精品解析：福建省福州市仓山区福州高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

福州高级中学2026-2027学年高三10月适应性考试 数学学科试卷 命卷教师：汤钧 审卷教师：欧敏秀 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，，若，，则（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 6. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 10. 狄利克雷（Dirichlet）是非常重视概念的数学家，提倡以概念代替直觉，他举出了著名的例子：函数，对于该函数，下列说法正确的是（ ） A. 的值域是 B. 是偶函数 C. 不是增函数 D. ， 11. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯.现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 设，则数列的前7项和 C. 从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D. 从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有10种 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，常数项为___________． 13. 过点作圆的切线，则的方程为________. 14. 已知圆柱的体积为，，是底面圆的圆周上两点，且，点满足，则点到平面距离的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高三年级为了解学生是否喜欢数学课与性别的关系，在高三年级中随机抽取了100名学生进行调查．所有被调查学生需从“喜欢”和“不喜欢”中选择一项，调查数据如下表所示． 喜欢 不喜欢 合计 男生 20 30 50 女生 36 14 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生是否喜欢数学课与性别是否有关； （2）从上述接受调查的男生中，按照是否喜欢数学课进行分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，设抽取的2人中喜欢数学课的人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知的内角、、所对的边、、成等差数列，且. （1）求角的大小； （2）若，求的周长. 17. 设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． （1）证明：点在以为直径的圆上； （2）若，求的面积． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，，，且与平面所成角为30°. （ⅰ）当时，求三棱锥的体积； （ⅱ）当取最大值时，求二面角的余弦值. 19. 对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． （1）若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； （2）设，，，求证：是的“从属函数”； （3）设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2026-2027学年高三10月适应性考试 数学学科试卷 命卷教师：汤钧 审卷教师：欧敏秀 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得. 又， 因此. 2. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】，共轭复数为. 故选：B 3. 已知向量，，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以， 所以. 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点， 则有，， 所以. 5. 已知随机变量，，若，，则（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二项分布的方差公式求解，再结合正态分布的对称性计算所求概率. 【详解】对于二项分布，方差公式为，其中，代入得，，解得：. 对于正态分布，分布曲线关于均值对称，故, 由对称性得，， 所以. 6. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆台有内切球， 母线长， 求圆台的高， 圆台的体积公式， 代入，，， 即. 7. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义和已知比例关系求得，借助余弦定理建立等量关系，求得的关系，从而求得离心率. 【详解】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式范围计算化简比较大小，构造函数应用导函数得出函数单调性得出大小. 【详解】设，则，所以， 所以，所以，所以，所以； 设，又因为， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， ，， 所以，所以， 即，所以，即； 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由最小正周期公式可得函数的最小正周期为，正确； 对于B，曲线向左平移个单位长度得到，与原函数不相同，故错误； 对于C，，正确； 对于D，当时，则，由正弦函数图象可得，，故正确. 10. 狄利克雷（Dirichlet）是非常重视概念的数学家，提倡以概念代替直觉，他举出了著名的例子：函数，对于该函数，下列说法正确的是（ ） A. 的值域是 B. 是偶函数 C. 不是增函数 D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】A，直接得的值域是；B，利用偶函数定义判断；C，取反例进行判断；D，利用周期性定义判断. 【详解】对于A选项，的值域是，A错误. 对于B选项，若是有理数，则也是有理数，， 若是无理数，则也是无理数，， 所以，即是偶函数，B正确. 对于C选项，取，，则， 但是，，即，不满足增函数定义，C正确； 对于D选项，当，时，则，即， 当，时，则，， 所以对任意有理数，都有，D正确. 11. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯.现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 设，则数列的前7项和 C. 从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D. 从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有10种 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列的性质结合求和公式计算判定前三项，根据计数原理判定D即可 【详解】由题意得，是等比数列，公比，项数，，解得，故A正确； ，是等差数列，，，， 即，故B正确；是等比递增数列，公比， 假设存在三项，，（）成等差数列， 则，，化简：，右边是奇数加偶数， 结果为奇数；左边是2的整数次幂，大于1必为偶数，矛盾，故C错误；求两层灯数乘积的组合， 数列：，各项：3，6，12，24，48，96，192， 若两项中有一个为192：，， ，，， ，有5种；两项中有一个为96：， ，，，有3种； 两项中有一个为48：，有1种；合计9种，故D错误. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，常数项为___________． 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式定理写出展开式通项，进而求常数项. 【详解】二项式的展开式的通项公式为 且， 要使该项为常数项，即，解得， 常数项为， 所以，展开式中的常数项为. 13. 过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【解析】 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时，直线与圆心距距离，为圆的切线； 当斜率存在时，设切线方程，即. ，整理得. 切线方程得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 14. 已知圆柱的体积为，，是底面圆的圆周上两点，且，点满足，则点到平面距离的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接建立空间直角坐标系，用向量的方法求点到面的距离可得，再构造函数，用导数求函数的最大值可得. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，由圆柱体积公式得：，得. 以底面圆心为原点，分别以方向为轴，圆柱高的方向为轴建立空间直角坐标系，如图. 则，上底面圆心. 由，得点坐标为. 所以，设平面的法向量为， 则，，，取，则， 所以. 所以到平面的距离为，， 则， 又因为，得，所以， 令，， 因为，令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，，即，. 因此点到平面距离的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高三年级为了解学生是否喜欢数学课与性别的关系，在高三年级中随机抽取了100名学生进行调查．所有被调查学生需从“喜欢”和“不喜欢”中选择一项，调查数据如下表所示． 喜欢 不喜欢 合计 男生 20 30 50 女生 36 14 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生是否喜欢数学课与性别是否有关； （2）从上述接受调查的男生中，按照是否喜欢数学课进行分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，设抽取的2人中喜欢数学课的人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）学生是否喜欢数学课与性别有关 （2）的分布列为： 0 1 2 的数学期望为． 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验，利用卡方的计算公式求出卡方，比较判断即可； （2）通过判断随机变量服从超几何分布，利用超几何分布公式计算概率与数学期望即可． 【小问1详解】 设零假设：学生是否喜欢数学课与性别无关． ， 因为，所以依据小概率值的独立性检验，有充分证据认为学生是否喜欢数学课与性别有关． 【小问2详解】 容易知道抽取的5人中，喜欢数学的男生有2人，不喜欢数学的男生有3人， 从这5人中随机抽取2人，设为其中喜欢数学的人数，则服从超几何分布， 所以，， 于是有，，， 所以的分布列为： 0 1 2 的数学期望为． 16. 已知的内角、、所对的边、、成等差数列，且. （1）求角的大小； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）先利用等差数列性质、正弦定理得到三边的比例关系，再由余弦定理求角； （2）根据向量数量积运算得到，再结合三边比例求出各边长，进而得到三角形周长. 【小问1详解】 因为边、、成等差数列，所以. 由，根据正弦定理得， （为外接圆半径）， 联立，解得，，即. 设，，，， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 由，则，即， 由（1）知，，故，即，则，， 所以的周长为. 17. 设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． （1）证明：点在以为直径的圆上； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：设直线的方程为，， 联立，即，则，，， 因为，则，又， 所以，所以，即， 所以点在以为直径的圆上； （2） 【解析】 【分析】（1）设直线方程及，两点坐标，联立方程组，列出韦达定理，要证点在以为直径的圆上，即证即可； （2）先根据已知条件可求出，再通过弦长公式及点到直线的距离公式，将面积表示成关于的式子，从而求出面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可得，，则， 所以，又， 所以， 由（1）知，，所以，解得， 由弦长公式可得， 又点到直线：的距离， 所以. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，，，且与平面所成角为30°. （ⅰ）当时，求三棱锥的体积； （ⅱ）当取最大值时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）已知平面，且平面，因此， 又，，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的定义先得到，结合可得平面，进而根据面面垂直的判定定理求证即可； （2）（ⅰ）找出与平面所成角，通过其正弦值求出，再利用锥体体积公式求解即可； （ⅱ）建立空间直角坐标系，表示与平面所成角，通过条件求出与的关系，利用基本不等式求的最大值后再利用公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）取的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 因为平面，所以， 由，，为等腰直角三角形，因此， 又因为，平面，，所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为30°，所以. 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以， 所以三棱锥体积为. （ⅱ）过点作平面，垂足为，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 故，，. 设平面的法向量， 故，即，令，则，，所以. 由直线与平面的夹角为30°， 得， 整理得，则， 进而有， 由基本不等式得，， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的最大值为， 此时，，，， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，，所以. 平面的一个法向量. 设二面角为， 则， 由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为. 19. 对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． （1）若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； （2）设，，，求证：是的“从属函数”； （3）设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 【答案】（1）因为是偶函数，对于任意，都有， 因为是的“从属函数”，对于任意且，都有， 令，（其中），代入上式得， 因为，所以，而，故必有， 即对任意非零成立，当时，等式显然成立， 所以也是偶函数. （2）对于任意且， ，， 因为，所以，同理， 因此，所以， 故，即成立， 所以是的“从属函数”。 （3）因为是的“从属函数”， 对于任意且，都有， 已知是的两个零点，即，， 所以，故，即， 化简得，即， 令（且），则， 不妨设，令，则，且， 所以，即，解得， 要证明，需证，即， 因为，所以，得，即， 令，求导， 设，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，则，在上单调递减，而， 所以时，恒成立，即成立，故， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义及偶函数的性质得，即可证； （2）由题设，对于任意且，，，利用不等式性质及函数新定义即可证； （3）根据已知，对于任意且，有，从而有，令（且），，转化为证明时恒成立即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问注意将问题转化为证明不等式恒成立，结合函数新定义及导数分析证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $