专题 相似三角形及其应用 专项训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

相似三角形及其应用专项训练 考点1 相似三角形的判定 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列条件中，不能判定的是（ ） A．， B． C．，且 D．，且 2．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，四边形的对角线与相交于点O，且，则①；②．下列关于①②的判断正确的是（     ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，请补充一个条件：_______________，使． 9．（2026九年级上·全国·专题练习）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 10．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知于，于，于，，，，为上一点，当_____时，与相似． 11．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，在和中，．求证：． 12．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 考点2 相似三角形的性质 13.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 14．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（     ） A． B．4 C． D． 15.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为（     ）． A．10 B．12 C．13 D．24 16．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）中，E，F分别是的中点，连接，则______． 17．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在中，，，，，，则_____________ 18.（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）在中，．点在边上（点不与点重合），连结，作，与边交于点．当时，则___________ 19．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为________． 20．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 21．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 22．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； (2)应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 23．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 考点3 相似三角形的应用 24．（26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 25．（26-27九年级上·全国·单元复习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作．下面是《海岛算经》中第4道“望谷”的题目：如图，今有深谷，在谷底的上方沿谷边缘放置一个勾为6尺的角尺（，点在同一直线上），从点B处望谷底点M处时，视线经过角尺端点C处，测得为9.1尺；将角尺沿着射线方向向上平移30尺，从点处望谷底点M处时，视线经过上的点D，测得为8.5尺，则谷的深为______尺．（注：1丈尺，1尺寸） 26．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 山地救援折叠支撑架的相关问题 活动过程 模型抽象 山地救援使用一款可折叠支撑架，下图为支撑架侧面示意图．杆件相交于点O．B，D两点置于地面上，支撑架完全撑开后，加固横杆起到稳定作用，且． 数据信息 过点O作于点G，交于点H，经测量，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求证：； (2)当时，求AC的长度． 27．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 28．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 29．（26-27九年级上·全国·单元复习）在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔高，由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量．如图所示，首先，在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长，在同一时刻宝塔顶端A的影子落在地面上的点C处，此时测得，小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高，此时，宝塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上．已知，，点在同一水平线上，小泽的身高，求宝塔的塔高． 30．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）汉武帝雕像是汉城湖的标志．某数学小组在数学实践活动中尝试测量汉武帝雕像的高度（如图），小林通过调整自己的位置，站在地面上的点处，使得自己在太阳光下影子的末端与雕像影子的末端在点处重合；小丽在雕像和自己所站位置之间的点处放置平面镜，她不断调整自己的位置，当站在点处时恰好在平面镜里看到雕像基座点的像，小组成员经测量得小林身高米，影长米，米，小丽眼睛到地面的距离米，小丽与小林之间的距离米，通过查找资料得知雕像基座的高度为7米（米）．已知，，，点、、在同一条直线上，点、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该小组计算汉武帝雕像的高度．（平面镜的大小厚度均忽略不计） 31．（25-26九年级下·山东济宁·期末）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度． 32．（2026·江苏常州·中考真题）综合与实践：试衣镜的摆放 小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为． 【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方． (1)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长． 【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方． (3)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程）． 33．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似三角形及其应用专项训练 考点1 相似三角形的判定 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列条件中，不能判定的是（ ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项：，，符合两角分别相等的判定规则，可以判定 ； 选项：，符合三边成比例的判定规则，可以判定； 选项：，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，可以判定； 选项：，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，不能判定． 2．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求线段的长，相似三角形的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，判断即可． 【详解】解：根据勾股定理，， 由题意可知：， 所以，夹直角的两边的比为， A、该三角形中无直角，故本选项不符合题意； B、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项不符合题意； C、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项符合题意； D、该三角形中，夹直角的两边长为和，比为，故本选项不符合题意． 3．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 4．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】由题意得出，进而得出相似三角形即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似的三角形共有3对． 5．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意． 6．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，四边形的对角线与相交于点O，且，则①；②．下列关于①②的判断正确的是（     ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】首先由、是对顶角，可得，再结合已知及相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； 在与中，只有，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误． 7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得三角形的三边的长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似，判断解答即可． 【详解】解：在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上， ，，， A. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； B. 三角形的最小边的长为，较长的边长为3，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； C. 三角形的最小边的长为，较长的边长为4，最长的边长为， 此时， 故 三边对应成比例，此三角形与相似； D. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为4，此时， 三边不成比例，此三角形与不相似． 8．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，请补充一个条件：_______________，使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵．， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 9．（2026九年级上·全国·专题练习）在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】已知，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，即， ∵， ∴， 故判定依据为两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 10．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知于，于，于，，，，为上一点，当_____时，与相似． 【答案】1或6 【分析】设，则，根据“两角对应相等的三角形相似”易得，从而，列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ，， ， ，， ， ， ，即， ，解得，， 则当1或6时，与相似． 11．（2026九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 12．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)、、、 【分析】（1）证明即可； （2）根据两组角对应相等，两三角形相似求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，与相似的三角形有、、、． 考点2 相似三角形的性质 13.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】由可得，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ． ∵， ，， ， ． ， ， ． 14．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】设正方形的边长为，证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：设正方形的边长为， 则，， ∵四边形是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即正方形的边长是. 15.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为（     ）． A．10 B．12 C．13 D．24 【答案】A 【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，可证明，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 设，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得，即， ∴， ∴． 16．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）中，E，F分别是的中点，连接，则______． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理得到，证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在中，，，，，，则_____________ 【答案】 【分析】先求出，，得到，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解： ，，，， ，， ，， ， ， ， ，即， ． 18.（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）在中，．点在边上（点不与点重合），连结，作，与边交于点．当时，则___________ 【答案】或 【分析】根据三角形的外角定理可知，进而可知，根据相似三角形的性质构造方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴ ∴, ∴, ∵， ∴ ∴, ∴或． 19．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为________． 【答案】 【分析】由勾股定理求；由旋转的性质得、、、，且、，从而点在上；再用面积法求出平行线与间的距离，借助相似三角形求出． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵由绕点旋转得到， ∴，，，，且，． ∵， ∴点在线段上，且． ∵，在上， ∴平行线与间的距离等于点到的距离． ∵是的中点， ∴， ∴点到的距离为， 即与间的距离为． ∵，点在上， ∴点到的垂线段就是， ∴， ∴． 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴，． ∵、都在上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查旋转的性质与相似三角形的综合：旋转前后对应边相等、对应角相等；关键发现且，即点恰在线段上，从而用面积法求出平行线间的距离，再借助两组相似三角形求出． 20．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明：，， ． (2)48 【分析】（1）根据有两个角相等的三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 21．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 22．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； (2)应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）作辅助线构造平行线，可得，，，再根据三角形外角的性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴， ∴； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． （2）略 （3）解：连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，，即， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 23．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 【答案】(1)或或（填一个即可） (2)①②6 (3)证明：∵， ∴，， ∴，． ∴； (4) 【分析】（1）依据题意，根据相似三角形的判定，结合图形可以判断得解； （2）①依据题意，由，则，结合，从而可以计算得解； ②依据题意，由，则，结合，可得，则，从而计算可以得解； （3）通过已知，利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等，推导出且，从而证明； （4）通过作辅助线构造直角三角形和相似三角形，利用角度关系和勾股定理，逐步推导得出的长度． 【详解】（1）解：或或．理由如下： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴． （2）解：①由题意，∵， ∴． ∵， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴四边形的面积的面积； （3）略 （4）解：如图，过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 考点3 相似三角形的应用 24．（26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 25．（26-27九年级上·全国·单元复习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作．下面是《海岛算经》中第4道“望谷”的题目：如图，今有深谷，在谷底的上方沿谷边缘放置一个勾为6尺的角尺（，点在同一直线上），从点B处望谷底点M处时，视线经过角尺端点C处，测得为9.1尺；将角尺沿着射线方向向上平移30尺，从点处望谷底点M处时，视线经过上的点D，测得为8.5尺，则谷的深为______尺．（注：1丈尺，1尺寸） 【答案】 【分析】设尺，用含的式子表示出、，证明根据对应边成比例表示出，证明根据对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺，尺， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴谷的深为尺． 26．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 山地救援折叠支撑架的相关问题 活动过程 模型抽象 山地救援使用一款可折叠支撑架，下图为支撑架侧面示意图．杆件相交于点O．B，D两点置于地面上，支撑架完全撑开后，加固横杆起到稳定作用，且． 数据信息 过点O作于点G，交于点H，经测量，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求证：； (2)当时，求AC的长度． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形对应角相等可得，再利用内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）利用平行线等分线段定理可得，易证、，利用勾股定理可得，即、，由（1）可得，利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又由（1）知， ∴， ∴，解得：． 27．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【答案】(1)C (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； (3) 【分析】（1）（2）根据中心投影的特点可得，接着证明，利用相似三角形对应边成比例推出，然后由、、均为定值即可得出结论； （3）证明，，再根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例推出，，代入数据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （2）略 （3）解：∵，，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴此时投影的长度为． 28．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 29．（26-27九年级上·全国·单元复习）在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔高，由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量．如图所示，首先，在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长，在同一时刻宝塔顶端A的影子落在地面上的点C处，此时测得，小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高，此时，宝塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上．已知，，点在同一水平线上，小泽的身高，求宝塔的塔高． 【答案】宝塔的塔高为 【分析】由同一时刻同一地点太阳光平行得结合两个直角证，设，通过相似所列比例式用表示出，再表示出，然后证明，通过对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：同一时刻同一地点太阳光平行，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：宝塔的塔高为． 30．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）汉武帝雕像是汉城湖的标志．某数学小组在数学实践活动中尝试测量汉武帝雕像的高度（如图），小林通过调整自己的位置，站在地面上的点处，使得自己在太阳光下影子的末端与雕像影子的末端在点处重合；小丽在雕像和自己所站位置之间的点处放置平面镜，她不断调整自己的位置，当站在点处时恰好在平面镜里看到雕像基座点的像，小组成员经测量得小林身高米，影长米，米，小丽眼睛到地面的距离米，小丽与小林之间的距离米，通过查找资料得知雕像基座的高度为7米（米）．已知，，，点、、在同一条直线上，点、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该小组计算汉武帝雕像的高度．（平面镜的大小厚度均忽略不计） 【答案】米 【分析】证明，得出，求出米，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据光的反射定律可知：， ∴， ∴， ∴， 解得：米， ∴ （米）， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 答：汉武帝雕像的高度米． 31．（25-26九年级下·山东济宁·期末）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度． 【答案】 【分析】延长交于点 H，则四边形是矩形，可得，，，再根据勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质列方程可得，最后根据即可解答． 【详解】解： 如图：延长交于点 H，则四边形是矩形， ∴ ，，， 在中， 又∵， ∴， ∴， ，即 ， ， ． 32．（2026·江苏常州·中考真题）综合与实践：试衣镜的摆放 小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为． 【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方． (1)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长． 【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方． (3)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程）． 【答案】(1) (2)的长为． (3)；示意图：；方程： 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质． （1）根据镜面成像的概念，与关于对称，过点作直线的垂线，再在的垂线上截取即可． （2）过点作于点，交于点，设，则，．证明即可得到，解方程即可求得的长． （3）小丽能看到自己全身像的最近、最远距离分别是从镜子的下边沿刚好看到自己的脚（即Q，N，三点一线）和从镜子的上边沿刚好看到自己的头（即Q，M，三点一线）． 连接，交的延长线于点，由对顶角和轴对称的性质分别求得和的度数，即可求得的度数，在中解直角三角形即可求得的长，从而求得的值．连接，交的延长线于点，分别延长，交于点，连接，易证明为等边三角形，从而求得，的长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，易得，并求得，的长，从而可得，分别求得，，，的长，代入，即可得出关于的方程（方程表示形式不唯一，正确即可）． 【详解】（1）解：如图1，即为所求作． （2）解：如图2，过点作于点，交于点， 由题意，得，，， ∴四边形，，均为矩形． ，，，． 设，则， ，． 由题意，， ，． ， ， ，即， 解得，即的长为． （3）解：如图3，小丽和试衣镜下边沿的最远距离为，则眼睛、试衣镜下边沿、点在一条直线上，连接，交的延长线于点，则， ， ． 在中，， ，即． 如图4，小丽和试衣镜下边沿的最近距离为，则眼睛、试衣镜上边沿、点在一条直线上，连接，交的延长线于点，分别延长，交于点，连接，交于点． 点，关于直线对称， ，， ， ， 为等边三角形． 在中，， ． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，则，， ∴，四边形是矩形， ，，，． ， ， ， ， 关于的方程为．（方程表示形式不唯一，正确即可） 33．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $