第3章 图形的相似拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）九年级上 第三章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共28分） 号一32红=3，则的值为 1若之=1 () 之一y 号 C.-5 D.5 2.[2025绥化中考]两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm,并且它们的周长之和为48cm, 那么较小三角形的周长是 () A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是() A.(0,0) B.(2,1) C.(4,2) D.(5,0) 5 E 折 再折叠 展开 2 7A(2,1〉 012345x (第3题) (第4题) (第5题) 4.[2025陕西中考]如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则 △CEF的面积为 A.10 B.8 C.5 D.4 5.[2025长春中考]将直角三角形纸片ABC(∠C=90°)按图示方式折叠两次再展开，下列结论中错 误的是 ( A.MNDE∥PQ B DC-DE-MN C.AN-DQ-TNQ D. 6.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1， △ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是 () A.20 B.22 C.24 D.26 DA (第6题) (第7题) 7.如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在边DC,BC上，且BF=CE,AE平分∠CAD,连 接DF,分别交AE,AC于点G,M.P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC,垂足为N, 连接PM.有下列结论：①AE垂直平分DM;②PM十PN的最小值为3√2；③CF2=GE·AE; ④S△4DM=6√2.其中，正确的是 () A.①② B.②③④ C.①③④ D.①③ 74 第三章图形的相似 二、填空题（每小题5分，共20分） 8.[2025浙江中考]如图，五边形ABCDE,A'B'C'D'E是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已 知点A,A'的坐标分别为(2,0)，(3,0).若DE的长为3，则D'E的长为 y R GD 1 (第8题)》 (第9题) (第10题) (第11题) 9.如图，在△ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE/CB,且DE=DC,连接AE交 BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= 10.如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,D是AB上一点，且AD=2,过点D作 DEBC,交AC于点E,将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，此时BD=8,则CE的长为 11.[2025衡南期末]如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=6,E为BC的中点，F是CD上 一点，G为AD上一点，且CP=2,∠GEF=60.GE交BD于点H,则的值为 D△CEF 三、解答题（共52分） 12.(10分)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格上有两个三角形，它们的顶点都在格点上. (1)△ABC与△DEF是否相似？请说明理由. (2)请你在网格上画出另外三种与△ABC相似的三角形（三个顶点都在格点上）. (第12题) 13.(10分)如图，在矩形ABCD中，CD=2,AD=4,点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰 好落在对角线AC上的点E处.在边CB上截取CF=CE,F是线段BC的黄金分割点吗？请 说明理由， (第13题) 75 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 14.(10分)[2025渭南华州期末]罗山寺塔，又称“岱堡塔”，为楼阁式空心方形砖塔.小华和小刚打 算测量该塔的高度.如图，小华站在塔在阳光下的影子末端点C处，同一时刻小华的影子为 CD,他的身高EC=1.7米，测得CD=3.4米；小刚在塔的另一侧地面上的点F处竖了一根高 为2米的标杆FG,发现地面上的点H、标杆的顶端G和塔的顶端A在一条直线上，此时测得 点D,H之间的距离为108.4米，FH=3米.已知EC⊥DH,GF⊥DH,AB⊥DH,点D,C, B,F,H在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据计算该塔的高度AB. B (第14题) 15.(10分)[2025射阳期中]如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD 上，过点P作PF⊥AE于点F,垂足为F,连接PE. (1)求证：△PFA∽△ABE. (2)当PA为何值时，△PEF与△ABE相似？ 备用图 (第15题) 16.(12分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，点D在边BC上由点C向点B运动（不与 点B,C重合)，过点D作DE⊥AD,交射线AB于点E. (1)分别探究以下两种特殊情形时线段AE与BE之间的数量关系，并说明理由. ①点E在线段AB的延长线上，且BE=BD. ②点E在线段AB上，且BE=DE. (2)若AB=6. ①当5时求AE的长。 ②写出运动过程中线段AE长的最小值， B 备用图 (第16题) 76 >“答案与解析”见P44.NG=12米.同理得△DEF∽△DMQ,.O=0./ EF=0.1米，DF=0.2米，.DF=2EF.∴.MQ 2D0-2×28.6=1.8米).MN=Q+QG-GN 11.8+1.5一12=1.3（米）..旗帜的宽度MN是1.3米. 综合与实践3神奇的A4纸 (1)设AB=x.,AE=ED=a,矩形EABF∽矩形 AB0D福-8兰-云=2x.“>0 已x=2a.AB=么=2，(2)：四边形ABCD是 矩形，.∠A=∠D=90°.，EG⊥BE,∴.∠BEG=90° ,.∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠DEG=90°. :∠ABE=∠DEG.&△ABEn△DEG.能怎 8a-说G-9:AB-CD=EDG CG.G为边CD的中点。(3)MN/AC,-是连 接BE交AC于点O.由翻折变换的性质可知BM=EM, MN⊥BE,设BM=EM=y,在Rt△AME中，AM+ AE=EM(2a-y)2+a2=y,解得y=32。 4a. BN=39。:∠BAE=∠D=08S-号 .△ABE△DAC..∠ABE=∠DAC.·∠ABE+ ∠AEB=90°，.∠DAC+∠AEB=90°.∴.∠AOE=90°. BE LAC.MN LBE.MN/AC.MN-BM_ AC BA 3w2 4a3 2a4 第三章拔尖自主测评 1A设x=k,则y=3k,2三3k,故2x十y=2k+3k 2 x一y 15 7 2.B设较小三角形的周长为xcm,则较大三角形的周长 为(48一x)cm,,:两个相似三角形的最长边分别是10cm 和6cm,.x:(48-x)=6:10,解得x=18,即较小三角 形的周长为18cm. 3.C如图，分别连接OA,DB,EC,其所在直线交于点 G(4,2),则点G为所求的位似中心，故位似中心的坐标为 (4,2). A(21X 012345x (第3题) 4.C四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴.AB= BC=4,∠A=∠B=90.:E是AB的中点，∴.AE=BE= ?AB三2，在Rt△BCE中，由勾股定理得CE √BC2+BE=J42+22=25.∠A=∠B=90°， EF⊥EC,∴.∠BCE+∠BEC=9O°，∠AEF+∠BEC= 0.∴.∠BCE=∠AEF..△BCED△AEF..CF= EF-CECAE-25X2-5.△CBF的面积 BC 4 为2cE·EF=2×25×5=5. 1 5.D由折叠可得DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC,AM= MD=DP=PC,∴.MN∥DE∥PQ∥BC.故A正确，不符 合题意.△ADED△ACBD△AMN.-是 2'DE-AD2.BC-2DE,DE=2MN.BC= 1 MN AM 1 4MN.'.BC=2DE=4MV.故B正确，不符合题意， :MNPQ器兴 8器阳=-AN=AB.QN=专AB.AN=Q= NQ.故C正确，不符合题意.：△ADED△ACBn △ANo△AQ.e-A0-号，需-0-号 设化-子深焉误故D错误符合题意 6.D如图，根据题意，易得△AFH△ADE.、.S△= S△ADE （)°=()°=6设Swm=9,则Swe=16. ∴.16x-9x=7,解得x=1..S△DE=16.四边形 DBCE的面积为42-16=26. D B (第6题》 7.D①，四边形ABCD是正方形，.AD=DC=BC, ∠ADC=∠DCB=90°.I'BF=CE,∴.BC-BF=DC- CE,即CF=DE.在△ADE和△DCF中， (AD=DC. ∠ADE=∠DCF,∴.△ADE≌△DCF..∠DAE= DE=CF, ∠CDF.:∠CDF+∠ADG=90°，.∠DAE+∠ADG= 90°.∴.∠AGD=90°..∠AGM=90°..∠AGM= ∠AGD.,'AE平分∠CAD,∴.∠MAG=∠DAG.,·AG= AG,.△AGM≌△AGD.∴.GM=GD.又.∠AGM= ∠AGD=90°，∴.AE垂直平分DM.故①正确.②如图，连 接BD与AC交于点O,交AG于点H,连接HM.,·四边 形ABCD是正方形，∴.AC⊥BD,即DO⊥AM.,AE垂 直平分DM,∴.HM=HD.当点P与点H重合时，PM+ PN的值最小，此时PM+PN=HM+HO=HD+HO= DO,即PM+PN的最小值是DO的长.：正方形ABCD 的边长为4AC=BD=4E.D0=2BD=22.即 PM十PN的最小值为2√2.故②错误.③，AE垂直平分 DM,.∠DGE=90°.∠ADC=90°，.∠DGE= ∠ADE.又∠DEG=∠AED,∴.△DGE∽△ADE. :E-能即DE=GE·AE,由D,知CF=DE. .CF2=GE·AE.故③正确.④，AE垂直平分DM, 六AM=AD=4.又：D0=2E,Sam=2AM: D0=号×4×22=42.故④错误，综上所述，正确的是 ①③. B F (第7题) &.号：五边形ABCDE,ABCDE'是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，点A,A'的坐标分别为(2,0)，(3， 08器-8-80=景：∠0E=∠0E. △0E0△0E.B-8E-景：DE-3. D'E'=2 9 9.3:CD=CA,DE∥CB,∴.AF=EF.∴.CF是 △ADE的中位线..DE=2CF=2.DE=DC,.AC= 2.∠CFA=∠CAB,∠ACF=∠BCA,∴.△CAF∽ △CBA.∴.AC:BC=CF:CA.∴.2：BC=1:2.∴.BC= 4..BF=BC-FC=3. 10.10由题意，可得AC=√AB2+BC2=10.在题图① 中，：DE∥BC,∴.∠ADE=∠ABC=90°，∠AED= ∠ACcR△ADEn△ABC铝怎是能 在题图②中，，∠BAC=∠DAE,∴.易得∠BAD= ∠CE:e-怨.：△MBDn△ACE.0 88-专：BD=-8cE=10 1.四边形ABCD是菱形，AB=6,∠ABC=120, ∴.BC=CD=6,∠BCD=60°.∴.△BCD为等边三角形. .BD=BC=6,∠EBH=∠C=6O°.∴.∠FEC+∠EFC= 120°.E为BC的中点，.BE=EC=3.∠GEF= 60°，∴.∠BEH+∠FEC=120°..∠BEH=∠EFC.又 ∠EBH=∠C=60,∴.△BEH∽△CFE=C 号-BBH=号：BD=6HD=BD-BH= 23· .'∠GDH=∠C=60,∠DGH=∠BEH=∠EFC, ∴.△GDH∽△FCE. S△H= SACEF )= 12.(1)相似.理由：DE=√2+1=5，DF=√32+1产= √10，EF=5,AB=√12+1？=√2，AC=2,CB= -…得-四器 后=四：需-装-需-△n △DEF.(2)如图所示. (第12题) 13.F是线段BC的黄金分割点.理由：，在矩形ABCD 中，AB=CD=2,BC=AD=4,∠B=90°，∴.AC= √AB2+BC=25.由折叠，得AE=AB=2..CF= CE=AC-AE=25-2..BF=BC-CF=6-25. ·CF2=(2√5-2)2=24-8√5，BF·BC=(6-2√/5)X 4=24-85CF=BF,C,即瓷-E1F是线 段BC的黄金分割点， 14.EC⊥DH,AB⊥DH,.EC∥AB,∠ABC= ∠ECD=90°.∴.∠BAC=∠ACE.由题知，AC∥ED, ∴.∠CED=∠ACE=∠BAC..△ABC∽△ECD. 提答“C=17米.CD=84米 即BC=2AB.,GF⊥DH,AB⊥DH,∴.GF∥AB. &△ABHn△GFH.2票-票：G=2米，FH 3米.A5_HB,即HB=1.5AB.:点D,H之间的距 2 3 离为108.4米，∴.1.5AB+2AB+3.4=108.4,解得AB= 30米.∴.该塔的高度AB为30米. 15.(1):正方形ABCD,∴.AD∥BC,∠B=90°. ∴.∠DAE=∠AEB.:PF⊥AE,∴.∠PFA=90. .∠B=∠PFA.∴.△PFAn△ABE.(2)当△PFEn △ABE时，如图①，∠PEF=∠AEB EF PF BE=AB,由题意可 得AB-4,BE-专BC-2罗-PF-2FR :AE2=AB2十BE2,.AE=√AB2+BE=25. ,∠DAE=∠AEB,∴.∠PAE=∠PEA.∴.PA=PE. △PAE是等腰三角形.PF⊥AE,∴.AF=EF= 2AE-5.PF=2EF-2/5.AP=AF+PE= 5+20=5.当△EFPC△ABE时，如图②，∴.∠PEF= ∠EAB..AB∥PE..∠PEB=180°-∠B=90°..四 边形ABEP是矩形.∴.AP=BE=2.综上所述，当PA的 长为5或2时，△PEF与△ABE相似. ② (第15题) 16.(1)①AE=2BE.理由：DE⊥AD,∴.∠ADE= 90°.∴.∠AED+∠EAD=90°，∠BDE+∠BDA=90°. ,BE=BD,∴.∠AED=∠BDE.∴.∠EAD=∠BDA. ∴.AB=BD.BE=BD=AB..AE=2BE.②AE= 2BE.理由：如图①.∠BAC=90°，∠C=60°，∴.∠B= 30.:BE=DE,.∠EDB=∠B=30°.∴.∠AED= ∠EDB+∠B=60°.：'DE⊥AD,.∠EDA=90°， ∴.∠EAD=30°.∴.AE=2DE.∴.AE=2BE.(2)①如 图②，过点D作DF⊥AB于点F,则∠AFD=∠BFD= 90°.：DE⊥AD,∴.∠ADE=90°..∠AFD=∠ADE. :∠FAD=∠DAE△AFD△ADE.易得明P 器“恶-：0=复设FD=m期AF 2m.∠BAC=90°，∠C=60°，.∠B=30°..在 Rt△BDF中，BD=2FD=23m.∴.BF=√BD2-FD= 3m..AB=6,∴.BF+AF=6,即3m+2m=6.∴.m= 吾AF=号FD=65:AD=VA+FD 1267 g:△Mme△AE片-0回= 5 67 AE 5 AE=头.②如图③，取AE的中点G,连接DG. 5· ,DE⊥AD,,∠ADE=90°.，DG是斜边上的中线， .AE=2DG,DG=AG=EG.当AE的长最小时，DG的 长最小，此时易知DG⊥BC.∠B=30°，∴.BG=2DG. .AE=BG.∴.BE=AG..AG=EG=BE.∴.AE= 「号AB=4,即线段AE长的最小值为4， B ① ② G E B D ③ (第16题) 6