得到答案． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 23．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）直接写出化简结果：①                 ，②                 ； （2）化简：； （3）已知有理数、满足，求、的值． 【答案】（1），；     （2）；     （3）      【分析】 此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键． （1）①分子、分母都乘以；②分子、分母都乘以． （2）将式子变形成…… 然后再分母有理化，最后再计算即可； （3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，即可求解． (1) 小问详解： 解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： …… …… ． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是有理数， ∴，， 解得，． 24．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先进行零指数幂，负整数指数幂，去绝对值和通过二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （）根据完全平方公式，平方差公式进行运算，然后进行加减运算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $