等比数列专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等比数列核心概念与综合应用，通过分层题型构建"概念理解-性质应用-综合迁移"的递进式训练体系，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|2题|定义法、方程思想|从等比中项定义到通项公式的生成过程| |公式应用|4题|分类讨论（q=1）、片段和性质|前n项和公式推导与应用条件的关联性| |性质综合|8题|等差等比交叉转化、函数单调性分析|性质定理与跨知识点（数列与不等式）的整合| |证明计算|4题|构造法（辅助数列）、错位相减法|递推关系到通项公式再到求和的完整逻辑链|

高三数学一轮复习等比数列专项训练 一、单选题： 1.与两数的等比中项是． A. B. C. D. 2.已知等比数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 3.正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前个正方形的面积和为(    ) A. B. C. D. 4.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则(    ) A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列．令，则数列的前项和(    ) A. B. C. D. 7.已知数列，中，，，，，若，则(    ) A. B. C. D. 8.在数学史上，中国古代数学名著周髀算经九章算术孔子算经张邱建算经等，对等差级数数列和等比级数数列，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题数阵中，每行的个数依次成等差数列，每列的个数依次成等比数列，若，则这个数和的最小值为(    ) A.   B. C. D. 二、多选题： 9.已知正项等比数列的前项和为，若，则(    ) A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 10.已知正项等比数列的前项积为，若，则(    ) A. B. C. D. 11.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是 A. B. C. 是数列中的最大项 D. 三、填空题： 12.设等比数列的前项和为若、、成等差数列，则数列的公比为          ． 13.若一个等比数列的各项均为正数，且前项的和等于，前项的和等于，则这个数列的公比等于          ． 14.已知等比数列的前项和为，若，则          ． 15.已知各项都为正数的等比数列，若，则          ； 四、解答题： 16.已知数列满足，． 证明：为等比数列 求数列的前项和． 17.已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． 求的通项公式 若数列是公比为的等比数列，且，求的前项和． 18.设是等差数列，是等比数列，公比大于，其前项和为已知，，，． Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ设数列的前项和记，求； Ⅲ求． 高三数学等比数列专项训练答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题考查学生掌握等比数列的性质，属于基础题． 设出两数的等比中项为，根据等比中项的定义可知，的平方等于两数之积，得到一个关于的方程，求出方程的解即可得到两数的等比中项． 【解答】 解：设两数的等比中项为，根据题意可知：，即， 解得． 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列通项公式的应用，属于基础题． 由已知，，利用等比数列的通项公式可求，然后再代入等比数列通项公式即可求． 【解答】 解：，，设公比为， ， ， ， ． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：第一个正方形的边长为，面积，  取各边中点作第二个正方形时，原正方形各边中点连线形成的新正方形边长为原正方形边长的由勾股定理计算可得， 因此第二个正方形的面积， 同理，第三个正方形的面积， 以此类推，各正方形面积构成首项，公比的等比数列，  前个正方形的面积和为等比数列前项和，根据等比数列求和公式 ． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差、等比数列的综合应用，属于基础题． 利用等差数列的性质和等比数列的求和公式求出公比，由等比数列的通项公式即可求解． 【解答】 解：设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 则， 若，则，则，显然不可能 若，则，解得， 则． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：在等差数列中，． 在等比数列中， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查等差数列和等比数列性质的运用，以及运用裂项相消法求前项和．考查了转化与化归思想，方程思想，以及逻辑思维能力和数学运算能力． 本题先根据等差数列的求和公式写出，，关于的表达式，再根据等比中项的性质列出算式并解出的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法可计算出前项和的值． 【解答】 解：由题意，可知 ，，， ，，成等比数列， ，即， 解得， ， ， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查递推关系求通项，属于中档题． 利用递推关系，求出数列的通项，列方程即可求解． 【解答】 解：数列，满足，， 故常数， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 由于， 所以， 整理得：， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 所以， 整理得：， 由于， 所以， 解得． 故选B． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查数列的最值问题，等差，等比数列的综合应用，由基本不等式求最值问题，属于一般题． 通过简单的合情推理、等比数列、等差数列及重要不等式得：这个数的和为，得解． 【解答】 解：由数阵 中，每行的个数依次成等差数列，每列的个数依次成等比数列， 设，，的公比为，由题可知， 因为，所以，， 所以这个数的和为， 当且仅当时，即或舍去，等号成立． 即这个数和的最小值为， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：设正项等比数列公比为， 对于，由题意得 结合，解得或舍去，故A正确； 对于和，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确； 对于，，则，故D正确， 故选：． 10.【答案】  【解析】解：依题意知，，， 对于，因为，，所以，故A错误； 对于，因为，所以，， 所以，，所以，故B正确； 对于，，由对的分析可知， 所以的最小值为，即，无最大值，故C正确，D错误． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了等比数列的通项公式和性质，，属于中档题． 【解答】 解：因为等比数列中，，， 由，得． 所以，由知：． 由可知：或． 若，则，所以，于是，与矛盾． 因此所以，故A正确； 因为，所以，故B错误； 因为，，数列为递减正项数列，且，，所以是数列中的最大项，故C正确； 因为是等比数列，故 所以，故D正确． 12.【答案】或  【解析】【分析】 本题题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及前项和，考查运算求解能力，是基础题． 根据、、成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，化简得到关于与的关系式，由，两边同时除以，得到关于的方程，求解方程得答案． 【解答】 解：，，成等差数列， ，又数列为等比数列， ， 整理得：， 又，， 解得：或． 故答案为：或． 13.【答案】  【解析】解：法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为； 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：设等比数列的前项和为，公比为， 由，设，则， 因为否则，根据等比数列前项和的片段和性质：成等比数列，公比为， 对于，有成等比数列，公比为， 计算得，因此公比为， 进而，故， 因此． 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数值的求法，考查等比数列的性质、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 由各项都为正数的等比数列，，解得，再由，能求出结果． 【解答】 解：各项都为正数的等比数列，， ，解得， ． 故答案为． 16.【答案】解：证明：因为，， 所以， 则， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； 由可知，即， 则 ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：因为为等差数列，设公差为，由，得， 可得或， 由，，成等比数列，则， 得， 化简得，因为，所以． 所以 综上 由知，，又为公比是的等比数列， 所以，即， 所以，， 所以 ． 综上．  【解析】本题主要考查的是等差数列的通项公式，等差数列和等比数列的前项和公式，等比数列的性质，等比数列的通项公式，分组求和，属于中档题． 设公差为，根据等差数列的前项和公式与等比数列的性质列出关于和的方程，求解即可得的通项公式； 由等比数列的通项公式可求得，再得到的通项公式，利用分组求和求． 18.【答案】解：Ⅰ设数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，公比大于，其前项和为 已知，，，． 所以，解得， 由于，． 所以，， 解得， 故，． Ⅱ由Ⅰ知：， 所以，， 所以． Ⅲ由Ⅱ得：， 设， 所以， ， 得：， 整理得．  【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． Ⅰ直接利用等差和等比数列的性质求出数列的首项和公差及公比，进一步求出数列的通项公式； Ⅱ利用Ⅰ的结论求出数列的通项公式； Ⅲ利用Ⅱ的结论，进一步利用错位相减法在数列求和中的应用求出结果． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $