精品解析：陕西西安市西电中学2025-2026学年高二第一学期第二次月考数学试题

西电中学 2025~2026 学年高二年级数学第一学期第二次月考试题 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 直线被两坐标轴截得的线段长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线与两坐标轴的交点坐标，结合两点坐标求距离公式计算即可. 【详解】∵直线与两坐标轴的交点为，， ∴直线被两坐标轴截得的线段长是：． 故选：B． 3. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 7 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用，，表示出即可. 【详解】由 . 故选：C 5. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用空间向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数关系即得解. 【详解】记，， 则直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为 故选：D. 6. 如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，且，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，且， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，即 当时，；当或时，， 所以. 故选：D. 7. 已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，首先证明，结合题意算得解得，即可得三角形为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，，，即是的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解. 【详解】 我们首先来证明一个引理：若，则， 证明如下：设，则由余弦定理有 ，即， 所以， 所以，从而引理得证； 根据题意可得， ，解得， 因为，所以，解得， 由，，可得三角形为等边三角形， 所以，所以， 所以，所以是的中点， 所以，所以，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出三角形为等边三角形，进一步得出的齐次式关系即可求解. 8. 在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将三棱锥放置在正方体中，并建立空间直角坐标系，利用转化向量的方法求数量积，再代入坐标运算，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点， ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三棱锥与外接球组合体的几何关系，以正方体为桥梁，建立空间直角坐标系，转化为数量积问题. 二、多选题 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 两条异面直线所成的角与这两直线的方向向量所成的角相等 B. 直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角 C. 二面角的大小一定等于该二面角两个面的法向量的夹角 D. 若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120° 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量夹角与空间角的关系即可判断各选项. 【详解】对于A，两条异面直线所成的角与这两直线的方向向量所成的角相等或互补，A错； 对于B，直线的方向向量与该平面法向量夹角与直线与平面所成的角相加或相减等于，B错； 对于C，二面角的大小等于该二面角两个面的法向量的夹角或补角，C错； 对于D，若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°，D对. 故选：ABC 10. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ） A. 以线段为直径的圆与直线相离 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. 当时， D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离： 对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误. 对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得， ，所，. 故选:ACD. 【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题. 11. 在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（ ） A. 若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为 B. 若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为 C. 的最小值为 D. 若为的中点，则的离心率的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据题意建立的方程组求解；对B，由，可得，利用基本不等式求出得解；对C，由结合得解；对D，根据题意，结合C选项可得，化简结合离心率公式求解. 【详解】对于A，若点在上，则有，又因为，联立解 得，故A正确； 对于B，由 ， 当且仅当等号成立，所以的蒙日圆的面积，故B错误； 对于C，由，当且仅当为双曲线的左，右顶点时取到等号，故C正确； 对于D，若为线段的中点，此时，由C选项的结论可得，， 解得，又，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是结合C选项得到，进而得到的不等关系得解. 三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分） 12. 直线与直线平行，则实数______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 13. 经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角， 直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值． 【详解】设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 在三角形中，， 由余弦定理可得，， 即有，可得，即为， 由双曲线为等轴双曲线，所以，可得. 故答案为：． 四、解答题（共 5 小题，共 77 分.） 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程组，求得交点坐标为，设所求直线方程为，代入求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线方程为，分别令和，求得再坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由直线， 联立方程组，解得，即直线与的交点坐标为， 因为所求直线垂直于直线，可得设所求直线方程为， 将点代入方程，可得， 所以所求直线方程为. 【小问2详解】 解：直线的斜率显然存在且不为0，设直线方程为， 令，可得；令，可得， 令，即，解得或， 得所求直线方程为或. 16. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设圆心且圆为，结合所过的点并应用待定系数法求参数，即可得； （2）首先确定直线所过的定点，再判断点圆位置，结合圆的性质和弦长最短确定所求直线与的位置关系，即可得. 【小问1详解】 由题意，设圆心，则圆为（为半径）， 则且，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 已知直线过定点，圆心为， 又，即在圆内， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 而，所以，即. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 18. 若抛物线：()上的点与点(4，1)关于直线对称，是抛物线的焦点. （1）求的值； （2）若点是抛物线上使得取得最小值的点，，是抛物线上不同于点的两点，且有，求证：直线恒过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先根据点与点(4，1)关于直线对称，求出点坐标，再将点坐标代入曲线方程，求得的值. （2）先根据抛物线方程为及点Q坐标判断点在抛物线内部，数形结合得到取得最小值时，设直线的方程为，联立韦达定理得到，， 代入，化简整理得到关于的等量关系式，进而得到直线恒过定点. 【详解】解：（1）设，则线段的中点为. 依题意可得即 解得，所以. 由为抛物线上一点，得，. （2）由（1）得抛物线方程为， 将代入，得. 因为，所以点在抛物线内部. 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接，则， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值， 当时，，此时. 设直线的方程为， 联立方程，得消去得， ， 设，， 则，. 因为，所以. 又， ， 所以， 即，. 则，即， 代入线方程，得. 所以直线恒过定点. 【点睛】求解由向量形式给出的圆锥曲线的几何关系问题，常用坐标法处理，可以由向量关系得到点的坐标关系，将几何问题中的垂直､平行等问题转化成代数运算，也可利用向量的坐标运算将由向量形式给出的条件转化为坐标的等量关系进行求解，如本题需要将转化为，再根据点的坐标进一步转化为进行求解. 19. 如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. （1）求点的坐标，及双曲线的离心率； （2）若线段AB的中点为，求直线的方程； （3）若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）过定点，定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，，即可求得左顶点坐标以及离心率； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解； （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【小问1详解】 由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： 【小问2详解】 由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. 【小问3详解】 由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西电中学 2025~2026 学年高二年级数学第一学期第二次月考试题 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 直线被两坐标轴截得的线段长为( ) A. B. C. D. 3. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 7 B. C. 9 D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 两条异面直线所成的角与这两直线的方向向量所成的角相等 B. 直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角 C. 二面角的大小一定等于该二面角两个面的法向量的夹角 D. 若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120° 10. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ） A. 以线段为直径的圆与直线相离 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. 当时， D. 的最小值为4 11. 在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（ ） A. 若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为 B. 若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为 C. 的最小值为 D. 若为的中点，则的离心率的最大值为 三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分） 12. 直线与直线平行，则实数______． 13. 经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______． 四、解答题（共 5 小题，共 77 分.） 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 16. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 18. 若抛物线：()上的点与点(4，1)关于直线对称，是抛物线的焦点. （1）求的值； （2）若点是抛物线上使得取得最小值的点，，是抛物线上不同于点的两点，且有，求证：直线恒过定点. 19. 如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. （1）求点的坐标，及双曲线的离心率； （2）若线段AB的中点为，求直线的方程； （3）若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $