吉林四平市第一高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

高三 ·数学· 叁考管亲及解折 一、选择题 f(x)mn=f(0)=ae-1=1,由g(x)=xe-1(x>0)单调 1.C【解析】M∩N={-1,0},故选C. 递增，且g(1)=1,所以a=1,符合题意；若a=0,显然不 2.A【解析】当x=0时，显然x3=x2,充分性成立；当x 合题意；若a<0,当0<x<1时，∫(x)<0,所以f(x)在 =x2时，x2(x一1)=0，解得x=0或x=1,不能推出x (0,1)上单调递减，当x<0时，f(x)>0,所以f(x)在 =0,必要性不成立，故选A. (一∞，0)上单调递增，所以f(x)存在最大值，不存在最 3.D【解析】因为f(x十3)=f(x),所以3为函数f(x) 小值，不合题意，故选D. 的一个周期，所以f(1)=f(1+2×3)=f(7),又当 8.A【解析】由题意an受an(受十P)=3,可得 x∈[5,8)时，f(x)=x-1,则f(1)=f(7)=72-1=48, 故选D. sin受sin(受+p) 4.C【解析】 (+ =3,所以sinsin（号+p）= 的展开式的通项为T,+1= cos 2cos(+B) C·(3x)n-r· =3"-rCx"受.因为展开式中 3cos号cos(受+）og=cos[(号+)-号] 5r 2 含有常数项，所以n-艺=0有解，即r=号n又r∈N, cos(受+)cos号+sin(号+)sin号=子，两式联立 n∈N',故n的最小值为5.故选C. 解得sin受sim(号+）=cos号eos(号+)-6， 5.C【解析】取线段PP。的中点E,由垂径定理可知 OE⊥PP。,如下图所示： 所以sa+0=oas[号+（号+）]=s号m(号+) sin受sm(号+)=-日，故cos[2(a+]- 2os(a+-1-克-1=-器，故A 二、选择题 9.ABC【解析】对于A,样本中心点为(5,9)，因此线性回 归方程过点(5,9)，A正确； 由题意可知∠POR,=号×2x=经，因为OP=OP,E 对于B,把点(5,9)代入到y=2十ix,得i=1.4,B正确； 对于C,由=1.4>0，得x与y呈正相关，C正确； 为PP。的中点，所以∠POE=号∠POP,=,由锐角 对于D,当投入的广告费为6万元时，销售利润估计为 10.4万元，D错误.故选ABC. 三角函数的定义可知需=∠POE=s如号，则PE=10.AD【解折】对于A,由题查>0，y>0,十2y=1.所 Op·sim吾=2sim,故PR,=2PE=4sin子故选C 以x2≤（老2）=（号）°-子<g当且仅 6.B【解析】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项 目至少有一名同学，先分组再排列，5人分为：1,1,3，则 当中甲-少等号滋江商 有发CN-60种，5人分为1,22则有沿- 对于B,x2+4y2=(x+2y)2-4xy=1-4.xy,由(1)知 A 90种，所以一共有60十90=150种方法.故选B. x≤日，所以-4红y≥-名，即r+4=1-4红y≥ ax 7.D【解析】f(x)=-x产e,若a>0,当0<x<1 1-2=合故B错误 时，f(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增，当x<0 对于C,(W元+√2列)2=x+2y+2√x·2y=1+ 时，f(x)<0,所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，则 2√x·2y≤1+x+2y=1+1=2.所以√x+√/2y≤2， 1 ·数学· 参考答案及解析 故C错误； 对于D(+)x+2)=1+++6=7+ 上知a1或3或受或9或号或1+2区或1+号，故 y x 满足条件的实数a的值有7个 +3>≥7+26，当且仅当22=3x,即 2y2=3x2 14.1【解析】依题意可知，u=596,又P(X-μ<3a)≈ y x+2y=1 即 0.9974,所以，要使合格率达到99.74%，则 x=-1+W6 (596-3a,596+3a)≤(593,599)，所以有 5 时取等号（负值舍去），故D正确.故选AD 596-3a≥593 66 解得：o≤1，故。至多为1. 596+3≤599 10 四、解答题 11.BD【解析】对于A,两轮结束后出现平局，即两人各 胜1轮，共2种情况（甲胜第一轮乙胜第二轮，反之亦 15,解：（④电热防冰涂层的合格率为品-品-0,7， 然)，概率为C2p(1-p)=2p(1-p),故A错误； ……（3分) 对于B,第4轮结束甲获胜，说明前两轮是平局，后两 轮甲连胜：2p(1一p)·p2=2p3一2p=-2p十2p, 疏水防冰涂层的合格率为部-号-0,85。(6分) 故B正确； (2)零假设为H。:防冰涂层类型与防冰涂层是否有积 对于C,设至多2n轮结束，甲获胜概率为n,乙获胜概 冰无关. 率为q。,以n=1为例，至多2轮结束时，p1一p,q 根据列联表中的数据，计算得到 1-,比值为Pp面(1-）‘-0，两 X=200×70X15-85×30)2-200 155×45×100×100 31≈6.452>3.841 =0.05, (11分) 者不一定相等，故C错误； 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H。不 对于D,设甲最终获胜的概率为x,可得：前两轮甲连 成立.即认为防冰涂层类型与防水涂层有无积冰有关 胜，甲获胜，概率2；前两轮乙连胜，甲失败，概率 联，此推断犯错误的概率不大于0.05.…(13分) (1一p)2;前两轮平局，概率2p(1一p),此时回到初始 16.解：(1)由f(x)=sin2x+(sin2x-cos2x)=sin2x- 状态，甲获胜概率仍为x.列方程得：x=书十2(1一)x, cos2x=√2sin(2x-T）…(3分) 整理得：x一2p-2力十，故D正确.故选BD, 三、填空题 不等式f知)≥1可化为sim(2x-)≥号， 12.[-3,0]【解析】由f(x)=3x2+2ax-a≥0恒成立， ………(4分) 有4a2十12a≤0，可得-3≤a≤0. 可得2kx十不<2x-不≤2kπ+3不(k∈2D, 13.7【解析】(1)当f(a)≤1时，有ffa)=2-fa 1,有fo=1.0当a≤1时，由fa）=1,有2。=1，解 可得r十牙≤x≤kr十受(k∈Z), 得a=1;②当a>1时，由f(a)=1,有log(a-1)|=1, 故关于x的不等式fx≥1的解集为[x+子x十受] 解得a=3或a=号.(2)当f(a)>1时，有ff(a) (k∈Z).…(8分) Ilog[f(a)-11=1,有fa)=3或三.①当a≤1时， (2)当0≤x≤受时，-至≤2x-牙<开，…(10分) 要使方程f()=m在[0，受]上有两个不相等的实数 由fo)=3或fa)=号有。=3或。=含，解 根，由函数f(x)的图象可得1≤m<√2， 得a=号（会去）或a=青（舍去.②当a>1时，由fa) 故实数m的取值范围为[1W2).……(15分) 17.解：(1)由题意可知，f(-x)十ex=f(x)十e, 3或fa)=号，有1log:(a-1=3或log:(a-11= 则fx)-f(-x)=ex-e,① …(1分) 号解得a=9该a=号或a=1+2g或a=1+号由又受(e-。)--)=-[是et-c)-f], ·2· 高三 ·数学· 则f(x)+f(-x)=0,② (3分) 由①②得f(x)=e-e 2· …………(4分) (2)(i)由(1)可知，f(x)为奇函数，则f(0)=0,… …(5分) 又y=ex,y=-e在R上均为减函数，所以f(x)= 2在R上为减函数， …(6分) 又CD=2DB,所以EM=号CD,又EM∥CD,所以 由f(x)+f(1-2x)<f(0),得f(x)<-f(1-2x)= f(2江-1)，…（7分) Mr=FD,则部=号， 根据f(x)在R上的单调性可知，x>2x一1，… 因此SAACE= 3」 ScD,…(6分) …(8分) 解得x<1,故A={xx<1}.…(9分) 又CD=2DB,所以5aMD= 号suc,则5ao=号8t (i)由(i)可知，D={x|x>0}∩A={x0<x<1}.… ……………………………………(10分) 10c,.. …(7分) 当E0,时f∈(2o, 由A=号与余弦定理得，a2=+C-26cos吾=行+ 由a[f(x)]2-bf(x)+a+b≤0， c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时取等号.所以 得分[f()]+1)≤f(x)-1, S4cp≤6a2. …(9分) 所以号≤在o,1D上恒成立…41分 又△ACF的最大面积为3，所以怎。=5， 令=)-1则e(62,-小： 解得a=√0.…(10分) 所以<+2+2+名+2 t 1 …（12分) (i)由A=A店+BD=A站+}B心=A站+ 因为y=计2在(-∞，-厄)上单调递增，在 号(AC-A=号A+号AC,…11分) (一√2,0)上单调递减，则ymx=-2√2，…(13分) 两边平方得，A=号A述+号A恋，At+号A花 所以≤2-2 =-1+√2 gc2十名bc计号形…12分） 2 故实数号的取值范围为(-∞，-1士2] ……4… 号a,所以=2+号c+, 又由AD= 2 …（15分） 即7a2=4c2+2bc十b2,…(13分) 18.解：(1)由bsin2A=asinB,得2 bsinAcosA=asinB,… 又由a2=8+c2-bc,有7(+c2-bc)=4c2+2bc+B, (1分) 整理得(b-c)(2b-c)=0, 由正弦定理得2 abcosA=ab,…(2分) 又由c<2b,所以b=c,……………………(14分) 所以cosA=, …………(3分) 因此△ABC为等边三角形，所以CE= 2a. … 2’ …………………………(15分) 又A∈(0，x),故A=号 ………………(4分》 (2)()如图，由题意可知，E为边AB的中点，过点E作 由可知，EF=FC,所以cF=号CE-2。 5a, EM∥BD,交AD于点M,则EM为△ABD的中位线， …………………………………(16分) 所以AM=MD,EM=2BD, 在△BCF中，∠BCF=石，由余弦定理得， ·3· ·数学· 参考答案及解析 BV+(g)-2ax29x9= 当x∈(0，x)时，m(x)>0,即f(x)>0,所以f(x)在 5 2 5a. (0,xo)上单调递增，当x∈(x,1)时，m(x)<0,即 …(17分) f(x)<0,所以f(x)在(xo,1)上单调递减，(9分) 19.解：(1)当a=1时，f(1)=1-e,…(1分) 再结合f(x)在(1，十∞)上单调递减，所以x为f(x) 又fx)=-竖-e,则f)=-e,…2分) 在(0，十∞)上的极大值点. 综上可知，f(x)有唯一的极大值点.…(10分) 所以当a=1时，曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切 线方程为y-1十e=-e(x-1),即y=-ex十1.… (3》由(2)知，f()的最大值为f)=1+ln-e, ……………………………………（3分) 当m()=0时，n=a,所以e=名则a) o (2f()=-g-ae, In 1 当x>1时，f(x)<0,f(x)在(1，十o∞)上单调递减； =1+ln-e,=ln=-4=-a=-a, ………………(4分) 由Hx>0,f(x)≤-e恒成立，得-a≤-e,则a≥e. 当0<<1时，f)=-a=三 、-axe …………(12分) 因为0<，<1，且a=-,可得-n≥e,有e en子 十lnxo≤0，又由函数g(x)=ex十lnx(0<x<1)单调递 令f()=0,则en子=ae，… (5分) 增，且有个日）-0，可得0<<名.…13分 令h(x)=xe(x>0),则h'(x)=(x+1)e>0,所以 将a=-n代人不等式a+(e一a),十名-】 h(x)在(0，十∞)上单调递增， 2≥0，可化为(z-1D1n。-e,-2+1+2≤0.… 由eh立-ae,得A(a） exo e =h(ax), …(14分) 所以h是=az,则-lnx-ax=0, (6分) 令x)=c-1Dhr-ex-是+日+2(0<≤）， ex 令m(x)=-lnx-ax(0<x≤1)， 易知m(x)在(0,1)上单调递减， 有X=lx-2+忌+1-e, 又m(1)=-a<0, 令以）-lx-上+是+1-e m(a)=-lhg吊=gh-1-a +-4=2+ex-4 …(15分) ex 1 设t=a十中1则0<t<1,令()=t-1-ln,所以 由0<x≤，有er+er-4≤ 1 一3<0，可得函数 p()=1--,<0,则p()在(0,1)上单调递减， w(x)单调递减，可得w(x)≥a(日）=0， 所以g)>g(1)=0,即(a)>0. …(7分) 可得函数()单调递增，有(x)<(）=0, 因此m1m(2<0,结合单调性，可知存在唯一的 故不等式ax6+(e-ax十2-1-2≥0成立.… exo e x∈(0,1)，使得m(x)=0,即f(x)=0, …(17分) 故x0为f(x)唯一的极值点.…(8分) 。4· 高三数学多维度细目表 学科素养 能力要求 预估难度 学 接受、 分析 问题 逻 数 吸收、 探 题号 题型 分值 考查的内容及知识点 数学抽 直观想 运算 和解 与数 决数 究 推 数学 学问 能 次 数 模 信息的 力 分 能力 题的 能力 析 1 选择题 5 集合的交集运算 易 0.95 选择题 充分必要条件 易 0.8 3 选择题 5 利用周期函数求函数值 易 0.8 选择题 二项式定理 易 0.8 选择题 5 三角函数的定义 易 0.8 6 选择题 5 排列组合 √ √ 中 0.65 选择题 5 导数研究函数最小值（求参数） 0.55 8 选择题 5 三角恒等变换（和、差角公式，余弦倍角 公式) 为 0.45 9 选择题 6 线性回归方程 易 0.9 10 选择题 6 均值不等式 中 0.5 11 选择题 6 分布列与数学期望综合 难 0.3 12 填空题 利用导数研究参数范围 易 0.9 0 填空题 5 分段函数求值 % 0.6 14 填空题 5 正态分布 中 0.6 15 解答题 13 独立性检验 易 0.8 16 解答题 15 三角恒等变形与三角函数的图象和性质 中 0.6 17 解答题 15 指函数的综合问题（不等式恒成立问题） 中 0.5 18 解答题 17 解三角形、平面向量 中 0.45 19 解答题 17 函数与导数综合 难 0.2 1,考教结合，回归课堂：严格依据高中数学课程标准命制试题，科学把控能力、素养要求，通过教材上例题、习 题深入挖掘，引导考生“以本为本，重视教材”，跳出题海。 命 2.强化数学基础，检测知识体系，优化知识网络：试题强化对数学知识的理解与基本方法的应用的考查，检测 题 考生的知识体系是否完备，有助于考生构建系统化、结构化的知识体系，优化知识间的联系。 报 3.展示思维过程，检测思维品质：试题命制贯彻多想少算理念，聚焦数学本质，如18题让考生充分挖掘图形 特征，优化简化数学运算，为深度思考留出时间。 告 4.优化试题结构，突出探索性，体现创新性：13题结论开放性，考查考生的探究能力；11题设计新情景，打破 固有套路，学生需要探索与尝试才能找到解决问题的方法；19题第3问创新设问方式，考查学生的思维品质， 让考生深度探究问题本质，体现了思维的严谨性、连贯性、创新性。高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 p 报 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选释题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合M=(-1,0,1),N={xx<1),则MnN= A.{xx≤01 B.{:xl-1≤x≤0) C.(-1,0) D.{-1) 2.已知x∈R,则“x=0”是“x3=x2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 常 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x十3)=f(x),当x∈[5,8)时，f(x)=x2-1,则f(1)= A.0 B.24 C.35 D.48 4.若(3x+1 的展开式中含有常数项，则n的最小值为 A.2 B.4 C.5 D.10 5.在直角坐标系xOy中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x轴正半轴的交点P。为起点，沿 逆时针方向匀速运动到P点，每5s转一圈，则2s后PP。的长为 T A2ain号 B.2cos2 c.4n号 D.4cos 製 6,北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赉续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含 “唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法的 种数为 A.60 B.150 C.90 D.240 数学第1页（共4页） 7.已知函数f()=a=xe而在(-∞，1)上的最小值为1，则a= A.-2 B.-1 C.2 D.1 8.已知tan号an(受+)=3，eo9g-子，则cos[2(a十]= A一是 B品 c n器 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投人的广告费x(单位：万元)与销售利润y(单位： 万元)之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为y=2十x.已知投入的广告费x=5,销售 利润y=9,则 A.线性回归方程的图象过点P(5,9) B.b=1.4 C.x与y呈正相关 D.当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元 10.已知正数x,y满足x+2y=1,则下列说法正确的是 Ay的最大值为号 B.x2+4y2的最小值为1 C.√x+√2y的最大值为2√3 D.1+3的最小值为7+26 11.甲乙进行比赛，每一轮甲获胜的概率为，乙获胜的概率为1一p(其中0<p<1),当其中1人比另 一人多胜2轮就获得胜利，则 A.两轮结束后出现平局的概率为(1一p) B.第4轮结束后甲获胜的概率为一2p十2 C至多2m(m∈N~)轮结束后甲获胜的概率与乙获胜的概率之比为(1-) D.甲获胜的概率为2一2p十 b2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=x3十a.x2一ax单调递增，则实数a的取值范围为 13.已知函数f(x)= 2zx≤1 ,若实数&满足f(f(a)=1,则满足条件的实数a的值 loga (x-1)1,z>1 有 个 数学第2页（共4页） 14.某产品的质量指标服从正态分布N(596,),质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为 使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技术，使得σ的值至多为 ·(参考数据： 若X~N(μ，g2),则P(|X-μl<3a)≈0.9974) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层，该研究所在棋拟高空低温云 雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合 格)的情况，整理得到如下2X2列联表：（单位：次） 无积冰 有积冰 合计 电热防冰涂层 70 30 100 硫水防冰涂层 85 15 100 合计 155 45 200 (1)分别求两种防冰涂层的合格率； (2)根据上述数据，依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析防冰涂层类型与防冰涂层有无积 冰是否有关联 n (ad-bc)? 附：X=(a+b(c+d(a+c)(b+d ,其中n=a十b十c十d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(本小题满分15分) 已知函数f（x)=2 sinxcosz-十(sinx十cosx)(sinx一cosx). (1)求关于x的不等式f(x)>≥1的解集； (2)若关于x的方程f(x)=m在[0，受]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。 数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知函数y一f(x)十e是偶函数，且函数y=号(e-c)-f)为奇函数。 (1)求f(x)的解析式； (2)若不等式f(x)+f(1一2x)<f(0)的解集为A. (i)求集合A; (i)设D=(x|x>0)∩A,若关于x的不等式a[f(x)]-bf(x)+a十b≤0(a∈R,b>0)在D 上恒成立，求实数。的取值范围. 18.(本小题满分17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin2A=asinB. (1)求A; (2)设点D在边BC上，CD=2DB,边AB上的中线CE与AD相交于点F. (i)若a为定值，且△ACF的最大面积为√3，求a; D若AD-号。，且c<6,证明：BF=a. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=1+ln-e~(a>0). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程； (2)证明：f(x)有唯一的极大值点； (3)设n为f(x)的极大值点，且f(x)≤-e.证明：a+(e-a),+2一1-2>≥0. 数学第4页（共4页）