精品解析：陕西西安市中铁中学2026-2027学年高二上学期大练习数学试卷

西安市中铁中学 2026—2027学年度第一学期大练习试题 年级：高二年级 学科：数学 时长：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 4. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 5. 已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 6. 圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 7. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 8. 对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】配方转化为平面上点到两定点距离之和，用对称点求最小值，的最大值就是这个最小值. 【详解】对两个根号内的二次式分别配方， ，， 原式表示轴上动点到点、的距离之和， 作关于轴的对称点，由对称性可知， 因此，当且仅当、、三点共线时取等号， ，因此的最小值为5， 若不等式对任意实数恒成立，则，即的最大值为5. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线．下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率为2 B. 直线l在y轴上的截距为 C. 向量是直线l的一个方向向量 D. 直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形，面积等于4 【答案】ACD 【解析】 【详解】直线化为，斜率为2，A正确； 令，，直线在轴上的截距为4，B错误； 直线的斜率为2，且，所以向量是直线l的一个方向向量，C正确； 令，，则直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形的面积为，D正确. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线与直线的距离为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据两平行直线间的距离公式即可判断B；求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数可判断C；利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值，可判断D． 【详解】对于A，当斜率为时,倾斜角为，当斜率为时,倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线化为， 则这两平行直线间的距离为，故B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 11. 已知实数满足方程，则下列错误的有（ ） A. 的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：共3个小题，每题5分，共15分. 12. 经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是________. 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为和截距不为两种情况，分别设出直线方程代入点的坐标即可求解. 【详解】当截距为时，设所求直线为， 因为直线过点，所以， 所以，所以所求直线方程为， 当截距不为时，设所求直线方程为， 因为直线过点，所以， 所以所求直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求点关于直线的对称点，由反射定律知反射光线所在直线就是直线，再由两点式写出方程并整理. 【详解】设点关于直线的对称点为. 因为的斜率为，由 得，即①； 又的中点在上，即②. 联立①②解得、，即. 由反射定律知，反射光线所在直线即为直线，其斜率. 所以反射光线所在直线方程为，即. 14. 已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，将问题转化为求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，利用直线与圆的位置关系及点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明和演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求点到直线的距离； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【小问1详解】 ，，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； 【小问2详解】 设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线的方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线方程，与联立，可求圆心坐标，再利用求圆的半径，即可得圆的标准方程. （2）（i）利用圆心到直线的距离等于圆的半径列式可求的值； （ii）先判断，利用四边形面积的求法确定四边形面积最大时，直线的位置，可求的值. 【小问1详解】 线段的垂直平分线方程为： ，即. 由，即圆心. 又, 所以圆的标准方程为：. 【小问2详解】 （i）直线：. 因为直线与圆相切，所以：. 所以或. （ii）如图： 因为，直线的斜率为3，由，所以直线与线段所在的直线垂直. 所以四边形的面积为：，其中为定值. 所以当最大时，四边形的面积最大. 即当直线：经过圆心时，四边形的面积最大. 由. 17. 已知直线． （1）当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; （2）求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; （3）若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 【答案】（1）; （2）; （3）4,. 【解析】 【分析】第一问将方程进行变形,使参数所乘的部分为零,即可求解;第二问当线段时,距离最大,根据斜率乘积为即可求得;第三问分别求出、两点坐标，转化为的直角边长,再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题, 因为当变化时,直线过定点,则有, 解得，即定点 【小问2详解】 由题知当线段时,距离最大,此时最大距离为,又可得, 则,解得,则直线 【小问3详解】 由题可知,则,则, 所以 ,当且仅当时,等号成立,此时,最小值为4, 此时的直线. 18. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由得， ∴ 圆的圆心坐标为； （2）设，当x=3时，符合题意； 当x不等于3时， ∵ 点为弦中点即， ∴即， ∴ 线段的中点的轨迹的方程为； （3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点， 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 19. 平面直角坐标系xOy中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为1的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程： （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线，的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】（1） （2）和. （3） 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【小问1详解】 过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为3， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率为， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. 【小问3详解】 由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市中铁中学 2026—2027学年度第一学期大练习试题 年级：高二年级 学科：数学 时长：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6. 圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 7. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A. 3 B. C. 5 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线．下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的斜率为2 B. 直线l在y轴上的截距为 C. 向量是直线l的一个方向向量 D. 直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形，面积等于4 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线与直线的距离为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 11. 已知实数满足方程，则下列错误的有（ ） A. 的最小值为 B. 的范围是 C. 的最小值为 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：共3个小题，每题5分，共15分. 12. 经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是________. 13. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为_______． 14. 已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明和演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求点到直线的距离； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线的方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值． 17. 已知直线． （1）当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; （2）求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; （3）若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 18. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 19. 平面直角坐标系xOy中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为1的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程： （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线，的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $