6.3 等比数列及其前n项和 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等比数列7大核心考点，以题型专练构建从基础运算到实际应用的完整训练体系，强化逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本运算|4题|结合定义、通项及前n项和公式的方程求解|从概念到公式应用，夯实基础| |判定与证明|4题|递推关系转化及等比数列定义证明|连接概念与性质，培养推理意识| |性质及应用|4题|中项、前n项积、方程根与数列关系|深化性质理解，提升应用能力| |片段和性质|4题|等比数列前n项和的片段比例关系|拓展求和性质，强化运算能力| |单调性与最值|6题|公比与首项对单调性影响及前n项积最值|综合性质与函数思想，培养数学思维| |奇偶项和性质|4题|奇偶项和的比例关系及项数特征|细化求和分类，完善知识体系| |简单应用|4题|人口增长、产能升级、贷款还款等实际问题|联系现实情境，发展应用意识|

6.3 等比数列及其前n项和 7大考点汇总 考点01 等比数列的基本运算 考点02 等比数列的判定与证明 考点03 等比数列的性质及应用 考点04 等比数列片段和的性质及应用 考点05 等比数列中的单调性与最值问题 考点06 等比数列奇、偶项和的性质及应用 考点07 等比数列的简单应用 题型专练 考点01 等比数列的基本运算 1．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知递增等比数列满足，，则__________． 2．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知等比数列中，，. (1)求的通项公式； (2)记为的前n项和，若，求k. 4．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）在等比数列中，，，则的值为________ 考点02 等比数列的判定与证明 5．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列满足，，设. (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 6．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知数列满足，，． (1)令，证明是等比数列，并求的通项公式； 7．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知数列中，，，（）. (1)求证：数列为等比数列. 8．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知数列满足，且. (1)若，证明：数列是等比数列； 考点03 等比数列的性质及应用 9．（25-26高二下·重庆·期末）等比数列的前项积是，若，则________． 10．（2026高三·全国·专题练习）在等比数列中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·广西钦州·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则公比（    ） A． B．2 C．3 D． 12．（25-26高二下·辽宁·期末）若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 考点04 等比数列片段和的性质及应用 13．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 14．（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 15．（25-26高二下·湖北武汉·期末）记等比数列的前项和为，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·浙江宁波·期末）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 考点05 等比数列中的单调性与最值问题 17．（2026高三·全国·专题练习）若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（25-26高三下·上海·期末）设等比数列的公比为q，为前n项积，且满足，，，则下列结论正确的是________（填序号） ①  ②  ③的最大值为  ④若，则 19．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 20．（2026·安徽合肥·三模）等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 21．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 22．（25-26高二下·辽宁大连·期末）（多选）已知等比数列满足，，其前n项积，则下列结论正确的是（    ） A．数列是单调递增数列 B．数列的最大值为8 C．满足的正整数n的个数为4 D．存在正整数n，使得 考点06 等比数列奇、偶项和的性质及应用 23．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 24．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 25．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 26．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 考点07 等比数列的简单应用 27．（2026高三·全国·专题练习）某地2000年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，如果该城市的人口平均增长率为，问要使2010年底该城市的人均住房面积增加到7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米． 28．（25-26高二下·北京西城·期末）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 29．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 30．（25-26高二下·湖北武汉·期中）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的最大整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 等比数列及其前n项和 7大考点汇总 考点01 等比数列的基本运算 考点02 等比数列的判定与证明 考点03 等比数列的性质及应用 考点04 等比数列片段和的性质及应用 考点05 等比数列中的单调性与最值问题 考点06 等比数列奇、偶项和的性质及应用 考点07 等比数列的简单应用 题型专练 考点01 等比数列的基本运算 1．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知递增等比数列满足，，则__________． 【答案】/ 【分析】令，可得，通过两式相乘和相除求得，，进一步求出公比为q，即可得解. 【详解】设递增等比数列的公比为q， 已知，， 令， 则， 两式相除，得， 因为，递增等比数列各项为正，所以， 两式相乘，得，所以， 即，即， 解得， 因为数列递增，则， 所以. 2．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先联立等比数列的通项条件与前3项和条件求解公比和首项，再代入前6项和公式计算结果. 【详解】设等比数列的公比为,, 由得(1) 由(2)， 将式(2)代入式(1)得： ，解得, 将代入式(2)，得，解得, 所以. 3．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知等比数列中，，. (1)求的通项公式； (2)记为的前n项和，若，求k. 【答案】(1) 或 . (2) . 【分析】（1）利用等比数列通项公式建立关于公比q的方程，求出q后代入通项公式得到两种情况的通项； （2）分两种公比情况，分别写出等比数列前项和公式，令和等于求解正整数，舍去无解情形得到最终答案. 【详解】（1）设公比为，由及得 ， 即，解得或或（舍）， 故通项或 . （2） 若，，令，得 . 若，，令，化简得，无正整数解 . 综上. 4．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）在等比数列中，，，则的值为________ 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，，所以， 两式相除得，所以，所以， 所以，解得，代入， 得，解得，， 所以. 考点02 等比数列的判定与证明 5．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列满足，，设. (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)由条件可得，即， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列． 于是，， 又，所以， 解得． 【分析】（1）根据递推公式，赋值求解即可； （2）利用定义，求得，由的通项公式即可求得的通项公式. 【详解】（1）由条件可得． 将代入得，，而，所以． 从而， ． （2）略 6．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知数列满足，，． (1)令，证明是等比数列，并求的通项公式； 【答案】(1)证明：因，，，则， 由， 故数列是等比数列，其首项为，公比为3， 故的通项公式为. 【分析】（1）利用数列递推式和等比数列的定义证明，进而写出其通项公式； 【详解】（1）证明略；的通项公式为； 7．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知数列中，，，（）. (1)求证：数列为等比数列. 【答案】(1)由，得：， 即. 因为，所以数列是首项、公比均为2的等比数列. 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可. 【详解】（1）略 8．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知数列满足，且. (1)若，证明：数列是等比数列； 【答案】(1)已知， 则， 又，所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可. 【详解】（1）略 考点03 等比数列的性质及应用 9．（25-26高二下·重庆·期末）等比数列的前项积是，若，则________． 【答案】128 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】等比数列，， 所以， . 10．（2026高三·全国·专题练习）在等比数列中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，等比数列中，下标成等差数列的连续项和仍然成等比数列，而、、的下标间隔相等，因此三者成等比数列，化简即可求解. 【详解】根据等比数列的性质， 代入已知条件，，得： ，整理得：. 11．（25-26高二下·广西钦州·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则公比（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用等比数列下标和相等则项乘积相等的性质求出首项，再排除公比的情况，代入等比数列前项和公式列方程求解公比并舍去不合理解. 【详解】若，由等比数列的性质可知，则， 若，则，不合题意，故， 所以，解得或（舍去）． 12．（25-26高二下·辽宁·期末）若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 【答案】C 【分析】由等比数列的性质得到，进而得到，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 考点04 等比数列片段和的性质及应用 13．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则 ________. 【答案】 【分析】由等比数列的性质进行求解． 【详解】数列是等比数列，则，，也成等比数列， 且首项为，公比为，则． 14．（25-26高二下·广东阳江·期末）已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 【答案】D 【分析】根据为等比数列计算. 【详解】由题意得，为等比数列， 则为等比数列，得公比为， 则，，得，. 15．（25-26高二下·湖北武汉·期末）记等比数列的前项和为，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列片段和的性质即可求解. 【详解】已知等比数列的前项和为，设公比为， 根据等比数列片段和的性质，，，是以公比为的等比数列，即， 由于，变形得，则，故D正确. 16．（25-26高二下·浙江宁波·期末）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和的性质即可求解. 【详解】已知等比数列的前项和为，设等比数列的公比为， 根据等比数列的前项和的性质，，，，等构成一个公比为的等比数列， 已知，，则，所以， 所以，即， ，即， 因此，故C正确. 考点05 等比数列中的单调性与最值问题 17．（2026高三·全国·专题练习）若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质及二次函数的性质，结合数列的取值计算即可. 【详解】令，因为，所以，且随的增大而递减， 当时，；当时，；当时，； 则. 数列通项可化为. 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以当，即时，，为最小项，即. 所以当，即时，，为最大项，即. 故. 18．（25-26高三下·上海·期末）设等比数列的公比为q，为前n项积，且满足，，，则下列结论正确的是________（填序号） ①  ②  ③的最大值为  ④若，则 【答案】①③ 【详解】因为，，所以，则数列为单调数列， 所以由且，可得，所以数列为单调减数列，即，所以①正确； 由数列是等比数列，可得，因为，所以，所以②错误； 数列为单调减数列，所以，所以的最大值为，即③正确； 当时，，所以④错误. 19．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】分别证明充分性和必要性. 【详解】根据题意，等比数列中， 若数列为单调递增数列， 则，由于， 则，即或， 当时，，即数列为单调递增数列， 当时，数列正负交替出现，不是单调数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的不充分条件； 若数列为单调递增数列，因为，则，所以， 则，即数列为单调递增数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要条件， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件. 20．（2026·安徽合肥·三模）等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 21．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 22．（25-26高二下·辽宁大连·期末）（多选）已知等比数列满足，，其前n项积，则下列结论正确的是（    ） A．数列是单调递增数列 B．数列的最大值为8 C．满足的正整数n的个数为4 D．存在正整数n，使得 【答案】BC 【分析】先推导等比数列的通项公式，进一步得到前项积的指数型表达式，结合指数函数性质、数列单调性逐一分析选项. 【详解】，则前项积， 选项A：， 所以当时，，即，，数列单调递减， 当时，，即，，数列单调递增，故选项A错误； 选项B：由选项A可知，当时，数列取到最大值，故选项B正确； 选项C：，即，则，解得， 因为，所以只能取，故选项C正确； 选项D：，即，则， 化简可得，解得，故选项D错误. 考点06 等比数列奇、偶项和的性质及应用 23．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 24．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为，则可得，，解出即可得. 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 25．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 26．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 考点07 等比数列的简单应用 27．（2026高三·全国·专题练习）某地2000年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，如果该城市的人口平均增长率为，问要使2010年底该城市的人均住房面积增加到7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米． 【答案】87 【分析】先求出2010年底该城市的住房总面积及从2000年底到2010年底，该城市的新增住房面积，进而可求平均每年新增住房面积． 【详解】若人口平均增长率为，则2010年底该城市的住房总面积为（万） 从2000年底到2010年底，该城市的新增住房面积为（万） 所以，平均每年新增住房面积为（万）（万） 28．（25-26高二下·北京西城·期末）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设初始产能， 从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为， 所以两边约去， 得， 从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为 ， 所以答案是B. 29．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 【答案】ABD 【分析】对于BC选项，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可；对于A选项，等额本息的还款方案，结合等比数列的判定及求和公式计算；对于D选项，通过比较两种还款方案的利息进行判断. 【详解】对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，， 所以B选项正确； 所还的利息总数为（万元）， 所以C选项错误； 对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，，，， 同理可得：，，…，. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 其前12项的和为：，解得. 所以每月的还款额为，故A选项正确； 所以等额本息的还款方案，所还利息总和为万元， 又等额本金的还款方案，所还的利息总数为万元， 因为，所以等额本息还款的利息多，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 30．（25-26高二下·湖北武汉·期中）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为．若关于的不等式恒成立，则实数的最大整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【分析】先求出和，然后参变分离求出的范围，即可得. 【详解】由题意，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故， 所以， ， 由，得， 整理得对任意，且恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的最大整数为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $