等比数列及其前n项和专项训练-2027届高三数学一轮复习

等比数列及其前n项和 一、知识点梳理 （一）等比数列的概念与通项公式 如果一个数列从第 项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，通常用 表示。用符号写出来就是 （，），由 与 可知等比数列的任何一项都不为 。本讲用到的全部工具，都出自教材「等比数列」一节。 如果 ，， 三个数成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，由 得 。注意两个前提：只有 与 同号时它们才有等比中项，而且这时等比中项有两个，互为相反数； 与 异号时等比中项不存在。 由 作商得 ，它把任意两项直接联系起来，已知两个下标不同的项时不必先求 。把通项改写成 ，可见 是 的指数型函数，公比 决定了它的增减。 （二）等比数列的前 项和公式 前 项和分两种情形：当 时 ；当 时 。第二个公式的推导只要把 与 错开一位相减，中间的大部分项正好抵消。 公式里含有分母 ，所以使用前必须确认 。题目只说了「等比数列」而没给出公比的值时，要么先导出 ，要么把 与 分开讨论，漏掉 这一类是这类题最常见的丢分点。 当 且 时，把 整理成 的形式，可见它是 的一次式。反过来，若某个等比数列的 （，），则必有 ；这一条常用来反向检验求出的 是否正确。 （三）等比数列的常用性质 下标和性质：在等比数列 中，若 （），则 ；特别地，当 时 。这一条是「已知几项的积求另外几项的积」这类问题的钥匙，条件里出现两个下标和为定值时优先想到它。 等距抽取的子列仍是等比数列：，，，是公比为 的等比数列。由此还可得到 、、 也都是等比数列，公比依次为 、、。 前 项和的片段和：把 提出公因式 ，得 ，于是当 （或 且 为奇数）时，，， 成等比数列，公比为 。若 且 为偶数，这些项全为 ，片段和不成等比数列，用时必须先验证。 （四）等比数列的判定与证明 判定一个数列是等比数列，首选定义法：说明存在非零常数 ，使 对一切 成立；若式子是从第 项才成立的，则写成 （）。用定义法前要先说明各项都不为 ，否则比值本身没有意义。 也可以从三项的关系入手：若 且 对一切 恒成立，则 是等比数列。这一条实质上是定义法的变形，当题目给出的关系式含有乘积或平方时，用它比直接作商更方便。 证明题的落笔套路是「先构造、再定型」：把待证的式子整理成 的形状，其中 是题中指定的新数列；然后算出首项 ，说明 ；再写清「首项为 ，公比为 」两句话收尾。只要构造这一环写对了，后面算通项就是代数运算。 下结论前自查三件事：用前 项和公式时有没有先确认 （或把 单独讨论）；用片段和性质时有没有验证 的条件；证明等比数列时有没有说明首项不为 、有没有交代「从第几项起」。 二、典型例题 例1　基本量运算：两段和整体相除求公比 已知一个各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，求这个数列的公比 。 ①把前 8 项拆开　把 写成 ，后 项正好是前 项各项都乘 。 ②提出公因式　由 把两个已知和联系起来，不必去求首项。 ③解还是舍　解出 后开方，两个根里只有正根符合「各项均为正数」。 注：题目给的是两段和，用 一步就到位。各项均为正数这个条件是用来舍去负根的，不能丢。 【答案】。 设公比为 。因为 ，而 ， 所以 。 代入 ，，得 ，即 ，所以 。 因为数列各项均为正数，故 ，所以 。 变式1　基本量运算：由等差中项与下标和性质定基本量 已知等比数列 满足 ，且 与 的等差中项为 。求 的首项与公比，并求 。 ①先化简第一个条件　 改写成 ，约去非零的 ，直接定出 。 ②再用等差中项　等差中项就是两数的平均数，由 解出 。 ③回代求基本量　由 求公比，再由 求首项，最后算 。 【答案】，，。 由下标和性质，，代入条件得 。因为 ，所以 。 因为 与 的等差中项为 ，所以 ，代入 得 ，即 。 于是 ，所以 。 由 得 。 所以 。 例2　判定与证明：由递推式构造等比数列并求和 已知数列 的首项 ，且满足 （）。（1）求证： 是等比数列；（2）求 的前 项和 。 ①朝目标式变形　把递推式中的 用 代换，再在两边同时减去 ，看能否提出常数因子。 ②定型并写收尾句　得到 ，算出首项 ，说明它不为零，再写「首项、公比」两句话。 ③分奇偶求和　先由等比通项写出 ，求和时把 的部分按 的奇偶分开。 注：这类「」的递推式，先减去 使得两边的增量一致，构造出的新等比数列公比往往是 或一个整数。求和时 项的和要按 的奇偶分类，别漏掉一类。 【答案】（1） 是首项为 、公比为 的等比数列；（2）当 为偶数时 ，当 为奇数时 。 （1）由 得 ，于是 。 又 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 （2）由（1）得 ，所以 。 于是 。其中 ；而 当 为偶数时为 ，当 为奇数时为 。 所以当 为偶数时 ；当 为奇数时 。 变式2　判定与证明：由分式递推构造等比数列求通项 已知数列 满足 ，且 （）。求证： 是等比数列，并求 的通项公式。 ①两边同除以乘积　由 可逐步说明各项非零，把递推式两边同除以 ，化成倒数之间的关系。 ②朝目标式配方　把 解得后代入 ，提出因子 ，得到 。 ③定型并回代　写出首项 ，再由 的通项解出 。 【答案】 是首项、公比均为 的等比数列，。 由递推式得 。由 及 可知各项均为正，故可作商。 把 两边同除以 ，得，即 。 于是 。 又 ，所以 是首项、公比均为 的等比数列。 于是 ，解得 ，所以 。 例3　前 项和公式：先排除 再定公比 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，， 成等差数列。求 的公比 。 ①先排除 q=1　若 ，则 ，代入等差条件会导出 ，与等比数列定义矛盾。 ②再用求和公式　在 下把 、、 都用 表示，约去公因子。 ③解方程并舍根　整理成关于 的一元二次方程，用 舍去其中一根。 注：等差条件里出现 时，先假设 代入排除，是回避求和公式分母的必要一步。本题两根中 要舍，答案才是唯一的。 【答案】。 由 ，， 成等差数列得 。 若 ，则 ，代入得 ，即 ，所以 ，这与等比数列首项不为 矛盾，故 。 当 时，，代入 ，约去 得 。 整理得 ，即 （两边约去非零的 ），解得 或 。 由 ，得 。 变式3　前 项和公式：由片段和成等差定公比 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，， 成等差数列，求 的公比 。 ①译成等式　三项成等差即中间项的 倍等于两端之和，写出 。 ②展开成基本量　把 、、 逐项展开成 与 的式子，这一步不需要排除 。 ③约元求 q　约去非零的 ，得到关于 的一次方程，直接解出。 【答案】。 由 ，， 成等差数列得 ，即 。 因为 ，，，代入得 。 整理得 ，即 。因为 ，，约去 得 。 例4　片段和性质：把和分成等长的几段 已知等比数列 满足 ，，求 。 ①找出两段的比　 正好是 每项都乘 ，由此先定出 。 ②写出全部四段　把 分成 ，，， 四段，它们是公比为 的等比数列。 ③逐段相加　由公比 依次算出后两段，再相加得到 。 注：已知等长的几段和求总和，关键是识别出这些段构成等比数列。本题两段和都是正数，公比为 ，片段和性质的使用条件自动满足。 【答案】。 设公比为 。因为 ，所以 ，即 。 于是 ，，， 成等比数列，公比为 。 其中 ，，所以 ，。 所以 。 变式4　片段和性质：把远处三项归到第一段 已知公比不等于 的等比数列 的前 项和为 ，若 ，，求 。 ①记第一段为 A　记 ，把 、 都写成 乘以含 的因式。 ②先定 q 的三次方　由 说明 ，再约去 得到关于 的方程。 ③把所求三项归段　，把 写成 后代入。 【答案】。 记 。则 ，所以 。 又 。约去 得 ，即 。 分解得 。由 知 ，所以 。 由 得 。 所以 。 例5　等差与等比数列的综合 设 是等差数列， 是等比数列，已知 ，，。求 与 的通项公式。 ①各设基本量　设等差数列公差为 、等比数列公比为 ，把两个条件都翻译成含 、 的方程。 ②消元解出　由一个方程解出 关于 的表达式，代入另一个方程，得到关于 的方程。 ③回代写通项　解出 、 后分别代回等比、等差通项公式。 注：等差与等比混在一起时，各写各的基本量（ 与 ），两条条件就是两个方程，消元即可。解出 时出现重根，说明解唯一。 【答案】，。 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 。则 ，。 由 得 ，即 。 由 得 。把 代入得 。 整理得 ，即 ，所以 ，从而 。 所以 ，。 变式5　等差与等比数列的综合：构造辅助数列求项 已知数列 ， 中，，，，。若 ，求 的值。 ①先写 a 的通项　由 与 直接得 是首项为 、公比为 的等比数列。 ②把 b 的递推式规范化　把 两边同除以 ，构造出 为等差数列。 ③写出通项并列方程　分别写出 、 的表达式，由 解出 。 【答案】。 由 ， 得 是首项为 、公比为 的等比数列，所以 。 代入得 。两边同除以 ，得。 所以 是首项为 、公差为 的等差数列，。 所以 。 由 得 ，即 ，所以 。 三、巩固练习 1．若等比数列 满足 ，，求数列 的公比。 【答案】。 设公比为 ，则 。 又 ，把 整体代入得 。 所以 。 2．记 为等比数列 的前 项和， 为 的公比，且 。若 ，，求首项 与 。 【答案】，。 由 得 。代入 ，得 。 即 ，整理得 ，解得 或 。 因为 ，所以 ，从而 。 所以 。 3．记数列 的前 项和为 ，已知 ，，求 的值。 【答案】。 由 得 。两边同时加 ，得 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列，从而 ，即 。 所以 。 4．已知数列 ，，， 成等差数列，，，，， 成等比数列，求 的值。 【答案】。 由 ，，， 成等差数列，得公差，所以 ，，从而 。 由 ，，，， 成等比数列，得 ，所以 或 。 又 是第 项，与首项 、末项 的奇偶位置相同，各项同号，故 。 所以 。 5．已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，， 恰好构成等比数列的前三项，求 。 【答案】。 由 ，当 时 ，两式相减得 。 所以 。因为数列各项均为正数，所以 ，即 是公差为 的等差数列。 记首项为 ，则 ，，。由它们成等比数列的前三项得 ，即 。 展开得 ，解得 。 所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列及其前n项和 一、知识点梳理 （一）等比数列的概念与通项公式 如果一个数列从第 项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，通常用 表示。用符号写出来就是 （，），由 与 可知等比数列的任何一项都不为 。本讲用到的全部工具，都出自教材「等比数列」一节。 如果 ，， 三个数成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，由 得 。注意两个前提：只有 与 同号时它们才有等比中项，而且这时等比中项有两个，互为相反数； 与 异号时等比中项不存在。 由 作商得 ，它把任意两项直接联系起来，已知两个下标不同的项时不必先求 。把通项改写成 ，可见 是 的指数型函数，公比 决定了它的增减。 （二）等比数列的前 项和公式 前 项和分两种情形：当 时 ；当 时 。第二个公式的推导只要把 与 错开一位相减，中间的大部分项正好抵消。 公式里含有分母 ，所以使用前必须确认 。题目只说了「等比数列」而没给出公比的值时，要么先导出 ，要么把 与 分开讨论，漏掉 这一类是这类题最常见的丢分点。 当 且 时，把 整理成 的形式，可见它是 的一次式。反过来，若某个等比数列的 （，），则必有 ；这一条常用来反向检验求出的 是否正确。 （三）等比数列的常用性质 下标和性质：在等比数列 中，若 （），则 ；特别地，当 时 。这一条是「已知几项的积求另外几项的积」这类问题的钥匙，条件里出现两个下标和为定值时优先想到它。 等距抽取的子列仍是等比数列：，，，是公比为 的等比数列。由此还可得到 、、 也都是等比数列，公比依次为 、、。 前 项和的片段和：把 提出公因式 ，得 ，于是当 （或 且 为奇数）时，，， 成等比数列，公比为 。若 且 为偶数，这些项全为 ，片段和不成等比数列，用时必须先验证。 （四）等比数列的判定与证明 判定一个数列是等比数列，首选定义法：说明存在非零常数 ，使 对一切 成立；若式子是从第 项才成立的，则写成 （）。用定义法前要先说明各项都不为 ，否则比值本身没有意义。 也可以从三项的关系入手：若 且 对一切 恒成立，则 是等比数列。这一条实质上是定义法的变形，当题目给出的关系式含有乘积或平方时，用它比直接作商更方便。 证明题的落笔套路是「先构造、再定型」：把待证的式子整理成 的形状，其中 是题中指定的新数列；然后算出首项 ，说明 ；再写清「首项为 ，公比为 」两句话收尾。只要构造这一环写对了，后面算通项就是代数运算。 下结论前自查三件事：用前 项和公式时有没有先确认 （或把 单独讨论）；用片段和性质时有没有验证 的条件；证明等比数列时有没有说明首项不为 、有没有交代「从第几项起」。 二、典型例题 例1　基本量运算：两段和整体相除求公比 已知一个各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，求这个数列的公比 。 变式1　基本量运算：由等差中项与下标和性质定基本量 已知等比数列 满足 ，且 与 的等差中项为 。求 的首项与公比，并求 。 例2　判定与证明：由递推式构造等比数列并求和 已知数列 的首项 ，且满足 （）。（1）求证： 是等比数列；（2）求 的前 项和 。 变式2　判定与证明：由分式递推构造等比数列求通项 已知数列 满足 ，且 （）。求证： 是等比数列，并求 的通项公式。 例3　前 项和公式：先排除 再定公比 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，， 成等差数列。求 的公比 。 变式3　前 项和公式：由片段和成等差定公比 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，， 成等差数列，求 的公比 。 例4　片段和性质：把和分成等长的几段 已知等比数列 满足 ，，求 。 变式4　片段和性质：把远处三项归到第一段 已知公比不等于 的等比数列 的前 项和为 ，若 ，，求 。 例5　等差与等比数列的综合 设 是等差数列， 是等比数列，已知 ，，。求 与 的通项公式。 变式5　等差与等比数列的综合：构造辅助数列求项 已知数列 ， 中，，，，。若 ，求 的值。 三、巩固练习 1．若等比数列 满足 ，，求数列 的公比。 2．记 为等比数列 的前 项和， 为 的公比，且 。若 ，，求首项 与 。 3．记数列 的前 项和为 ，已知 ，，求 的值。 4．已知数列 ，，， 成等差数列，，，，， 成等比数列，求 的值。 5．已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，， 恰好构成等比数列的前三项，求 。 学科网（北京）股份有限公司 $