山东德州市六校联考2026-2027学年第一学期10月学情自测 九年级数学试题

2026-2027学年第一学期10月月考试题 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14. 或  15. 【小题】       【小题】   16. 【小题】 ，   ，   ，   或，   解得：， 【小题】 ，   ，   ，   ，   或，   解得：，   17. 证明：方程， ，，， ， 则无论取何实数值，方程总有两个不相等的实数根； 解：把代入方程得：， 解得：， 设另一根为，则有， 解得：，即方程的另一根为．  18. 解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，舍去或当时，． 答：花园的长，宽为．   19. 【小题】 设每件摆件应定价为元，根据题意得：   ，   整理得，   解得：，，   答：每件摆件应定价元或元 【小题】 设每件摆件应定价为元，根据题意得： ， 整理得：， ， 此方程无解， 该计划不能实现   20. 解：解法一：由知， ， ， 由得， 根据与的特征， 是方程的两个不相等的实数根， ． 解法二：由得， 根据与的特征，且， 与是方程的两个不相等的实数根， ，， ．   21. 【小题】 解：令， 解得，， 该函数图象与轴的交点坐标为， 将代入，得， 与轴的交点坐标为 画出这个函数的图象如图所示． 【小题】 或   22. 解：； 如图所示， 由函数图象知：函数的图象关于轴对称； 当时，随的增大而减小或当时，随的增大而增大； ；； ； ．  23. ；  证明：， ， 点，是该函数图象上的两点， ， ， ， ，   【解析】 1. 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点根据一元二次方程的定义解答． 【解答】 解：原式整理得，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； B.不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本选项错误； C.当时，不是一元二次方程，故本选项错误； D.原方程可化为，是一元一次方程，故本选项错误． 故选A． 2. 本题由一元二次方程的根的判别式和二次项系数不为，可得的取值范围． 解：，要使的一元二次方程 有实根，  ，  解得 且  且． 故选：． 3. 略 4. 【分析】 本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是据此作答． 【解答】 解：根据题意，得，  解得． 故选D． 5. 【分析】 本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是结合二次函数的性质及其图象分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的解析式画出函数图象，利用数形结合来解决问题是关键．根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论． 【解答】 解：画出抛物线的图象，如图所示．    A.， 抛物线开口向上，A正确； B.令，， 该抛物线与轴有两个重合的交点，B正确； C.， 该抛物线对称轴是直线，C正确； D.抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大，不正确． 故选D． 6. 【分析】 本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． 【解答】 解：由函数图象关于对称轴对称，得 ，，在函数图象上， 把，，代入函数解析式，得 ， 解得， 函数解析式为 时， 故选B． 7. 【分析】 本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断． 【解答】 解：， 对称轴为， ，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ， ， 根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称， 故， 故选C． 8. 【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出是解题关键．先根据二次函数图象上点的坐标特征求出、两点的坐标，再过作轴，交的延长线于点，则，，根据平移的性质以及曲线段扫过的面积为图中的阴影部分，得出，然后根据平移规律即可求解． 【解答】 解：函数的图象过点，， ，， ，， 过作轴，交的延长线于点， 则， ， 曲线段扫过的面积为图中的阴影部分， ， ， 即将函数的图象沿轴向上平移个单位长度得到一条新函数的图象， 新图象的函数表达式是． 故选D． 9. 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为． 【解答】 解：由得到， 对于一元二次方程， 设， 所以， 而关于的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：． 10. 【分析】 本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．根据抛物线对称轴方程对进行判断；由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，于是可对进行判断；根据顶点坐标对进行判断；根据抛物线的对称性对进行判断；根据函数图象得当时，一次函数图象在抛物线下方，则可对进行判断．  【解答】 解：抛物线的顶点坐标，  抛物线的对称轴为直线， ，所以正确； 抛物线开口向下， ， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以错误； 抛物线的顶点坐标， 时，二次函数有最大值， 方程有两个相等的实数根，所以正确； 抛物线与轴的一个交点为 而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为，所以错误； 抛物线与直线交于，点 当时，，所以正确． 故选C． 11. 本题主要考查一元二次方程在实际中的应用；列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 设每次降价的百分率为，则第一次降价后的单价是原价的，第二次降价后的单价是原价的，根据题意列方程解答即可． 解：设降价百分率为， 则有：， 解得：，不合题意，舍去， 答：降价百分率为． 故答案为：． 12. 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程，当时，方程有解，分别设为，，则有，由、是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求式子变形后，把两根之和与两根之积代入，即可求出值． 【解答】 解：、是一元二次方程的两个根， ，， 则 ． 故答案为． 13. 易知不是方程的解，，均不为，是一元二次方程的两个实数根，，，， ，故答案为． 14. 解：原方程可化为，解得或． 当，时， 当，时，． 故或． 15.   设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为：，点再用待定系数法即可求解； 【详解】以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： 解得： 即抛物线的表达式为：， ， 故答案为：；   确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， 所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 16.  ，  ，  ，  或，  解得：，  ，  ，  ，  ，  或，  解得：， 17. 表示出方程根的判别式，判断出其值大于，即可得证； 把代入方程求出的值，利用根与系数关系求出另一根即可． 此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 18. 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； 19.  设每件摆件应定价为元，根据题意得：  ，  整理得，  解得：，，  答：每件摆件应定价元或元  设每件摆件应定价为元，根据题意得： ， 整理得：， ， 此方程无解， 该计划不能实现 20. 由题意可知：可以将方程化简为的形式，然后根据根与系数的关系可解得：的值；也可将方程化简为的形式，再根据根与系数的关系可解得的值． 21.  略  略 22. 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键． 把代入函数解析式即可得的值； 描点、连线即可得到函数的图象； 根据函数图象得到性质：函数的图象关于轴对称；当时，随的增大而减小或当时，随的增大而增大； 根据函数图象与轴的交点个数，即可得到结论； 根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论； 根据函数的图象即可得到的取值范围是． 【解答】 解：把代入，得，即， 故答案为： 见答案； 见答案； 由函数图象知：函数图象与轴有个交点， 所以对应的方程有个实数根； 的图象与直线有两个交点， 有个实数根； 由函数图象知：关于的方程有个实数根， 的取值范围是， 故答案为：；；；． 23. 解：由条件可知， 解得：， 该二次函数的表达式为． ， 点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为， 点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上， ， 解得：． 证明：， ， 由条件可得， ， ， ， ． 把代入，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可；根据平移方式求出平移后的两点坐标，代入中所求关系式，得出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； 把点，分别代入，结合得出，根据平方的非负数性质即可得出结论． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 2026-2027学年第一学期10月月考试题 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是    ． A. B. C. 且 D. 且． 3.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为(    ) A. B. C. D. 4.抛物线的顶点在轴上，则等于(    ) A. B. C. D. 5.关于抛物线，下列说法错误的是(    ) A. 开口向上 B. 与轴有两个重合的交点 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 6.某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： 由于粗心，他算错了其中一个值，则这个错误的数值是(    ) A. B. C. D. 7.点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 8.如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、若曲线段扫过的面积为图中的阴影部分，则新图象的函数表达式是(    ) A. B. C. D. 9.若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有根为(    ) A. B. C. D. 10.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论： ；；方程有两个相等的实数根；抛物线与轴的另一个交点是；当时，有，其中正确的是 A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.随着国家抑制房价政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为　    　． 12.关于的一元二次方程的两个实数根为，，则____ 13.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为          ． 14.对于实数，，定义运算“”，所以若，是一元二次方程的两个根，则           ． 15.图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状碗体厚度不计，碗口宽，此时面汤最大深度． 当面汤的深度为时，汤面的直径长为          ； 如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度           ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 解方程： 17.本小题分 已知关于的方程． 求证：无论取何实数值，方程总有两个不相等的实数根； 若此方程有一个根为，求出方程的另一个根． 18.本小题分 如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为求花园的长和宽． 19.本小题分 火爆开赛的“苏超”联赛，使扬州赛区吉祥物“包赢”文创周边深受球迷喜爱．这款融合扬州包子、足球与运河元素的萌趣摆件，每件进价元．市场调研发现：售价定为元时，每月可卖出件；售价每上涨元，每月就少卖出件 若店家某月想要总利润达到元，每件摆件应定价多少元？ 店家计划单月获利元，该计划能否实现？请通过计算说明理由 20.本小题分 阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且求：的值． 21.本小题分 已知二次函数． 分别求出该函数图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，并在下面的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． 利用函数图象回答： 当时，的取值范围是           当时，的取值范围是           若方程有实数根，则的取值范围是           若不等式无解，则的取值范围是           写出不等式的解集：          ． 22.本小题分 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中，______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． 观察函数图象，写出两条函数的性质． 进一步探究函数图象发现： 函数图象与轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； 方程有______个实数根； 关于的方程有个实数根时，的取值范围是______． 23.本小题分 已知关于的二次函数． 当函数图象经过点时； 求该二次函数的表达式； 若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，求的值． 设点，是该函数图象上的两点，且求证：． 第2页，共2页 第2页，共2页 第2页，共2页 九年级数学试题 学科网（北京）股份有限公司 $