奥数思维培优 第4讲 旋转体体积·等积变形（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级上册奥数思维培优★ ★ ★ ★ ★ 第4讲 旋转体体积 · 等积变形 一、课程信息 项目 内容 讲次 第4讲 专题 旋转体体积——圆柱、圆锥与等积变形 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 圆面积公式；长方体体积 核心方法 V圆柱=h；V圆锥=h；等积变形体积不变 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握圆柱、圆锥体积公式；理解等底等高时圆柱圆锥体积关系；会用等积变形解题。 过程与方法 经历“熔铸—体积不变”的建模过程；学会排水法求不规则物体体积。 思维品质 培养空间想象能力；理解形变积不变的辩证思想。 情感应用 感受体积知识在工程、水利中的实际应用。 三、情境导入 工人师傅把一个圆柱形铁块熔化后，铸造成一个圆锥形零件。 动脑筋：铁块形状从圆柱变成了圆锥，它的体积变了吗？ 图1 圆柱熔铸成圆锥 悬念：如果圆锥和圆柱等底等高，它们体积之间有什么关系？ 这就是本讲要学的旋转体体积与等积变形：形状可以变，但体积不变。 四、知识导航 矩形绕一边旋转形成圆柱；直角三角形绕一直角边旋转形成圆锥。 图2 旋转体体积公式 图形 已知 公式 备注 圆柱 半径r、高h V = h 底面积×高 圆锥 半径r、高h V = h 等底等高时是圆柱的 等积变形 形变积不变 V前 = V后 熔铸、倒水、排水法 五、易错辨析 常见错误 正确做法 圆锥体积忘记乘 圆锥体积=×底面积×高 等积变形时认为体积变了 熔铸、倒水前后体积不变 排水法用错底面积 用容器底面积×水面上升高度 单位不统一就计算 先统一单位（cm、m）再代入公式 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本公式到等积变形，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【圆柱体积】 题目：一个圆柱底面半径5厘米，高10厘米。它的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 分析：直接用圆柱体积公式 V = h。 详解： V = 3.14 × × 10 = 3.14 × 25 × 10 = 785（立方厘米）。 答：体积是785立方厘米。 图3 例1圆柱 方法点睛：圆柱体积=底面积×高=h。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个圆柱底面半径4厘米，高10厘米。体积是多少？ 解答： V = 3.14 × × 10 = 3.14 × 16 × 10 = 502.4（立方厘米）。 点拨：与例1同法：直接代入 V = h。 例2【圆锥体积】 题目：一个圆锥底面半径6厘米，高10厘米。它的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 分析：圆锥体积=×底面积×高。 详解： V = × 3.14 × × 10 = 376.8（立方厘米）。 答：体积是376.8立方厘米。 图4 例2圆锥 方法点睛：圆锥体积别忘乘。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个圆锥底面半径3厘米，高10厘米。体积是多少？ 解答： V = × 3.14 × 9 × 10 = 94.2（立方厘米）。 点拨：与例2同法：V = h。 例3【等底等高关系】 题目：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱体积比圆锥大24立方厘米。圆柱和圆锥的体积各是多少？ 分析：等底等高时，圆锥体积是圆柱的 ，圆柱比圆锥大 份。 详解： 圆锥体积 = 圆柱体积 × 。 圆柱比圆锥大 1 − = ，对应24立方厘米。 圆柱体积 = 24 ÷ = 36（立方厘米）。 圆锥体积 = 36 × = 12（立方厘米）。 答：圆柱36立方厘米，圆锥12立方厘米。 图5 等底等高关系 方法点睛：等底等高：V锥=V柱÷3，V柱比V锥大2倍V锥。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：等底等高的圆柱和圆锥体积和是48立方厘米。各是多少？ 解答： 圆锥1份，圆柱3份，共4份=48；每份=12；圆锥=12，圆柱=36。 点拨：与例3同法：按1:3分配。 例4【等积变形：熔铸】 题目：把一个底面半径4厘米、高9厘米的圆柱形铁块，熔铸成底面半径6厘米的圆锥。圆锥的高是多少厘米？ 分析：熔铸前后体积不变。V圆柱=V圆锥。 详解： V圆柱 = 3.14 × × 9 = 452.16（立方厘米）。 V圆锥 = × 3.14 × 36 × h = 37.68h。 37.68h = 452.16，h = 12（厘米）。 答：圆锥的高是12厘米。 图6 熔铸等积变形 方法点睛：等积变形关键：形变积不变，列等式 V前=V后。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：把一个圆柱熔铸成等底的圆锥，圆柱高15厘米。圆锥高多少？ 解答： 等底时 h柱 = h锥 → h锥 = 3h柱 = 45厘米。 点拨：与例4同法：体积不变列等式。 例5【排水法求体积】 题目：一个圆柱形容器底面积80平方厘米，水深8厘米。放入一块石头后，水面升到12厘米。石头的体积是多少？ 分析：水面上升部分的体积就是石头的体积。 详解： 水面上升 = 12 − 8 = 4（厘米）。 石头体积 = 底面积 × 上升高度 = 80 × 4 = 320（立方厘米）。 答：石头体积是320立方厘米。 图7 排水法 方法点睛：排水法：物体体积=容器底面积×水面上升高度。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：圆柱容器底面积50平方厘米，水深10厘米，放物体后水面升到14厘米。物体体积多少？ 解答： 上升4厘米；物体体积=50×4=200立方厘米。 点拨：与例5同法：底面积×上升高度。 例6【组合体体积】 题目：一个零件由等底的圆柱和圆锥组成，底面半径3厘米，圆柱高5厘米，圆锥高6厘米。零件体积是多少？ 分析：组合体体积=圆柱体积+圆锥体积。 详解： V圆柱 = 3.14 × × 5 = 141.3（立方厘米）。 V圆锥 = × 3.14 × 9 × 6 = 56.52（立方厘米）。 V总 = 141.3 + 56.52 = 197.82（立方厘米）。 答：零件体积是197.82立方厘米。 图8 组合体 方法点睛：组合体体积=各部分体积之和。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：等底的圆柱和圆锥，r=4，圆柱h=6，圆锥h=9。总体积多少？ 解答： V柱=3.14××6=301.44；V锥=×3.14××9=150.72；总=452.16。 点拨：与例6同法：分别算再相加。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【沙堆铺路】（某名校小升初真题） 题目：一堆圆锥形沙堆，底面半径2米，高1.5米。用这堆沙在4米宽的路上铺5厘米厚，能铺多长？ 分析：沙子体积不变：圆锥体积=长方体路的体积。 详解： V沙 = × 3.14 × 4 × 1.5 = 6.28（立方米）。 5厘米 = 0.05米。路的横截面积 = 4 × 0.05 = 0.2（平方米）。 路长 = 6.28 ÷ 0.2 = 31.4（米）。 答：能铺31.4米。 方法点睛：等积变形：沙子体积不变，注意单位统一。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：圆锥形沙堆底面直径4米，高1.2米，铺8米宽、2厘米厚的路。能铺多长？ 解答： V = ×3.14××1.2=5.024；路长=5.024÷(8×0.02)=31.4米。 点拨：与真题1同法：体积不变列等式。 真题2【排水法】（某重点中学分班考试真题） 题目：一个圆柱形容器底面半径10厘米，水深20厘米。放入一个底面半径5厘米的圆锥后，水面升到25厘米。圆锥的高是多少？ 分析：水面上升部分体积=圆锥体积。 详解： V圆锥 = 3.14 × × (25−20) = 1570（立方厘米）。 1570 = × 3.14 × 25 × h。 h = 1570 × 3 ÷ 78.5 = 60（厘米）。 答：圆锥的高是60厘米。 方法点睛：排水法+圆锥公式：先求V锥，再反求h。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：圆柱容器r=5厘米，水深10厘米，放入r=2厘米的圆锥后水面升到13厘米。圆锥高多少？ 解答： V锥=3.14××3=235.5；235.5=×3.14××h；h=56.25厘米。 点拨：与真题2同法：上升体积=圆锥体积。 八、方法总结表 题型 关键 公式 检验要点 圆柱体积 直接代入 V=h 结果单位cm³ 圆锥体积 别忘 V=h 是同底同高圆柱的 等底等高 按1:3分配 V锥:V柱=1:3 和=4份 等积变形 体积不变 V前=V后 形状变积不变 排水法 上升体积 V物=S底×Δh 用容器底面积 九、解题口诀 圆柱体积，圆锥三分莫忘记； 等底等高柱三倍，锥是柱的三分之一； 熔铸倒水积不变，前后体积画等号； 排水法求物体积，底面积乘上升高。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 圆柱底面半径3厘米，高10厘米。体积是多少？ A2. 圆锥底面半径3厘米，高10厘米。体积是多少？ A3. 等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积60立方厘米。圆锥体积多少？ A4. 圆柱底面积20平方厘米，高5厘米。体积是多少？ A5. 圆锥底面积15平方厘米，高6厘米。体积是多少？ B组 能力提升（5题） B6. 等底等高的圆柱比圆锥体积大30立方厘米。各是多少？ B7. 把圆柱熔铸成等底的圆锥，圆柱高12厘米。圆锥高多少？ B8. 圆柱容器底面积40平方厘米，水深6厘米，放物体后升到10厘米。物体体积多少？ B9. 圆柱底面周长12.56厘米，高5厘米。体积多少？（π取3.14） B10. 等底等高圆柱圆锥体积和是80立方厘米。各是多少？ C组 思维挑战（5题） C11. 圆锥形沙堆底面直径4米，高1.5米，铺10米宽、5厘米厚的路。能铺多长？ C12. 圆柱容器r=10厘米，水深8厘米，放入r=5厘米的圆锥后水面升到10厘米。圆锥高多少？ C13. 把一个底面半径2厘米、高9厘米的圆柱熔铸成底面半径3厘米的圆锥。圆锥高多少？ C14. 一个圆柱和一个圆锥等体积等高，圆柱底面积是12平方厘米。圆锥底面积多少？ C15. 等底等高的圆柱和圆锥体积差是50立方厘米。体积和是多少？ 十一、参考答案与详细解析 A1 V=3.14××10=282.6立方厘米。 A2 V=×3.14××10=94.2立方厘米。 A3 V锥=60÷3=20立方厘米。 A4 V=20×5=100立方厘米。 A5 V=×15×6=30立方厘米。 B6 V锥=30÷2=15，V柱=45立方厘米。 B7 等底时h锥=3h柱=36厘米。 B8 V物=40×(10−6)=160立方厘米。 B9 r=12.56÷3.14÷2=2；V=3.14××5=62.8立方厘米。 B10 圆锥=80÷4=20，圆柱=60立方厘米。 C11 V=×3.14××1.5=6.28；路长=6.28÷(10×0.05)=12.56米。 C12 V锥=3.14××2=628；628=×3.14××h；h=24厘米。 C13 V柱=3.14××9=113.04；113.04=×3.14××h；h=12厘米。 C14 等体积等高：S锥=3S柱=36平方厘米。 C15 V锥=50÷2=25，V柱=75；和=100立方厘米。 十二、本讲小结 本讲核心是圆柱、圆锥体积公式和等积变形。 V圆柱=，V圆锥=。 等底等高时圆柱体积是圆锥的3倍。 熔铸、倒水、排水法都是形变积不变，抓住体积不变列等式。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 圆锥忘乘 V锥= 等积变形认为体积变了 形变积不变，V前=V后 排水法用错底面积 用容器底面积×水面上升高度 单位不统一 先统一cm/m再计算 【学习建议】本讲建议课后再练5道题，重点练等积变形和排水法；下讲学习“最短路线“，是小升初奥数的综合实践。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $