3.3.2 抛物线的简单几何性质同步练（能力提升）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 1.与直线平行的抛物线的切线方程为( ) A. B. C. D. 2.设抛物线的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，则的最小值为( ) A.1 B. C. D. 3.已知点，B是抛物线上的动点，则直线AB的斜率的最大值是( ) A. B. C.1 D. 4.已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的焦点为F，直线（）与抛物线C交于A，B两点，则的最小值是( ) A.40 B.36 C.28 D.24 6.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 7.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为抛物线C上任意一点（不与O重合），Q为PF的中点，则直线OQ的斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知抛物线的准线方程为，过点的直线l与抛物线C有且只有一个公共点，则满足这样条件的l的条数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 9.（多选）已知F为抛物线的焦点，直线l与C交于A，B两点，弦AB中点的横坐标为4，，则( ) A.l的斜率为1 B.l在y轴上的截距为 C.弦AB中点的纵坐标为 D. 10.（多选）已知抛物线经过点，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于，两点，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为，则( ) A. B. C. D. 11.（多选）若抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线交于，两点，过A，B分别作抛物线的切线，，设，交于点P，则下列说法正确的有( ) A. B. C. D.点P的纵坐标为定值 12.如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则______. 13.已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上的点，点Q为其准线上的点，且满足.若，则的面积为__________. 14.抛物线有如下光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴.如图所示：抛物线，一条光线经过，与x轴平行照射到抛物线上的点A处，第一次反射后经过抛物线的焦点F到抛物线上的点B处，第二次反射后经过，则A的坐标为__________，的值为_________. 15.已知抛物线经过点，其焦点为F，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点. （1）求抛物线C的方程. （2）若直线l的斜率为1，求的面积. （3）设点Q在抛物线C上，则直线上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：D 解析：因为切线与直线平行，所以可设切线方程为，由得，令，解得，所以切线方程为. 2.答案：C 解析：通解：抛物线的标准方程为，故，焦点为，准线方程为.设，，其中，，则，当且仅当时等号成立，又抛物线C关于y轴对称，且直线AB过焦点F，所以当时，取到最小值，为. 秒解：抛物线的标准方程为，故，因为线段AB是抛物线C的焦点弦，所以. 3.答案：D 解析：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为，由题意得直线AB与抛物线C有交点，联立方程得，当时，，即；当时，，解得且.综上所述，k的最大值为.故选D. 4.答案：D 解析：方法一：依题意得，，准线l的方程为，因为点Q是l上一点，所以设点，，所以，.因为，所以，所以，解得，又P是C上一点，所以由抛物线的定义可得.故选D. 方法二：过点P向准线l作垂线，垂足为.设准线与x轴的交点为K. 由，得，由，得，所以.又，所以，所以. 5.答案：B 解析：解法一：易知焦点，且直线过点F，设，，由抛物线的定义，知，，，联立得化简得，则，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为36.故选B. 解法二：易知，抛物线的焦点在直线上，，， ，当且仅当时取等号，，故选B. 6.答案：C 解析：解法一：由抛物线可得焦点为，准线方程为，由题意设直线l的方程为，，，联立，得整理可得，可得，则，由抛物线焦点弦的性质可得弦长，所以以PQ为直径的圆的圆心的横坐标为.因为以线段PQ为直径的圆与直线相切，所以，得，所以，故选C. 解法二：由题意得，以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切，又圆与直线相切，所以直径，故选C. 7.答案：B 解析：由题意可知，设，所以，所以.当时，，当且仅当，即时，等号成立，则；当时，，当且仅当，即时，等号成立，则.综上，或. 8.答案：B 解析：由抛物线的准线方程为，所以，当过点的直线l斜率不存在时，即与抛物线C有且只有一个公共点.当过点的直线l斜率存在时，设，联立方程组消元得，当时，与抛物线C有且只有一个公共点；当时，令，得，此时，与抛物线C有且只有一个公共点.所以过点与抛物线C有且只有一个公共点的直线l有3条.故选B. 9.答案：ACD 解析：易得l的斜率存在且不为0，设，，，由得，则，由，得.（另解：由题意，，设弦AB的中点坐标为，则，）由，得，即l在y轴上的截距为，所以，弦AB中点的纵坐标为，.故选ACD. 10.答案：ABD 解析：因为抛物线经过点，所以，解得，A正确；通解：由选项A知抛物线方程为，则焦点为，易知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为，由得，则，所以，，则，所以，B正确；秒解：焦点弦中通径最短，所以，B正确；，，，所以，C错误；，D正确. 11.答案：ACD 解析：解法一：由题意得，直线l的倾斜角满足.设直线l的方程为，由得，则，，故选项A正确. ，所以选项B不正确. 设的方程为，由得，所以，即，即，所以，则，同理设的方程为，可得，所以，所以，故选项C正确. 由C的分析知，的方程为，即，同理可得的方程为，则由可得，将其代入其中一个方程，可得，所以点P的纵坐标为定值，故选项D正确.故选ACD. 解法二：由题意，，则由与焦点弦有关的二级结论知，A对，，B错.由与焦点弦有关的切线性质知，C对，点P的纵坐标，D对. 故选ACD. 12.答案：3 解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点E，D，记准线与x轴的交点为G.设，则.由抛物线的定义得，所以，所以.又，，所以，则，所以，则F为AC的中点，从而. 13.答案： 解析：由题可知抛物线的焦点为，准线方程为，点P为抛物线上的点，且，设点P横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程中，解得，由对称性不妨取，设， 则，. 因为，所以，解得，即，所以， 所以的面积. 14.答案：；10 解析：由已知，，，所以点A的纵坐标为，代入抛物线方程，可得，所以点A的横坐标为，所以A的坐标为.又抛物线的准线方程为，且，设点A的横坐标为，点B的横坐标为，则，，由抛物线定义可得，，所以的值为，所以的值为10.故答案为，10. 15.答案：（1） （2） （3）存在，或 解析：（1）因为抛物线经过点，所以，即， 所以抛物线C的方程为. （2）结合（1）可知，所以直线l的方程为. 设，， 由得，则，所以， 点到直线的距离为， 所以的面积为. （3）假设存在满足题意的点N，设，， 因为四边形PQFN是平行四边形，所以， 所以， 所以即， 将点代入抛物线方程，可得，即， 解得或1，所以或. 经检验，四边形PQFN是平行四边形， 所以直线上存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形，此时或. 学科网（北京）股份有限公司 $