精品解析：山东济南稼轩学校2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

济南稼轩学校九年级月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 4. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么等于（　　） A. B. C. D. 7. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为4的等边三角形中，动点从点开始沿边向点运动（点不与点重合），点在边上，连接，，且，设，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在和之间（不含端点），则下列结论：①；②方程有一个根在和0之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 已知，则________ 12. 若方程的两根为，，则的值为_____________． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 14. 如图，平行四边形中，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的长是_____________． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为若是的中点，的延长线交于点，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程 （1） （2） 17. 如图，在菱形中，，连接相交于点M．求证：． 18. 如图，已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在轴右侧画出以点为位似中心，放大到原来的2倍的，所作图中顶点坐标分别为_____________，_____________，_____________； （2）请用无刻度的直尺在线段上找一点，使得（保留作图痕迹） 19. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，九年级某班的数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，在操场上点C处放置一面平面镜，该小组成员从点C处沿方向移动到点D处时，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将同一平面镜沿方向移动（即）放置在F处．该小组成员从点F处沿方向移动到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得该小组成员的眼睛距地面的高度均为，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且，求出灯柱的高度．（平面镜的大小忽略不计） 21. 中国大满贯2024年9月26日在北京石景山首钢园区开赛，为了迎接这场乒乓球盛宴，某商店购入一批进价为10元/个的徽章进行销售，经市场调查发现；销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如下的一次函数关系，当销售单价为12元时，日销售量为152个，当销售单价为16元时，日销售最为136个． （1）求y与x的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，，连接，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为． （1）用含的代数式表示：_______，___________； （2）是否存在，使的面积为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形是直角三角形，请求出此时的值． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点的横坐标为，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 24. 综合与实践 （1）【提出问题】如图1，在菱形中，，P是对角线上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在正方形中，P是对角线上一动点，且，，将绕点P顺时针旋转得到，连接， ①求的度数； ②当时，求的长； （3）【迁移运用】如图3，在矩形中，，P是对角线上一动点，连接，以为边在右边作，且，当点Q到的距离为时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校九年级月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是正确理解左视图．注意看不见的线用虚线表示. 根据左视图是从左边看得到的图形解答即可． 【详解】解：从左边看是矩形，两条看不见的线把矩形分成三个相邻的矩形． 故选：D． 2. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与x轴的交点，先根据二次函数的定义得出，再根据二次函数的图象与轴有交点，得出方程有实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可解答． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图象与轴有交点， ∴方程有实数根， ∴， 解得：， 综上：k的取值范围是且， 故选：D． 4. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律．根据函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴， ∴平移后所得抛物线的表达式为， 故选：A 6. 如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得，由，得，再证明，得即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方，解决本题的关键是证明． 7. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 8. 某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为96平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：小道的宽为米， 种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形． 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，在边长为4的等边三角形中，动点从点开始沿边向点运动（点不与点重合），点在边上，连接，，且，设，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质和三角形外角的性质，证明，从而建立x与y之间的函数关系式，最后利用二次函数的性质求出y的最大值． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即 ∵， ∴函数图象开口向下， ∴当时，y取得最大值为1． 10. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在和之间（不含端点），则下列结论：①；②方程有一个根在和0之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得出，，由对称轴可得出，进而可判断①，由抛物线的对称性可判断②，方程等于抛物线与直线的交点， 由图象可得出，进而可判断③，由②可知，当时，， 代入，即可判断④，先得出，根据当时，，得出关于a的取值范围，进而可得出n的取值范围． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下， ∴， ∵图象与轴交点的纵坐标是2， ∴， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线，且一个交点满足在， ∴，， ∵， ∴，故②正确； 方程的根等于抛物线与直线的交点横坐标， 由图象可知：， ∴直线在顶点下方， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线与直线必有两个交点， 则方程一两个不相等的实数根，故③正确； ∵，即， ∴， ∵， ∴， 由②可知，当时，， ∴即， ∴， ∴，故④错误； ∵，，， ∴， 由函数图象可知：当时，， 即， ∴， 解得：， 则， ∴ 即，故⑤正确， 综上：①②③⑤正确． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 已知，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用比例线段的性质，设参数表示出、，再代入代数式求值． 【详解】解： 设，， ， ． 12. 若方程的两根为，，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 14. 如图，平行四边形中，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，且，再证明可得，再证明进而根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且． ∵点是的中点， ∴． ∵，即， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为若是的中点，的延长线交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键． 过点作，由折叠的性质可得，，即可得出，根据勾股定理求出，然后证明，利用对应边成比例即可求出，进而求出． 【详解】解：过点作， 由折叠的性质可得，， ，， ， 是的中点， ， 在中，， ， 解得， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（ 1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （ 2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 所以； 【小问2详解】 或 所以 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 17. 如图，在菱形中，，连接相交于点M．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用菱形的性质得到，由得到，又由，利用证明，即可得到答案． 【详解】略 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 18. 如图，已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在轴右侧画出以点为位似中心，放大到原来的2倍的，所作图中顶点坐标分别为_____________，_____________，_____________； （2）请用无刻度的直尺在线段上找一点，使得（保留作图痕迹） 【答案】（1）；，， （2） 【解析】 【分析】（1）作出位似图形，再写出顶点坐标即可； （2）取格点，连接，交于点，根据相似三角形的性质可得． 【小问1详解】 解：作图略， 根据位似图形，可得，，； 【小问2详解】 略 19. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E为边上一点，与相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）3 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，因为，所以，而，则，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）由且、，求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵且、， ∴， ∴． 20. 如图，九年级某班的数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，在操场上点C处放置一面平面镜，该小组成员从点C处沿方向移动到点D处时，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将同一平面镜沿方向移动（即）放置在F处．该小组成员从点F处沿方向移动到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得该小组成员的眼睛距地面的高度均为，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且，求出灯柱的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】灯柱的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明得到，再证明列式求出的长． 【详解】解：由题意可知， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ，即， 解得， 答：灯柱的高度为． 21. 中国大满贯2024年9月26日在北京石景山首钢园区开赛，为了迎接这场乒乓球盛宴，某商店购入一批进价为10元/个的徽章进行销售，经市场调查发现；销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如下的一次函数关系，当销售单价为12元时，日销售量为152个，当销售单价为16元时，日销售最为136个． （1）求y与x的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，w有最大值，最大值为1600元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）设总利润为w元，然后根据总利润单个利润总数量进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， ∵当销售单价为12元时，日销售量为152个； 当销售单价为16元时，日销售量为136个， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：销售单价为x（元），进价为10元/个， ∴每个徽章的利润为，且日销售量y（个）， 设利润为w元， ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为1600元． 22. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，，连接，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为． （1）用含的代数式表示：_______，___________； （2）是否存在，使的面积为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形是直角三角形，请求出此时的值． 【答案】（1）， （2）不存在； 理由：∵四边形 是矩形，，，， ∴． 在 中，由勾股定理得． 过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ． 则，，， 且 ， ∴，即， ∴． ∴． 令，得， 即． ∵， ∴方程无实数解， ∴不存在这样的 ，使 的面积为 ． （3） 或 【解析】 【分析】（1）由路程速度时间分别表示、，注意点 从 出发沿 运动，； （2）用相似三角形表示点到的距离，把面积表示为的二次函数，用判别式判断； （3）把三边长都用含的式子表示，按直角顶点的三种情况，分别用勾股定理的逆定理列方程求解，并检验 的范围． 【小问1详解】 解：∵点 从点 出发沿 运动，速度为 ， ∴． ∵点 从点 出发沿 运动，速度为 ， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 若 ，则 ， 即 ， 化简得 ， 解得 或 （舍去）； 若 ，则 ， 即 ， 化简得 ， 解得 或 （不在 内，舍去）； 若 ，则， 即， 化简得 ， 解得 或 ，均不在 内，舍去， ∴当 或 时，以 ，， 为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形与动点问题：关键是过 、 作 的垂线，用相似把点 到 的距离表示为 、水平距离表示为 ，从而把面积与直角条件转化为关于 的方程；面积问题用判别式判断是否存在，直角问题需按三个顶点分情况并用勾股定理的逆定理，最后检验 的范围． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点的横坐标为，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在， 或 【解析】 【分析】（1）由 、 得 、 坐标，用待定系数法求抛物线的表达式； （2）点 在 上，；过 作 的垂线，由 得等腰直角三角形，用等积法表示垂线段长，结合勾股定理列方程求出点 的坐标； （3）用勾股定理把 、、 表示为 的式子，按“以 为腰”分 、 两种情况列方程，并检验点 在直线 上方． 【小问1详解】 解：∵，，点 在点 左侧， ∴，，点 为抛物线与 轴的交点，． ∵抛物线 经过点 、， ∴ 解得：， ∴抛物线的表达式为 ． 【小问2详解】 解：∵点 在 上， ∴ 与 在同一直线上， ∴． 过点 作 ，垂足为 ． ∵点 在直线 上方， ∴垂足 落在射线 上． 在 中，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴． 由待定系数法可求出直线的解析式为， 设点 的横坐标为 ，则 ，， 其中 轴，垂足为 ，则点 的坐标为 ． 过点 作 ，垂足为 ，则 ，． 在 中，． ． ∵， ∴． 又 ， ∴， 两边除以 （），得 ， 即 ， 两边同乘 ，得 ， 即 ， ∴， ∴， ∴ 或 ． ∵点 在直线 上方，， ∴ 不合题意，舍去，． 当 时， ， ∴， 此时 ，点 在直线 上方，符合题意， ∴存在点 ，其坐标为 ． 【小问3详解】 解：∵，交 于点 ，点 的横坐标为 ， ∴，． ∴． 过点 作 ，垂足为 ，则 ，． 在 中，． 又 ． ①若 ，则 ， 两边除以 （），得 ， ∴， ∴ 或 ， ∴ 或 （此时点 与点 重合，不在直线 上方，舍去）； ②若 ，则 ， 两边除以 ，得 ， ∴， ∴ 或 （大于 ，舍去）． 检验： 时 ，在直线 上方； 时 ，在直线 上方． ∴ 或 ． 24. 综合与实践 （1）【提出问题】如图1，在菱形中，，P是对角线上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在正方形中，P是对角线上一动点，且，，将绕点P顺时针旋转得到，连接， ①求的度数； ②当时，求的长； （3）【迁移运用】如图3，在矩形中，，P是对角线上一动点，连接，以为边在右边作，且，当点Q到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；② （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，根据旋转的性质，证明是等边三角形，再证明，得到； （2）①过点A作于点E，由正方形的性质证明，从而求得结果； ②通过解求得的长，继而得到，由①的可求得结果； （3）先求得的度数，过点A作于点L，过Q作于点K，利用三角形相似的判定与性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． 【小问1详解】 解：在菱形中，， ，，， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①过点A作于点E， 四边形是正方形，是对角线， ，即为等腰直角三角形， ，， 由旋转可知是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②在中，， ∴， 由①知，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在中，， ∴， ， ， 如图，过点A作于点L，过Q作于点K， ∴， 在中，， 当点Q在上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在下方时， 同理可得， ∴， 综上，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $