3.3.2 抛物线的简单几何性质(创新拔高) 课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 1.已知抛物线的焦点为B，C的准线与y轴交于点A，P是C上的动点，则的最大值为( ) A. B. C. D. 2.已知抛物线的焦点为F，其准线与y轴的交点为P，过F的直线交该抛物线于M，N两点，且，，则( ) A.1 B. C.2 D.4 3.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直于l于点Q，直线与C相交于M，N两点.若M为靠近点F的的三等分点，则( ) A. B. C. D. 4.若圆的一条切线l与抛物线相交于A，B两点，与x轴相交于点M，且，则切线l的斜率( ) A.或 B.或 C.或 D.或 5.已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在B的上方），（其中O为坐标原点），则( ) A. B. C. D. 6.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.（多选）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，准线为l，分别过C上的点A，B作l的垂线，垂足分别为，，线段的中点为M，若直线不与坐标轴垂直，则下列结论正确的是( ) A.若，，则 B. C.若直线过点F，则直线与的交点为O D.若直线过点F，且，则四边形的面积为 8.（多选）抛物线和5所围成的封闭曲线E如图所示，点M，N在曲线E上，定点，则下列说法中正确的是( ) A.对任意，都存在点M，N，使得 B.对任意，都存在点M，N，满足这两点关于点A对称 C.存在，当点M，N运动时，使得 D.对任意，恰有三对不同的点M，N，满足每对的点M，N均关于点A对称 9.定义：若点P为曲线L外的一点，A，B为L上的两个动点，则取最大值时，叫作点P对曲线L的张角.已知点P为抛物线上的动点，设P对圆的张角为，则的最小值为______. 10.已知斜率为的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，与圆交于C，D两点.若，则k的值为______. 11.已知抛物线的准线与x轴相交于点P，过点P且斜率为k（）的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则线段AB的长度为___________. 12.已知动圆过定点，且与直线相切，其中. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程； （2）设A，B是轨迹C上异于坐标原点O的两个不同点，若以线段AB为直径的圆恰好过O点，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标； （3）设M，N是轨迹C上异于坐标原点O的两个不同点，直线OM和ON的倾斜角分别为和，当时，证明直线MN恒过定点，并求出该定点坐标. 答案以及解析 1.答案：B 解析：由题意，知抛物线的准线.如图，过P作于点N，则，则.要使得取得最大值，则取得最小值，即取到最小值，所以当且仅当PA与抛物线相切于点P时，取到最小值.当PA与抛物线相切时，设直线PA的方程为，代入，可得，此时需满足，解得，不妨设点P在第一象限，则，此时，所以的最小值为，所以的最大值为. 2.答案：C 解析：由题可得，，设，，，，直线，将直线MN的方程代入，消去y，得，则，. ，，因为，所以，所以，所以，又，所以，得（负值舍去）.又，所以. 所以，所以，故选C. 3.答案：D 解析：如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，因为M为靠近点F的的三等分点， 所以，因为，所以. 所以，则， 由抛物线的对称性，不妨设，. 易知直线的斜率不为0，设直线的方程为， 与抛物线方程联立，得，， 所以，所以，所以， 则，所以，所以， 则，连接，所以为等边三角形. 因为，所以，所以， 则，可得垂直于x轴，所以. 4.答案：C 解析：设，，，显然直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为.因为，，已知，则，由消去x，化简可得，由根与系数的关系可得，，又，所以，，所以，即直线l的方程为，又直线l与圆相切，所以，令，则，解得或（舍去），即. 5.答案：B 解析：设点，，直线， 联立消去x化简得，，，.，.由， ，则，解得（不符合题意，舍去），，解得，，又，直线2与x轴交点的横坐标为2， ，，则.故选B. 6.答案：C 解析：根据题意，可知抛物线的焦点为， 则直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为，代入得：. 由根与系数的关系得，，所以. 又直线CD的方程为，同理， 所以， 所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 则由抛物线的定义可得. 所以， 当Q，P，M三点共线时，等号成立. 故选：C. 7.答案：BCD 解析：A（×）由抛物线的定义可知，故，故，得. B（√）由题意得，设，，则， 则直线的斜率，直线的斜率， 因为.，所以. C（√）当直线过点F时，，，， 则直线的方程为， 令，得. 直线的方程为， 令，得，故直线与的交点为. D（√）由，可得，得， 又，所以， 由题意可知四边形为直角梯形， 故其面积 . 8.答案：ABC 解析：抛物线和的对称轴都为y轴，因此封闭曲线E关于y轴对称，且抛物线与y轴的交点坐标为. 选项A，如图①，对任意，点在y轴上，在曲线E上取关于y轴对称的两点M，N，则有，故A正确. 选项B，如图②，过点A作垂直于y轴的直线与曲线E交于M，N两点，则点M，N关于点A对称，故B正确. 选项C，由得或所以，. 取，即，抛物线可化为，其焦点为，准线方程为， 点在函数的图象上运动时，， 由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得，. 抛物线可由抛物线向上平移5个单位长度而得， 抛物线可化为，焦点为，准线方程为，则抛物线的焦点为，准线方程为， 点在函数的图象上运动时，， 由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得，. 因此当点M，N运动时，，，恒有，故C正确. 选项D，取，即，直线与函数的图象的两个交点关于点A对称，在此抛物线上关于点A对称的两点只有一对.在函数的图象上不存在两点关于点A对称. 若关于点A对称的两点分别在函数和的图象上，不妨令，则点M关于点对称的点在函数的图象上，则，得，无解，则不存在关于点A对称的两点分别在两段抛物线上，故D错误.故选ABC. 9.答案： 解析：如图，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，连接PM，AM，BM，则，要使最小，则最大，即需最小.设，则，所以当时，取得最小值3，此时取得最大值，所以. 10.答案：1 解析：由题意知抛物线的焦点为，直线l的方程为，由得.设，，则，，所以.因为圆的圆心为，半径为p，所以，因为，所以，解得，因为，所以. 11.答案： 解析：由题意，准线方程是，，如图，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，则，.又，，是PB的中点.设，，则①，直线AB的方程是，由得，则②，③，由①②③及解得，，，于是，，.故答案为. 12.答案：（1） （2）见解析 （3）见解析 解析：思路分析：（1）设动圆圆心为，由圆心到定点的距离与圆心到直线的距离相等（均为半径），列出关于x，y的方程，化简可得轨迹C的方程. （2）设出直线方程及，，直线方程与抛物线方程联立并消元，利用根与系数的关系表示出，结合直线方程得到，然后代入，整理可得. （3）设，，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由根与系数的关系表示出，由得，由此能求出直线MN过定点的坐标. （1）设动圆圆心为，由题意可得， 整理得， 故所求动圆圆心的轨迹C的方程是. （2）由题意知直线AB的斜率不为0，设其方程为，，， 由得， 则，，， 因为以线段AB为直径的圆过坐标原点O，所以，即， 所以， 所以，整理得， 因为直线AB不过坐标原点O，所以，所以， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点. （3）设，，由题意得（否则），且，， 所以直线MN的斜率存在，设其方程为， 因为点M，N在抛物线上， 所以，，故，. 由得，所以，. 由，得 ， 所以，即， 则直线MN的方程为，即， 令解得 所以直线MN恒过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $