6.1 数列的概念与简单表示法专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列概念与表示法，以8大考点为框架，构建从基础观察到性质应用再到递推方法的递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-02|8题|观察归纳型，含符号、分数、周期规律|从具体项抽象通项，奠定概念基础| |考点03-05|8题|性质应用型，涉及周期判断、单调性分析及最值求解|由数列属性延伸至函数性质，强化推理能力| |考点06-08|16题|递推转化型，包含累加、累乘及aₙ与Sₙ关系|从递推关系构建通项公式，培养模型意识|

6.1 数列的概念与简单表示法 8大考点汇总 考点01 根据规律填写数列中的某项 考点02 由数列的前几项求数列的通项公式 考点03 数列的周期性 考点04 判断数列的单调性及其求参 考点05 利用单调性求数列的最值 考点06 数列的递推关系求通项公式（累加法） 考点07 数列的递推关系求通项公式（累乘法） 考点08 由an与Sn的关系求通项公式 题型专练 考点01 根据规律填写数列中的某项 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知，数列的项数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）数列的第9项为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知数列，，，，，，，则该数列的第16项是（   ） A．4 B． C．7 D． 考点02 由数列的前几项求数列的通项公式 5．（25-26高二下·全国·课后作业）根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. （1）-1，7，-13，19，…； （2）0.8，0.88，0.888，…； （3），…. 6．（25-26高三·全国·课后作业）写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）7，14，21，28. （2）. （3）. （4）. （5）34，334，3334，33334. （6）1，3，1，3. 7．（25-26高三·全国·课后作业）根据规律写出数列的通项 (1)； (2)； (3) (4)； (5) 8．（25-26高三·全国·课后作业）根据规律写出数列的通项 (1) (2) 考点03 数列的周期性 9．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·上海·期末）若数列中，，则________． 11．（25-26高二下·广东中山·期末）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B．2 C． D． 12．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 考点04 判断数列的单调性及其求参 13．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 14．（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知数列的通项公式为，则数列是严格_________数列．（填“增”或“减”） 考点05 利用单调性求数列的最值 17．（25-26高二下·江西上饶·期末）若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．（25-26高二下·陕西渭南·期中）（多选）设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列单调递减 C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为8 19．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 20．（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点06 数列的递推关系求通项公式（累加法） 21．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 22．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 考点07 数列的递推关系求通项公式（累乘法） 25．（25-26高三·全国·课后作业）已知数列满足，，求数列的通项公式. 26．（25-26高二下·江西九江·期末）已知数列满足，且对任意，有. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 27．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列中，，，写出数列的前5项，猜想并加以证明. 28．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 考点08 由an与Sn的关系求通项公式 29．（25-26高二下·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二下·广东广州·期末）（多选）已知数列的前项和公式为，则（    ） A． B． C． D．是等比数列 31．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 32．（25-26高二下·河南驻马店·期末）数列满足（）． (1)求的通项公式； (2)求的前项之积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 数列的概念与简单表示法 8大考点汇总 考点01 根据规律填写数列中的某项 考点02 由数列的前几项求数列的通项公式 考点03 数列的周期性 考点04 判断数列的单调性及其求参 考点05 利用单调性求数列的最值 考点06 数列的递推关系求通项公式（累加法） 考点07 数列的递推关系求通项公式（累乘法） 考点08 由an与Sn的关系求通项公式 题型专练 考点01 根据规律填写数列中的某项 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知，数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以可得数列的第项为， 由，解得. 所以该数列的项数为. 2．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）数列的第9项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列， 分子：，是等差数列，首项为，公差为，所以通项为； 分母：，通项为， 故数列的通项为， 所以第9项：. 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据数列各项的正负性、分母的特征写出数列的通项公式，再运用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 数列的通项公式，则有，， 故选：D. 4．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知数列，，，，，，，则该数列的第16项是（   ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合观察法求出数列的通项公式，进而求出指定项. 【详解】记该数列为， ， 则该数列的通项公式为，符合题意， 所以该数列的第16项是. 故选：C 考点02 由数列的前几项求数列的通项公式 5．（25-26高二下·全国·课后作业）根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. （1）-1，7，-13，19，…； （2）0.8，0.88，0.888，…； （3），…. 【答案】（1）an=(-1)n(6n-5)；（2）；（3）. 【解析】（1）数列中各项的符号可通过(-1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，即可得出结果；（2）数列可变为，即可得出结果；（3）各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的绝对值的分子分别比分母小3.即可得出结果. 【详解】（1）数列中各项的符号可通过(-1)n表示， 从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6， 故通项公式为an=(-1)n(6n-5). （2）数列可变为， 故. （3）各项的分母分别为21，22，23，24，…， 易看出第2，3，4项的绝对值的分子分别比分母小3. 原数列化为， 故. 【点睛】本题主要考查了根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，考查了学生对数据的观察归纳能力.属于较易题. 6．（25-26高三·全国·课后作业）写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）7，14，21，28. （2）. （3）. （4）. （5）34，334，3334，33334. （6）1，3，1，3. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）前4项可改写为即可发现规律写出通项公式； （2）前4项可改写为即可发现规律写出通项公式； （3）前4项可改写为即可发现规律写出通项公式； （4）前4项可改写为即可发现规律写出通项公式； （5）前4项可改写为即可发现规律写出通项公式； （6）前4项可改写为2-1，2+1，2-1，2+1，即可发现规律写出通项公式； 【详解】（1）前4项可改写为其通项公式为； （2）前4项可改写为其通项公式为； （3）前4项可改写为其通项公式为，即； （4）前4项可改写为 其通项公式为； （5）前4项可改写为 即 其通项公式为； （6）前4项可改写为2-1，2+1，2-1，2+1，其通项公式为； 【点睛】本题重点考查了数列的通项公式的确定方法、可以通过观察法确定其通项公式，属于中档题． 7．（25-26高三·全国·课后作业）根据规律写出数列的通项 (1)； (2)； (3) (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据数列前几项的规律，可归纳得出数列的通项公式. 【详解】（1）解：，，，，， 归纳猜想得. （2）解：，，，，。 归纳猜想得. （3）解：，，，， ，，， 归纳猜想得. （4）解：，，，，， 归纳猜想得. （5）解：，，，，， 归纳猜想得. 8．（25-26高三·全国·课后作业）根据规律写出数列的通项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据通项公式可写出的通项公式. （2）分析项的分母与分子的特征得到通项公式. 【详解】（1）由于，其通项公式为，所以的通项公式为. （2），所有项的分母为项数，奇数项分子均为，偶数项分子均为3，故其通项公式为 考点03 数列的周期性 9．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 10．（25-26高二上·上海·期末）若数列中，，则________． 【答案】 【分析】利用递推公式先求前几项，进而得周期，利用周期即可求解. 【详解】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 11．（25-26高二下·广东中山·期末）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 故是周期为3的周期数列，且， 所以. 12．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断数列的周期性，结合周期性求解即可. 【详解】，， ，， 则数列是周期为4的数列， 所以. 考点04 判断数列的单调性及其求参 13．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】分别依据分段函数在上单调递增、正整数集上离散数列单调递增的约束条件，列不等式组求解的取值范围。 【详解】(1)若为上的递增函数，则，化简得， 解得，即的取值范围为. (2)若数列（）为递增数列，则，化简得， 解得，即的取值范围为. 14．（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 由题知恒成立，当时，即，得. 讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大. 已知为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需，即. 综上，实数k的取值范围是. 15．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，举例说明，即可得出答案. 【详解】令，显然，所以数列是递增数列，但； 令，显然成立. 又，，所以，， 所以数列不是递增数列. 所以，数列是递增数列是的既不充分也不必要条件. 16．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知数列的通项公式为，则数列是严格_________数列．（填“增”或“减”） 【答案】 增 【分析】利用作差法比较相邻两项与的大小，根据差的正负判断数列单调性. 【详解】对任意，计算相邻两项的差： ， 由且，可得，因此， 所以， 即对所有满足条件的恒成立， 因此数列是严格增数列. 考点05 利用单调性求数列的最值 17．（25-26高二下·江西上饶·期末）若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】设数列的通项为 ，，求数列最大项可通过作商法比较相邻项的大小. 相邻项的比值为， 令 ，整理不等式得， 解二次不等式得正根约为，则. 当 时，，数列递增；当 时，，数列递减， 从而，因此最大项为第项，即 . 18．（25-26高二下·陕西渭南·期中）（多选）设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列单调递减 C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为8 【答案】ACD 【分析】根据已知条件及累加法求出数列的通项公式，利用与的关系求出数列的通项公式，再结合已知条件逐项判断即可求解. 【详解】由，得， 利用累加法得， 解得， 当时，满足上式，所以 当时， 所以，故A正确； 当时，单调递增， 又 所以数列单调递增，且， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 所以当时，取得最小值，故B错误，C正确； 又， 且，时，单调递减，当时，单调递增， 时，取得最小值， 因此是第一个使得的正整数，故D正确. 19．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 【答案】 【详解】因为， 所以可知当时，数列是递增数列且； 当时，数列也是递增数列且． 当时，数列取到最大值，最大值为； 当时，数列取到最小值，最小值为． 20．（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，结合为最大项得到关于的不等式组并结合确定的值. 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 考点06 数列的递推关系求通项公式（累加法） 21．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 22．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，，， 令，得， 又可得， 所以 ， 当时也符合上式，所以，则， 所以. 23．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原等式变形化简，利用累加法求出，进而求得结果. 【详解】因为，则， 当时， ， 显然满足上式，即有，所以． 24．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 【答案】 【分析】先由通过累加法求通项得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】由题意可知，满足，， 当时，， ，以上各式累加得， ， 当时，，也满足上式，，则. ∴数列的前项和为， . 考点07 数列的递推关系求通项公式（累乘法） 25．（25-26高三·全国·课后作业）已知数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】由，得， 所以， 将以上各式相乘，可得， 因为，所以， 又因为满足上式，所以数列的通项公式为． 26．（25-26高二下·江西九江·期末）已知数列满足，且对任意，有. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据累乘法得到时，，结合时，符合上式，得到答案； （2）裂项相消法求和即可 【详解】（1）由，得， 所以时，. 当时，，符合上式.， 所以的通项公式为. （2）由（1）得. 所以. 27．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列中，，，写出数列的前5项，猜想并加以证明. 【答案】，，，，，，证明见解析 【分析】直接根据递推公式求前5项，再利用累乘法证明. 【详解】根据，， ，，， ，. 猜想：， 证明如下：当时，，显然，则， 则， 累乘得，所以，对也适合，则. 28．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 考点08 由an与Sn的关系求通项公式 29．（25-26高二下·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系作差结合分类讨论计算通项公式，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】因为，当时，； 当时，；， 所以，即，；当时，不满足； 所以，则时，的前项和为. 所以. 30．（25-26高二下·广东广州·期末）（多选）已知数列的前项和公式为，则（    ） A． B． C． D．是等比数列 【答案】BCD 【分析】先根据数列前项和公式求出的通项公式，再结合通项公式逐一判断各选项的正误 【详解】对于A项，当时，；故A错误； 对于B项，当时，， 时也满足该式，故. 则，；，，，故，故B正确； 对于C项：，故，故C正确； 对于D项，令，则（常数），且首项，故是公比为的等比数列，故D正确. 31．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知数列的前项和为，且，令数列 的前项和为，______． 【答案】 【分析】借助与关系计算可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【详解】由题意，当时，， 而满足上式，因此， 则， 则， 所以． 32．（25-26高二下·河南驻马店·期末）数列满足（）． (1)求的通项公式； (2)求的前项之积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系求解. （2）利用等差数列的前项和的公式求解. 【详解】（1） 当时， ， 当时， 由条件①， ②， 由①减去②则时，， 又因当时，符合， 因此可得的通项公式. （2）因 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $