第三章 图形的相似单元测试2026-2027学年九年级上册数学北师大版

**基本信息** 北师大版2024九年级上第三章“图形的相似”单元卷，通过选择（12）、填空（5）、解答（5）题，覆盖相似三角形、位似等核心知识，注重推理能力与空间观念培养，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|中位线性质（1）、比例中项（2）、位似性质（3、7）|结合图形直观，基础概念辨析| |填空题|5题|平行线分线段（13）、矩形中相似（15）|聚焦计算应用，强化几何直观| |解答题|5题|相似证明（18、19）、坐标系综合（22）|层次递进，考查推理能力与模型意识|

北师大版（2024）九年级上 第三章 图形的相似 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，DE是△ABC的中位线，则下列结论不正确的是（　　） A．DE∥BC B．BC=2DE C． D． 2．若，且b是a、c的比例中项，那么等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为它们的位似中心，且四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长之比为2：3，则OA：OA′为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25 4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD=3DB、DE∥BC，若△ADE的面积为9，则△ABC的面积为（　　） A．8 B．16 C．27 D． 5．如图，AB∥CD∥EF，若AD=3，AF=8，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图为某建筑结构施工图，其中线段a,b,c,d,e为一组平行线，每相邻两条平行线之间的距离如图所示，线段AC分别交线段a,b,c于点A，B，C，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE=1：2，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 8．如图，△ABC，△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为（0，2），（0，3）．若BC的长为2，则EF的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E是AD边上的动点，若CE⊥BD，则AE的长是（　　） A． B．2 C． D． 10．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接AC、BE交于点F，连接CE．若△AEF面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．48 B．24 C．12 D．8 11．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，G是BD上的点，F是AB延长线上的点，BE与CF交于点O，下列结论错误的是（　　） A．△CDG≌△CBE B．∠BCG=∠BFG C． D．△DCG∽△CEO 12．如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交CD于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接CH，则以下四个结论中：①；②∠CHF=45°；③；④HF2=HE•HB；⑤．正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共5小题） 13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.6，则AC=______． 14．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=12，AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△CDE的周长是______． 15．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，EM，EN．若AB=6，BC=8，则△EMN的周长为______． 16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且BE：EO=2：3，AE=4cm,那么AD=______cm. 17．如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD对折，得到△ECD，连接AE，BE，DE，AE与CD交于点F，连接BF． （1）∠AEB=______°； （2）若CE∥BF，已知BE=2，AB=6，则四边形ABEC的面积为______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB=AD•AC，连接DE，BD． （1）求证：△ADE∽△ABC． （2）若点E为AB中点，AD：AE=6：5，若AB=20，求CD的长． 19．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，DE∥BC，△ABC的角平分线AF交DE于点G． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若，求FG的长． 20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）连接BF，交AC于点G，若CE2=CG•CA，求证：△BCG∽△ACE． 21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点F，G是AB的中点，CG交BD于点E，连接AE，AG2=GE•GC．求证： （1）∠GAE=∠GCA； （2）AD2=DF•DE． 22．在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，-8），连接AB． （1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC； （2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB； （3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB，OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由． 北师大版（2024）九年级上 第三章 图形的相似 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、D 2、A 3、A 4、B 5、C 6、C 7、C 8、B 9、C 10、B 11、C 12、A  二．填空题（共5小题） 13、4； 14、20； 15、12； 16、； 17、90；；  三．解答题（共5小题） 18、（1）证明：∵AE•AB=AD•AC， ∴， 又∵∠DAE=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC； （2）解：∵点E为AB中点， ∴AE=AB=10， ∵AD：AE=6：5， ∴AD=12， ∵△ADE∽△ABC， ∴=， ∴=， ∴AC=， ∴CD=AC-AD=-12=． 19、（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC； （2）解：∵△ADE∽△ABC，AF平分∠BAC， ∴AG：AF=DE：BC=4：7， ∵AG=2， ∴AF=3.5， ∴FG=AF-AG=1.5． 20、证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥AD， ∴∠ADE=∠DEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴四边形ACED是矩形； （2）∵四边形ACED为矩形， ∴AD=CE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC， ∴CE=BC， ∵CE2=CG•CA， ∴CB2=CG•CA， 即CB：CG=CA：CB， 而∠BCG=∠ACB， ∴△CBG∽△CAB， 在△CAB和△CAE中， ， ∴△CAB≌△CAE（SAS）， ∴△CBG∽△CAE． 21、证明：（1）∵AG2=GE•GC， ∴． ∵∠AGE=∠CGA， ∴△AGE∽△CGA． ∴∠GAE=∠GCA． （2）∵点G是AB的中点， ∴AG=BG． ∴． ∵∠BGE=∠CGB， ∴△BGE∽△CGB． ∴∠GBE=∠GCB． ∵∠AED=∠ABE+∠BAE，∠ACB=∠GCB+∠GCA， ∴∠AED=∠ACB． ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB． ∴∠DAC=∠DEA． ∵∠ADF=∠EDA， ∴△ADF∽△EDA． ∴． ∴AD2=DF•DE． 22、（1）证明：如图①中， ∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90° ∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠HAC=∠OBC． 在△OAP与△OBC中， ， ∴△OAP≌△OBC（ASA）， （2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②． 在四边形OMHN中，∠MON=360°-3×90°=90°， ∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP． 在△COM与△PON中， ， ∴△COM≌△PON（AAS）， ∴OM=ON． ∵OM⊥CB，ON⊥HA， ∴HO平分∠CHA， ∴∠OHP=∠CHA=45°， ∵∠AHB=90°， ∴2∠OHP=∠AHB． （3）结论：当点G在y轴的正半轴上时，BG-BO=AF． 当点G在线段OB上时，OB=BG+AF． 当点G在线段OB的延长线上时，AF=OB+BG． 当点G在y轴的正半轴上时，理由如下：连接OE，如图3． ∵∠AOB=90°，OA=OB，E为AB的中点， ∴OE⊥AB，∠BOE=∠AOE=45°，OE=EA=BE， ∴∠OAB=45°，∠GOE=90°+45°=135°， ∴∠EAF=135°=∠GOE． ∵GE⊥EF即∠GEF=90°， ∴∠OEG=∠AEF， 在△GOE与△FAE中， ， ∴△GOE≌△FAE， ∴OG=AF， ∴BG-BO=GO=AF， ∴BG-BO=AF． 其余两种情形证明方法类似． 学科网（北京）股份有限公司 $