奥数思维培优 第12讲 棋盘对弈·必胜策略（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级奥数思维培优 第12讲 棋盘对弈 · 必胜策略 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第12讲 专题 棋盘对弈——必胜策略 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★★ 前置知识 除法余数；对称；奇偶性 核心方法 倒推法、对称法、配对法 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握倒推法、对称法、配对法三大必胜策略。 过程与方法 经历“从终点倒推→找必胜位置”的思维过程。 思维品质 培养逆向思维和全局观。 情感应用 在对弈中体验数学策略之美。 三、情境导入 小明和小红玩“抢30”游戏：两人轮流报数，每次至少报1个、最多报2个，谁报到30谁赢。 动脑筋：小明想赢，应该先报还是后报？怎么报？ 悬念：有没有一种策略，不管对手怎么报，我都能赢？ 图1 抢30游戏 今天我们就来揭秘对弈游戏中的必胜策略。 四、知识导航 必胜策略三招： 图2 三大必胜策略 策略 核心思想 适用题型 关键 倒推法 从终点往前推 抢数游戏 找必赢位置 对称法 镜像模仿对手 棋盘/摆放 让局面对称 配对法 每轮凑固定和 取棋子 和= 五、易错辨析 常见错误 正确做法 不会倒推 从终点往前找必赢点 对称搞反 谁先造成对称，谁掌握主动 忘记余数 总数÷(最小+最大)，有余数先取走余数 策略选错 先判断是抢数、对称还是配对 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从抢数游戏到棋盘策略，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【抢30·倒推法】 题目：两人轮流报数，每次至少报1个、最多报2个，谁报到30谁赢。先报者能赢吗？ 分析：倒推：要报到30，必须让对手报到28或29。所以必赢位置是27、24、21……即3的倍数。 详解： 要抢到30，必须抢到27（对手报28或29，我就能报30）。 要抢到27，必须抢到24；依此类推：21、18、15、12、9、6、3。 所以3的倍数都是必赢位置。 先报者必输：后报者每次与先报者凑3（对手报1我报2，对手报2我报1），必抢到3、6、9…30。 图3 必赢位置（绿色） 方法点睛：每次最多报m个、最少1个，必赢位置是的倍数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两人轮流报数，每次至少1个最多2个，谁报到20谁赢。先报者有必胜策略吗？ 解答： 20÷3=6余2。先报者先报2个，抢到2，以后每次凑3：5、8、11、14、17、20。先报者必胜。 点拨：有余数时，先报者先取走余数，再凑。 例2【取棋子·配对法】 题目：有20颗棋子，两人轮流取，每次至少取1颗、最多取3颗，取到最后一颗者赢。先手能赢吗？ 分析：每次最少1、最多3，每轮可凑4颗。20是4的倍数，后手必胜。 详解： 每轮两人取的总数可控制为4：对手取1我取3，对手取2我取2，对手取3我取1。 20÷4=5，没有余数。 后手必胜：每轮与先手凑4，最后一颗必被后手取到。 若先手想赢，应让总数不是4的倍数（如21颗时先手取1颗剩20颗）。 图4 取棋子游戏 方法点睛：每次取1~m颗，每轮凑。总数是的倍数则后手胜。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：有21颗棋子，每次取1~3颗，取最后一颗者赢。先手怎么赢？ 解答： 21÷4=5余1。先手先取1颗，剩20颗。以后每轮凑4：对手取1我取3，对手取3我取1。先手必胜。 点拨：有余数时先取走余数，再凑固定和。 例3【对称策略·棋盘】 题目：在一个7×7棋盘上，两人轮流放棋子，每次放一颗，不能重叠也不能出界。谁没地方放谁输。先手有必胜策略吗？ 分析：7×7是奇数棋盘，正中心一格。先手占中心后，以后对手放哪，先手放其中心对称点。 详解： 7×7棋盘共49格，正中心一格（第4行第4列）。 先手第一步占正中心。 以后对手在A处放棋子，先手在A的中心对称点放棋子。 只要对手有地方放，先手就有对称点放。先手必赢。 图5 中心对称策略 方法点睛：对称策略：先造成对称局面，然后镜像模仿对手。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：在5×5棋盘上两人轮流放棋子，不能重叠，谁没地方放谁输。先手有必胜策略吗？ 解答： 先手放正中心，以后对手放哪我放对称点。先手必胜。 点拨：与例3同法：奇数棋盘先手占中心，偶数棋盘后手占优。 例4【两堆相同·模仿】 题目：桌上有两堆棋子，每堆各5颗。两人轮流从任一堆取任意颗（不能不取），取到最后一颗者赢。后手有必胜策略吗？ 分析：两堆相同是平衡局面。后手模仿先手：先手从一堆取几颗，后手从另一堆取同样多。 详解： 两堆相同：左5右5。 先手从左堆取2颗→左3右5。后手从右堆取2颗→左3右3（恢复平衡）。 先手从右堆取3颗→左3右0。后手从左堆取3颗→左0右0（后手取完）。 后手每次都让两堆恢复相同，最后一颗必被后手取到。 图6 两堆相同模仿策略 方法点睛：两堆相同是必败局面（先手），后手模仿必胜。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两堆棋子各8颗，轮流从任一堆取任意颗，取最后一颗者赢。先手还是后手赢？ 解答： 两堆相同是必败局面。后手必胜：先手取几颗，后手在另一堆取同样多。 点拨：与例4同法：相同局面后手模仿。 例5【两堆不同·先变相同】 题目：桌上两堆棋子：一堆7颗、一堆4颗。两人轮流从任一堆取任意颗，取最后一颗者赢。先手怎么赢？ 分析：先手先把两堆变成相同，把例4的局面留给后手。 详解： 先手从7颗堆取走3颗，变成4颗和4颗（两堆相同）。 现在轮到后手，进入例4的必败局面。 后手从一堆取几颗，先手从另一堆取同样多。 先手必胜。 图7 两堆不同先变相同 方法点睛：两堆不同时，先手先取成相同，再用模仿策略。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两堆棋子：10颗和6颗。轮流从任一堆取任意颗，取最后一颗者赢。先手怎么赢？ 解答： 先手从10颗堆取走4颗，变成6和6。以后后手取几颗，先手在另一堆取同样多。先手必胜。 点拨：与例5同法：先变相同再模仿。 例6【抢数综合·余数策略】 题目：两人轮流报数，每次至少报1个、最多报3个，谁报到50谁赢。先手有必胜策略吗？怎么报？ 分析：每次凑4（1+3），50÷4=12余2。先手先报2个，以后凑4。 详解： 每轮最多报3个、最少1个，可以控制每轮共报4个。 50÷4=12余2。 先手先报1、2（2个），抢到2。 以后对手报1个我报3个，对手报2个我报2个，对手报3个我报1个，每轮凑4。 必抢位置：2、6、10、14、18、22、26、30、34、38、42、46、50。先手必胜。 方法点睛：抢数公式：，有余数先报余数，无余数后手胜。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两人轮流报数，每次至少1个最多3个，谁报到40谁赢。先手还是后手必胜？ 解答： 40÷4=10，无余数。后手必胜：每次与先手凑4，必抢到4、8…40。 点拨：与例6同法：无余数则后手胜。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【抢100】（某名校小升初真题） 题目：两人轮流报数，每次至少1个、最多5个，谁报到100谁赢。先手有必胜策略吗？ 分析：每轮凑6（1+5），100÷6=16余4。先手先报4个，以后凑6。 详解： 每轮可控制报6个：对手报1我报5，对手报3我报3。 100÷6=16余4。 先手先报1、2、3、4（4个），抢到4。 以后每轮凑6：10、16、22…94、100。先手必胜。 方法点睛：公式：，有余数先报余数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两人轮流报数，每次至少1个最多4个，谁报到50谁赢。先手怎么赢？ 解答： 50÷5=10，无余数。后手必胜：每次凑5，必抢到5、10…50。 点拨：与真题1同法：无余数则后手胜。 真题2【棋盘覆盖】（某重点中学分班考试真题） 题目：在一个6×6棋盘上，两人轮流放1×2的多米诺骨牌，谁不能放谁输。先手有必胜策略吗？ 分析：棋盘是中心对称的。先手放一张在中心附近，以后对称模仿。 详解： 6×6棋盘中心对称（第3、4格之间）。 先手第一步在中心横放一张，把棋盘分成对称的两部分。 以后对手在哪放，先手在对称位置放。 只要对手能放，先手就能在对称点放。先手必胜。 图8 棋盘黑白染色 方法点睛：对称策略是棋盘类对弈的通用武器。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：在4×4棋盘上两人轮流放1×2骨牌，谁不能放谁输。先手有必胜策略吗？ 解答： 先手在中心对称放第一张，以后镜像模仿。先手必胜。 点拨：与真题2同法：中心对称策略。 八、方法总结表 题型 必胜方 策略 关键计算 抢数1~m 看余数 每轮凑(1+m) ，余先报/无余后 取棋子1~m 看余数 每轮凑(1+m) 同上 两堆相同 后手 模仿策略 对手取几我取几 两堆不同 先手 先变相同 取走差值 棋盘摆放 先手(奇数) 中心对称 占中心后镜像 九、解题口诀 对弈游戏找必胜，倒推法是第一功； 抢数取子看余数，每轮凑个固定和； 两堆相同后手赢，对手取啥我取啥； 两堆不同先手变，变成相同再模仿； 棋盘对称占中心，镜像跟着对手走。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 抢20游戏：每次1~2个，谁报到20谁赢。先报还是后报赢？ A2. 15颗棋子每次取1~2颗，取最后一颗赢。先手还是后手赢？ A3. 两堆棋子各8颗，轮流从一堆取任意颗，取最后一颗赢。谁必胜？ A4. 两堆棋子7颗和4颗，轮流从一堆取任意颗。先手怎么赢？ A5. 抢10游戏：每次只能报1个，谁报到10谁赢。先报还是后报赢？ B组 能力提升（5题） B6. 抢30游戏：每次1~3个，谁报到30谁赢。先手怎么赢？ B7. 两堆棋子10颗和6颗，轮流从一堆取任意颗。先手怎么赢？ B8. 抢50游戏：每次1~4个，谁报到50谁赢。先手还是后手赢？ B9. 在7×7棋盘上两人轮流放棋子，谁没地方放谁输。先手怎么赢？ B10. 25颗棋子每次取1~3颗，取最后一颗赢。先手怎么赢？ C组 思维挑战（5题） C11. 抢100游戏：每次1~5个，谁报到100谁赢。先手怎么赢？ C12. 两堆棋子：一堆9颗一堆5颗。轮流从一堆取任意颗，取最后一颗赢。先手怎么赢？ C13. 抢50游戏：每次1~4个，谁报到50谁赢。先手必胜吗？ C14. 在3×3棋盘上两人轮流放棋子，谁没地方放谁输。先手怎么赢？ C15. 两堆棋子各10颗，轮流从一堆取任意颗。先手想赢应该怎么办？ 十一、参考答案与详细解析 A1 20÷3=6余2。先报者先报2个，以后每轮凑3，必抢到2、5、8…20。先报者必胜。 A2 15÷3=5，无余数。后手必胜：每次与先手凑3。 A3 两堆相同是必败局面（对先手而言）。后手必胜：模仿策略。 A4 先手从7颗堆取走3颗，变成4和4。以后后手取几颗，先手在另一堆取同样多。 A5 每次只能报1个，报到10。先手报奇数（1、3…9），后手报偶数（2、4…10）。后手必胜。 B6 30÷4=7余2。先手先报2个，以后每轮凑4：2、6、10…30。先手必胜。 B7 先手从10颗堆取走4颗，变成6和6。以后模仿后手。先手必胜。 B8 50÷5=10，无余数。后手必胜：每次凑5，必抢到5、10…50。 B9 先手放正中心，以后对手放哪，先手放对称点。先手必胜。 B10 25÷4=6余1。先手先取1颗，剩24颗。以后每轮凑4。先手必胜。 C11 100÷6=16余4。先手先报4个，以后每轮凑6：4、10、16…100。先手必胜。 C12 先手从9颗堆取走4颗，变成5和5。以后模仿后手。先手必胜。 C13 50÷5=10，无余数。后手必胜，先手不能胜。 C14 先手放正中心，以后对手放哪，先手放对称点。先手必胜。 C15 两堆相同是必败局面，先手拿什么后手都模仿。先手无法赢（若对手知道策略）。 十二、本讲小结 本讲核心是对弈中的必胜策略：抢数取子看余数（每轮凑固定和），两堆相同后手模仿，两堆不同先手变相同，棋盘对弈用中心对称。 关键是先判断题型，再选策略。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 余数算错 ，有余数先取走 对称搞反 奇数棋盘先手占中心，偶数棋盘后手优 两堆相同先动手 两堆相同是必败局面，后手才赢 不会倒推 从终点往前找必赢位置 【学习建议】本讲建议课后与同学玩抢数游戏，亲身体验策略；下面我们学习第13讲 网格计数。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $