数列的概念与表示专项训练-2027届高三数学一轮复习

数列的概念与表示 一、知识点梳理 （一）数列的概念与通项公式 按照一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第 项（首项）、第 项、、第 项，记作 ，，，，。项数指项所在的位置序号，与项本身不是一回事：同一个数换一个位置就是另一个项。本讲用到的全部工具，都出自教材「数列的概念」一节。 如果数列 的第 项 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子表示，这个式子叫做这个数列的通项公式，记作 。如果相邻两项（或多项）之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做这个数列的递推公式，例如 。 由前几项归纳通项公式，抓四个特征：符号用 或 调节；分式分别找分子、分母各自的规律；把项拆成「变化的部分」与「不变的部分」；相邻两项的差为同一个常数时，第 项等于首项加上 个这个常数，相邻两项的比为同一个常数时，第 项等于首项乘以这个常数的 次方。 （二）数列的表示与函数观点 数列有三种表示方法：列表法，把 与 的对应关系列成表格；图象法，把点 画在平面直角坐标系中；公式法，写出通项公式或递推公式。图象是一列孤立的点，横坐标依次取 ，，，。 数列 是从正整数集 （或它的有限子集 ）到实数集的函数，自变量是序号 ，函数值是第 项 ，记作 。因此数列可以借函数的性质来研究，但要注意它的定义域是离散的序号。 按项数分为有穷数列与无穷数列；按相邻项的大小关系分为递增数列（）、递减数列（）、常数列（）与摆动数列。分类不同，后面判断单调性、求最值的方法也不同。 （三）数列的单调性、最值与周期性 判断单调性用「作差」：由 的符号确定数列是递增、递减还是常数列。各项同号时也可以「作商」，看 与 的大小关系。当通项能写成 时，还可以直接看对应函数的单调性。 求最大项： 是最大项等价于 且 （）；把两个不等号同时反向就得到最小项的判据。解出 的取值范围后要取正整数，再还原成第几项。 若存在正整数 ，使 对一切 成立，则 是周期数列，最小的 叫做它的周期。求法是先用递推式算出前几项、观察出周期，再用周期把所求的项（或和）折算到前面一个周期上。 （四）由 求 数列的前 项和 。由 求 用 （），而 必须单独求。三步走：先由 求首项，再用 写出 时的表达式，最后检验 能否并入。 给出含 的关系式时有两个转化方向：用 消去 ，得到 与 的递推式；或者把 换成 后消去 ，得到 与 的关系式。往哪个方向走，看所求的是 还是 。 最容易丢分的是「分段型」通项：当 的表达式代入 不成立时，答案必须分成 与 两段写，不能为了好看强行合并成一个式子。 下结论前自查三件事：用 时有没有限定 、有没有单独检验 ；由前几项归纳通项时符号因子与绝对值有没有分开处理；求最值或周期时有没有把算出的 还原成项数。 二、典型例题 例1　由图形的排布规律归纳通项 古希腊数学家毕达哥拉斯研究过一类「形数」：一定数量的点按等间距排列可以排成一个等边三角形，这样的数称为三角形数，如 ，，，，，（如图）；可以排成一个正方形的数称为正方形数，如 ，，，，。把三角形数按由小到大的顺序排成数列 ，则三角数列 中的第二个正方形数是 A． B． C． D． ①定出三角数列的通项　第 个三角形数把点排成 行，第 行有 个点，所以 。 ②写出正方形数的通项　第 个正方形数排成 行 列，所以它是 。 ③找公共项　把三角数列的项按顺序与平方数对比，从小到大找出公共项，取第二个。 注：形数问题的通项由图形的排布规律给出：把点排成几行、每行几个，抓住排布方式就能写出通项，再按题意求项。 【答案】B。 第 个三角形数的点排成 行，各行点数依次为 ，，，，所以 。 把 依次取 ，，，，得三角数列的前几项为，，，，，，，，，，。 正方形数为 ，，，，，，，，逐一对比，公共项依次为 ，，。 所以三角数列中的第二个正方形数是 ，选 B。 变式1　由点数的变化规律归纳通项 观察如图的方格图，每个图中阴影小方格的个数依次为，，，，，写出这个数列的一个通项公式。 ①看相邻项的差　相邻两项的差都是 ，说明每往后一项就多 。 ②数一数加了几次　从第 项到第 项一共加了 次 ，所以 。 ③化简　展开整理即得通项公式。 【答案】。 各项依次为 ，，，，，从第 项起每一项都比它的前一项大 。 从 到 一共加了 次 ，所以 。 整理得 ，这就是它的一个通项公式。 例2　由 与 的关系求通项 已知数列 中 ， 为 的前 项和，且 （），求 。 ①先求首项　令 ，由 得关于 的方程。 ②作差消去 　把条件中的 换成 再与原式相减，一次消掉 ，只留下 与 的关系。 ③把各式相乘再折算下标　由递推式与 写出 ，再把 化成 乘以一串比值。 注：关系式里同时出现 与 时，把下标增 再与原式相减，就能一次消掉 ，得到只含 的递推关系。 【答案】。 令 ，由 得 ，所以 。 由 得 ，两式相减得，即 。 当 时，，所以，即数列 （）是常数列。 由 得 ，所以 ，即 （）。 所以 。 变式2　由 与 的关系求通项：要分段写 已知 为数列 的前 项和，且 ，求 的通项公式。 ①先解出 　由对数式得 ，即把 用 表示出来。 ②求 的式　用 算出 时的 。 ③检验首项　把 代入第 步的结果，与 比较，不相等就要分段写。 【答案】 由 得 ，即 。 当 时，。 当 时，。 把 代入 得 ，与 不相等，所以两段不能合并。 所以 例3　把「数列递减」翻译成不等式恒成立 已知数列 的前 项和 满足 （）。若数列 是递减数列，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． ①先写出 　把条件两边乘 ，得到 关于 的表达式。 ②写出相邻两项的差　记 ，把 化成与 有关的式子。 ③把递减写成恒成立　递减要求 对一切正整数 成立，据此分离出 ，再求右端的最小值。 注：判断数列的单调性，先算出 的表达式，再把「递减」翻译成「关于 的不等式恒成立」，最后转化为求最值。 【答案】B。 由 得 。 记 ，则。 由 得。 因为 递减，所以 对一切 成立，即 。 随 增大而增大，当 时取最小值 ，所以 。 所以实数 的取值范围是 ，选 B。 变式3　由 判断递增：首项要单独比一次 已知数列 的前 项和 （），若 是递增数列，求实数 的取值范围。 ①先写通项　由 得 ，它在 上是否递增只看 的符号。 ②第二项起的要求　 时 ，所以 。 ③首项单独比　整体递增还要 ，由 、 列出不等式。 【答案】。 由 与 相减得 。 当 时，，要使这一段递增需 ，即 。 整体递增还要求 。由 ，，得 ，解得 。 因为 ，所以实数 的取值范围是。 例4　由相邻两项的差求通项，再比较相邻两项求最值 已知数列 满足 ，（），则 的最小值为 A． B． C． D． ①把相邻两项的差写出来　由条件得 ，把 ，，， 时的这些式子相加，即可求出 。 ②写出 　把 除以 ，整理成便于比较相邻项的形式。 ③比较相邻两项　算出 的符号，找出「先减后增」的转折点，再比较转折处两项的大小。 注：求 一类数列的最值，本质是比较相邻两项的大小，先降后升，最小值就在转折处附近。 【答案】C。 由 得 。 把 ，，， 时的这些式子相加得，即 。 所以 。 比较相邻两项：。 当 时 ，差为负， 递减；当 时 ，差为正，数列递增。所以最小值在 或 处取得。 ，；通分比较，，所以最小值为 ，选 C。 变式4　由 求通项，再比较相邻两项求最小项 已知数列 的前 项和 （），，求数列 的最小项。 ①先由 求通项　用 （）算出 ，再检验 能否并入。 ②写出 　把 代入，得到 的表达式。 ③比较相邻两项　算出 的符号，找出「先减后增」的转折点。 【答案】最小项为 。 当 时，；当 时 ，也满足 ，所以 。 所以 。 比较相邻两项：。 当 时该值为 ，当 时该值为 ，所以 的前两项递减；当 时 ，，该值为正，数列递增。 所以 先减后增，最小项在 处取得。 ，即最小项为 。 例5　由递推式发现周期 已知数列 满足 ，（），则该数列的前 项的乘积是 A． B． C． D． ①算前几项　依次算出 、、、，观察是否重复出现。 ②定出周期　，且中间没有更短的重复，所以周期为 。 ③按周期折算　先算出一个周期内四项的乘积，再把 折成若干个完整周期加余项。 注：递推式只给出相邻两项的关系，远处的项算不出来，先算前几项发现周期是通法；求乘积时先算一个周期的乘积。 【答案】C。 ； ； ； ，所以 ，该数列是周期为 的周期数列。 一个周期内四项的乘积为。 因为 ，所以前 项的乘积为，选 C。 变式5　由递推式发现周期：先算余数列 已知数列 的第 项和第 项均为 ，以后各项满足 （）。若数列 的各项除以 所得余数组成一个新数列 ，求 。 ①写出余数列　先按递推式算 的前几项，再逐项除以 取余数，得到 的前几项。 ②找出周期　观察 的余数是否循环出现，定出它的周期。 ③折算指标　把 与 按周期化到前面某两项上。 【答案】。 由 及 依次算出，，，，，，，，，，，，。 各项除以 的余数依次为，，，，，，，，，，，，，可见 是周期为 的周期数列。 因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 所以 。 三、巩固练习 1．若数列 满足 （），，求 。 【答案】。 由 得 （），两式相减得 ，说明奇、偶两列数各自「隔一项加 」：，，，，，。 由 得 ，所以 ，从而 。 把相邻两项配对：，，，，这 组的和为 。 所以 。 2．已知数列 满足 ，（），求 。 【答案】。 由 知各项均不为 ，两边除以 得 。 ，，，所以 是周期为 的周期数列。 因为 ，所以 。 3．九连环是我国流传久远的益智游戏，用 表示解下 个圆环（，）所需的最少移动次数。已知 ，且当 为奇数时 ，当 为偶数时 ，求解下 个圆环所需的最少移动次数 。 【答案】。 由递推式依次计算：，，，。 为奇数，所以 。 所以解下 个圆环所需的最少移动次数为 。 4．已知数列 的前 项和为 ，且 （），，求数列 的最小值。 【答案】最小值为 。 由 得 。 当 时，；当 时 ，也满足 ，所以 。 所以 ，。 当 时 ，；当 时 ，。所以最小值在 处取得。 ，即 的最小值为 。 5．已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则 取得最小值时 的值为 A． B． C． D． 【答案】C。 令 ，即 ，解得 或 。 所以 ，，，而 ，， 均为负， 起又为正。 因此 先增到 ，接着从 一路减到 ，之后重新递增。因为 ，而从 起每一项都比前一项小，所以 是所有 中最小的。 所以 取得最小值时 ，选 C。 所以 取得最小值时 ，选 C。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的概念与表示 一、知识点梳理 （一）数列的概念与通项公式 按照一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第 项（首项）、第 项、、第 项，记作 ，，，，。项数指项所在的位置序号，与项本身不是一回事：同一个数换一个位置就是另一个项。本讲用到的全部工具，都出自教材「数列的概念」一节。 如果数列 的第 项 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子表示，这个式子叫做这个数列的通项公式，记作 。如果相邻两项（或多项）之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做这个数列的递推公式，例如 。 由前几项归纳通项公式，抓四个特征：符号用 或 调节；分式分别找分子、分母各自的规律；把项拆成「变化的部分」与「不变的部分」；相邻两项的差为同一个常数时，第 项等于首项加上 个这个常数，相邻两项的比为同一个常数时，第 项等于首项乘以这个常数的 次方。 （二）数列的表示与函数观点 数列有三种表示方法：列表法，把 与 的对应关系列成表格；图象法，把点 画在平面直角坐标系中；公式法，写出通项公式或递推公式。图象是一列孤立的点，横坐标依次取 ，，，。 数列 是从正整数集 （或它的有限子集 ）到实数集的函数，自变量是序号 ，函数值是第 项 ，记作 。因此数列可以借函数的性质来研究，但要注意它的定义域是离散的序号。 按项数分为有穷数列与无穷数列；按相邻项的大小关系分为递增数列（）、递减数列（）、常数列（）与摆动数列。分类不同，后面判断单调性、求最值的方法也不同。 （三）数列的单调性、最值与周期性 判断单调性用「作差」：由 的符号确定数列是递增、递减还是常数列。各项同号时也可以「作商」，看 与 的大小关系。当通项能写成 时，还可以直接看对应函数的单调性。 求最大项： 是最大项等价于 且 （）；把两个不等号同时反向就得到最小项的判据。解出 的取值范围后要取正整数，再还原成第几项。 若存在正整数 ，使 对一切 成立，则 是周期数列，最小的 叫做它的周期。求法是先用递推式算出前几项、观察出周期，再用周期把所求的项（或和）折算到前面一个周期上。 （四）由 求 数列的前 项和 。由 求 用 （），而 必须单独求。三步走：先由 求首项，再用 写出 时的表达式，最后检验 能否并入。 给出含 的关系式时有两个转化方向：用 消去 ，得到 与 的递推式；或者把 换成 后消去 ，得到 与 的关系式。往哪个方向走，看所求的是 还是 。 最容易丢分的是「分段型」通项：当 的表达式代入 不成立时，答案必须分成 与 两段写，不能为了好看强行合并成一个式子。 下结论前自查三件事：用 时有没有限定 、有没有单独检验 ；由前几项归纳通项时符号因子与绝对值有没有分开处理；求最值或周期时有没有把算出的 还原成项数。 二、典型例题 例1　由图形的排布规律归纳通项 古希腊数学家毕达哥拉斯研究过一类「形数」：一定数量的点按等间距排列可以排成一个等边三角形，这样的数称为三角形数，如 ，，，，，（如图）；可以排成一个正方形的数称为正方形数，如 ，，，，。把三角形数按由小到大的顺序排成数列 ，则三角数列 中的第二个正方形数是（　　） A． B． C． D． 变式1　由点数的变化规律归纳通项 观察如图的方格图，每个图中阴影小方格的个数依次为，，，，，写出这个数列的一个通项公式。 例2　由 与 的关系求通项 已知数列 中 ， 为 的前 项和，且 （），求 。 变式2　由 与 的关系求通项：要分段写 已知 为数列 的前 项和，且 ，求 的通项公式。 例3　把「数列递减」翻译成不等式恒成立 已知数列 的前 项和 满足 （）。若数列 是递减数列，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式3　由 判断递增：首项要单独比一次 已知数列 的前 项和 （），若 是递增数列，求实数 的取值范围。 例4　由相邻两项的差求通项，再比较相邻两项求最值 已知数列 满足 ，（），则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式4　由 求通项，再比较相邻两项求最小项 已知数列 的前 项和 （），，求数列 的最小项。 例5　由递推式发现周期 已知数列 满足 ，（），则该数列的前 项的乘积是（　　） A． B． C． D． 变式5　由递推式发现周期：先算余数列 已知数列 的第 项和第 项均为 ，以后各项满足 （）。若数列 的各项除以 所得余数组成一个新数列 ，求 。 三、巩固练习 1．若数列 满足 （），，求 。 2．已知数列 满足 ，（），求 。 3．九连环是我国流传久远的益智游戏，用 表示解下 个圆环（，）所需的最少移动次数。已知 ，且当 为奇数时 ，当 为偶数时 ，求解下 个圆环所需的最少移动次数 。 4．已知数列 的前 项和为 ，且 （），，求数列 的最小值。 5．已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则 取得最小值时 的值为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $