专题6.2 数列的概念与简单表示法（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题6.2 数列的概念与简单表示法（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 数列的周期性】 1 【题型2 数列的单调性】 3 【题型3 累加法求通项公式】 4 【题型4 累乘法求通项公式】 6 【题型5 构造法求通项公式】 8 【题型6 由an与Sn的关系求通项公式】 10 【题型7 根据规律填写数列中的某项】 12 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 数列的周期性】 1．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，由递推关系可得是以8为一个周期的周期数列，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由，得且，所以，故， 所以是以8为一个周期的周期数列， 又，所以，所以. 故选：B. 2．（2026·湖南·模拟预测）在数列中，，且，则（   ） A．3 B．-2 C． D． 【答案】A 【解题思路】由递推关系求前几项的值，判断出数列是以4为周期的数列，利用周期性求出. 【解答过程】数列中，，且， 则，，，，，， 所以，即数列是以4为周期的数列， 所以 ， 故选：A． 3．（2026·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】D 【解题思路】根据递推关系可得数列是以3为周期的数列，即可求出. 【解答过程】因为，，，所以， 则，，，…， 所以数列是以3为周期的数列， 则. 故选：D. 4．（2026·安徽滁州·一模）已知数列的第1项和第2项均为1，以后各项由给出.若数列的各项除以3所得余数组成一个新数列，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】利用数列的递推式求得数列的项，进而求得各项除以3的余数组成的新数列是周期为8的数列，进而可求解. 【解答过程】因为，，所以数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，， 此数列各项除以3的余数依次构成的数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，，是以8为周期的周期数列， 所以 故选：A. 【题型2 数列的单调性】 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】根据等比数列的概念和充分条件、必要条件的概念进行判断即可. 【解答过程】若是递增数列，则或， 所以“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6．（2026·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【解题思路】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 7．（25-26高三·全国·三轮复习）已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】根据递增数列的定义列不等式组求解即得. 【解答过程】因为，且为递增数列， 所以，即，解得， 故答案为：. 8．（2026·全国·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最大项，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】先由题可得当时的最大项，再由二次函数对称性可得，最后由是中唯一的最大项可得答案. 【解答过程】当时，由， 因此当或3时，取得最大值； 当时，， 时，， 则该代数式对应函数对称轴为直线，因为是中唯一的最大项， 所以，且，解得. 故答案为：. 【题型3 累加法求通项公式】 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由得到，利用累加法求出，则. 【解答过程】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D. 10．（2026·河北唐山·二模）已知数列满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】由题意可得，由累加法可得，进而可求. 【解答过程】由题意可得， 则可得， ， ， 将以上等式左右两边分别相加得， ，即， 又，所以. 故选：D. 11．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，且，则（    ） A．182 B．173 C．164 D．155 【答案】D 【解题思路】根据题意，由累加法求出通项，进而求得答案. 【解答过程】因为，则， ， ，…，， 将这个式子相加，可得， 化简得，又， ，则. 故选：D. 12．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先由条件转化为，再利用裂项，累加法求通项. 【解答过程】[因为，则， 当时， ， 显然满足上式，即有，所以. 故选：B. 【题型4 累乘法求通项公式】 13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用累乘法可数列的通项公式. 【解答过程】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 14．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【解题思路】利用递推公式求出，然后利用累乘法求解即可. 【解答过程】当时，， 由， 由，得， 两式相减得，， 所以， 故选：B. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【解答过程】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 16．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【解答过程】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【题型5 构造法求通项公式】 17．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【解答过程】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B. 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知等式变形得出，结合题意得出，，可知数列为常数列，由此可求得数列的通项公式. 【解答过程】因为数列的各项为正数，且，， 故当时，， 由题意可知，对任意的，，则，所以，， 则有，所以，数列为常数列， 故，所以. 故选：A. 19．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据给定递推公式，变形并构造常数列求出通项公式. （2）由（1）求出及导数，再利用裂项相消法求出目标值. 【解答过程】（1）在数列中，由，得， 即， 则数列是常数列，而，因此，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，，函数， 求导得 则， 而， 所以 . 20．（2026·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）构造法判断为等差数列，并写出其通项公式，再应用关系求的通项公式； （2）应用裂项相消法求. 【解答过程】（1）由，，得，又， 数列是首项为，公差的等差数列， ，即， 当时，，且也满足， ，则数列的通项公式为； （2）由（1）得， . 【题型6 由an与Sn的关系求通项公式】 21．（2026·湖北黄冈·三模）已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 【答案】A 【解题思路】令，可得，再利用求解即可. 【解答过程】中，令， 即， 所以 ， 故选：A. 22．（2026·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可. 【解答过程】由题意，，则当时，有， 两式相减可得，即. 当时，，因为，所以， 所以. 故选：B. 23．（2026·湖南永州·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用的关系求的通项公式； （2）由题设写出的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求. 【解答过程】（1）当时，，得， 当时，，得，整理得， 所以从开始成公比为3的等比数列，则. 综上，； （2）由（1）得， 当时，， 当时，， 则， 两式相减，得， 所以也满足该式， 故. 24．（2026·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据求数列的通项公式. （2）利用分组求和法求和. 【解答过程】（1）当时， ， 当时，，， 两式相减得， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 故. （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 【题型7 根据规律填写数列中的某项】 25．（2026·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到数列的偶数项的通项公式为，即可求解. 【解答过程】由题意，大衍数列的偶数项为， 可得该数列的偶数项的通项公式为， 所以此数列的第30项为. 故选：C. 26．（2026·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 【答案】C 【解题思路】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数. 【解答过程】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为， 所以五边形数依次为，即第8个数为92. 故选：C. 27．（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（      ） A．8，7，6，5，4，3，2，1 B．1，2，3，4，5，6，7，8 C．2，4，6，8，1，3，5，7 D．1，3，5，7，2，4，6，8 【答案】A 【解题思路】根据给定操作，依次写出每次“洗牌”后的新数列即可. 【解答过程】数列经过一次“洗牌”变为， 再经过一次“洗牌”变为，第三次“洗牌”后变为， 所以所得新数列是. 故选：A. 28．（2026·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（    ） A．1012 B．1016 C．1912 D．1916 【答案】C 【解题思路】根据题意，给出数列的前几项，观察其规律，得到奇数项和偶数项的通项公式，代入即可求解. 【解答过程】观察此数列，偶数项为，可得此时满足， 奇数项为，可得， 所以，，则， 所以. 故选：C. 一、单选题 1．（2026·广西河池·三模）若数列的前项和，则（   ） A．21 B．23 C．16 D．2 【答案】C 【解题思路】利用进行计算. 【解答过程】因为， 所以， 故选：C. 2．（2026·广东·模拟预测）已知数列的前项和为，若，且，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【解题思路】由，且可列出关于的方程，解得，进而得，则数列的所有项可知. 【解答过程】依题意，，解得， 又，所以. 而，， 两式相减可得，，故. 故选：C. 3．（2026·四川乐山·三模）已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（   ） A．2 B．13 C．39 D．49 【答案】C 【解题思路】特值法可判断ABD；分为偶数和偶数，令，求出可判断C. 【解答过程】对于A，令，，故A错误； 对于B，令，，故B错误； 对于C，当为偶数，令，解得：， 当为奇数，令，解得：， 故39不是数列的项，故C正确； 对于D，令，，故D错误. 故选：C. 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据递推关系计算发现规律即可求出. 【解答过程】由题意得，，，， 故数列是以为一个循环的周期数列， 故. 故选：D. 5．（2026·四川成都·模拟预测）记为数列的前项和．已知，则满足的正整数的最大值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【解题思路】由数列的递推公式判断数列的周期，结合数列的周期性进行求解即可. 【解答过程】由， 所以数列的周期为，，， 故， ， ， ， ， ， 再往后计算减1后加再加，以此类推，这样都大于 所以满足的正整数的最大值为， 故选：C. 6．（2026·四川广安·模拟预测）已知数列满足，，则使得成立的最小自然数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】化简递推关系可得，证明数列为常数数列，由此求出，进而求解即可.. 【解答过程】由，则， 所以，则数列为常数列， 又，则，即，为递增数列， 因为，， 所以使得成立的最小自然数为8. 故选：D. 7．（2026·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【解题思路】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解. 【解答过程】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C. 8．（2026·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD. 【解答过程】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C. 二、填空题 9．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为____________. 【答案】 【解题思路】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可. 【解答过程】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 10．（2026·湖北鄂州·一模）设正整数数列满足，，则____________. 【答案】或 【解题思路】利用赋值法得出，结合题意求出的值，推导出数列为周期数列，结合数列的周期性可求得的值. 【解答过程】因为正整数数列满足①，，则， 则，所以，或， 由题意可得②，由①②可得， 所以，数列是周期为的周期数列， 因为，故或. 故答案为：或. 11．（2026·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】根据可得，再结合单调递增以及等比数列定义可求出，则由即可得解. 【解答过程】因为，所以， 又因为单调递增，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以即， 则的取值范围为， 故答案为：. 12．（2026·浙江杭州·模拟预测）某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则____________.    【答案】609 【解题思路】由题意知路线数满足斐波那契递推，从而计算得到结果. 【解答过程】由题意知，，，，，，…， （且）， 所以路线数满足斐波那契递推，则前14项分别为 则，，，，. 则. 故答案为：609. 一、单选题 1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解． 【解答过程】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B. 2．（2026·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解题思路】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 【解答过程】已知函数，数列满足. ①充分性： 若为递增数列，则对于所有，满足，即. 当时，成立，即 ：， ：， ：， ：需要满足，即， 当，，要使在时单调递增，则. 综上，若数列递增，则， 所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性. ②必要性： 若，则，由①知当时为递增数列， 所以“”能满足“数列递增”， 即“数列递增”是“”的必要条件. 所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2026·河南·模拟预测）已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，得到，通过累加得到，再通过分参得到，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【解答过程】因为， 所以， 即，所以当时， ， 所以，也满足， 所以，， 所以恒成立， 即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以实数t的取值范围是， 故选：A. 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．是递增数列 【答案】B 【解题思路】由题意，，两式相减求出数列的通项公式，再结合对数的运算性质判断ABD，设，记，利用导数可得在上恒成立，进而利用放缩判断C. 【解答过程】因为， 所以, 两式相减得，则， 则，所以，A说法错误； ，，而，故B说法正确； 设，记，则 故，即在上恒成立， 所以，故C错误； ， 所以，故不是递增数列，D说法错误； 故选：B. 二、解答题 5．（2026·山东烟台·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由条件式变形得，构造常数列求得，再利用时推导出，确定为等比数列，进而得到通项公式； （2）先由（1）求得，将裂项为，再通过裂项相消法求和，化简得到的表达式． 【解答过程】（1）由，得． 所以，即． 当时，，整理得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）由（1）得， 所以， 所以， ， 整理得． 6．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【解题思路】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为 ， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以 . 由 ， 所以 . 所以 . 7．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，若，求的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由与的关系仿写后作差，再由等差数列的性质可得； （2）将已知等式变形为，再移项证明为常数列可得； （3）由裂项相消法求和即可. 【解答过程】（1）由可得，， 以上两式相减可得，即， 因为，所以，即是公差为1的等差数列，从而， 由，所以是公差为1的等差数列，从而， 所以. （2）因为，所以， 即， 因为，所以为常数列，即. （3），所以， 所以. 8．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据递推关系结合单调性及整数的性质可求，，的值； （2）根据题设条件结合（1）的结果可得，从而可求的表达式； （3）先证明不等式，再结合（2）中结果可证题设中的不等式. 【解答过程】（1）因为，故即，故即， 所以即，而为递增数列， 故，而为正整数，故. 综上，. （2）因为，故，故， 故. 综上. （3）证明：因为，故，故， 下证：，. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，恒成立. 由所证不等式可得，其中， 故， 故 . 综上，. 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【解答过程】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 故选：C. 2．（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】通过验证充分性与必要性，即可得出结论. 【解答过程】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【解题思路】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【解答过程】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C. 二、填空题 4．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有____________对. 【答案】48 【解题思路】先确定，再结合，设，可得到，进而求出这四个数，从而求得答案. 【解答过程】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48. 三、解答题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【解答过程】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 数列的概念与简单表示法（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 数列的周期性】 1 【题型2 数列的单调性】 2 【题型3 累加法求通项公式】 2 【题型4 累乘法求通项公式】 3 【题型5 构造法求通项公式】 3 【题型6 由an与Sn的关系求通项公式】 4 【题型7 根据规律填写数列中的某项】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 数列的周期性】 1．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B． C．0 D． 2．（2026·湖南·模拟预测）在数列中，，且，则（   ） A．3 B．-2 C． D． 3．（2026·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 4．（2026·安徽滁州·一模）已知数列的第1项和第2项均为1，以后各项由给出.若数列的各项除以3所得余数组成一个新数列，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 数列的单调性】 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 7．（25-26高三·全国·三轮复习）已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为___________． 8．（2026·全国·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最大项，则实数的取值范围为___________. 【题型3 累加法求通项公式】 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北唐山·二模）已知数列满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，且，则（    ） A．182 B．173 C．164 D．155 12．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 累乘法求通项公式】 13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【题型5 构造法求通项公式】 17．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 19．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)给定正整数m，设函数，求． 20．（2026·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【题型6 由an与Sn的关系求通项公式】 21．（2026·湖北黄冈·三模）已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 22．（2026·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 23．（2026·湖南永州·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 24．（2026·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型7 根据规律填写数列中的某项】 25．（2026·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 26．（2026·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 27．（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（      ） A．8，7，6，5，4，3，2，1 B．1，2，3，4，5，6，7，8 C．2，4，6，8，1，3，5，7 D．1，3，5，7，2，4，6，8 28．（2026·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（    ） A．1012 B．1016 C．1912 D．1916 一、单选题 1．（2026·广西河池·三模）若数列的前项和，则（   ） A．21 B．23 C．16 D．2 2．（2026·广东·模拟预测）已知数列的前项和为，若，且，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 3．（2026·四川乐山·三模）已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（   ） A．2 B．13 C．39 D．49 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川成都·模拟预测）记为数列的前项和．已知，则满足的正整数的最大值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．（2026·四川广安·模拟预测）已知数列满足，，则使得成立的最小自然数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2026·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 8．（2026·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为____________. 10．（2026·湖北鄂州·一模）设正整数数列满足，，则____________. 11．（2026·四川雅安·模拟预测）已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为____________. 12．（2026·浙江杭州·模拟预测）某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则____________.    一、单选题 1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2026·河南·模拟预测）已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．是递增数列 二、解答题 5．（2026·山东烟台·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 6．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 7．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，若，求的前项和． 8．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 2．（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 二、填空题 4．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有____________对. 三、解答题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $