22.3 相似三角形 题型专练 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 围绕相似三角形判定与性质，构建"概念-判定-性质-应用"四层逻辑体系，通过14类题型分层突破，典例覆盖核心考法，培养推理意识与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1题型/5题|对应边比例与角相等计算|从定义出发建立相似比认知| |判定方法|4题型/20题|平行线、两角、两边夹角、三边判定|判定定理逐步深化，强调条件严谨性| |性质应用|5题型/25题|高、中线、角平分线、周长、面积比|性质与相似比的关联推导，培养抽象能力| |综合应用|4题型/20题|判定与性质结合、实际测量问题|知识迁移解决复杂情境，发展模型意识|

华师大版（2024）九年级上册 22.3 相似三角形 题型专练 【题型1】相似三角形的对应边成比例，对应角相等 【典例】如图，△ABC∽△AED，且∠AED＝∠B，则△ABC与△AED的相似比等于（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若△ABC∽△DEF，且=，则的值为（　　） A.1：2 B. C.1：4 D.1：6 【举一反三2】已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，△ABC与△A″B″C″的相似比为，则△A′B′C′与△A″B″C″的相似比为（　　） A. B. C.或 D. 【举一反三3】在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，AB＝12cm，AC＝8cm，AD＝6cm，如果△ADE与△ABC相似，则AE＝　    　cm． 【举一反三4】如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 　　      ． 【举一反三5】如图，已知△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长． 【题型2】平行线中相似三角形的判定 【典例】如图，小明在横格作业纸（横线等距）上画了个“×”，与横格线交于A，B，C，D，O五点，如果线段AB＝6cm，则线段CD的长等于（　　） A.8cm B.9cm C.10cm D.12cm 【举一反三1】如图所示，两条平行线交△ABC两边AB，AC于D、E，交BA、CA延长线于F、G．下列结论中正确的是（　　） A. B.= C.= D.= 【举一反三2】如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角形有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 【举一反三3】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD＝1，AB＝4，则＝　　   ． 【举一反三4】平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 　    　． 【举一反三5】如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 【题型3】用两角相等判定两个三角形相似 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（　　） A.DE垂直平分AC B.△ABE∽△CBA C.BD2＝BC•BE D.CE•AB＝DE•CA 【举一反三1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC， 求证：△ADE∽△DBF． 证明　①又∵DF∥AC， ②∵DE∥BC， ③∴∠A＝∠BDF， ④∴∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△DBF． A.③②④① B.②④①③ C.③①④② D.②③④① 【举一反三2】如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件：　   　 ． 【举一反三3】已知：在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接ED．求证：△ABC∽△ADE． 【题型4】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 【典例】已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为（　　） A.3 B. C.3 或 D.以上都错 【举一反三1】满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形是（　　） A.∠A＝60°，AB＝5cm，AC＝10cm；∠A'＝60°，A'B'＝3cm，A'C'＝10cm B.∠A＝45°，AB＝4cm，BC＝6cm；∠D＝45°，DE＝2cm，DF＝3cm C.∠A＝∠D＝30°，AB＝8cm，BC＝4cm；DF＝6cm，FE＝3cm D.∠A＝∠A'，且AB•A'C'＝AC•A'B' 【举一反三2】如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．问：当AB等于　       　时，这两个直角三角形相似． 【举一反三3】如图，已知，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，连接DE． 求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）△ABC∽△AED． 【题型5】用三边成比例判定两个三角形相似 【典例】如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与△AMN相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC；②△ABD．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A.只有①是 B.只有②是 C.①和②都是 D.①和②都不是 【举一反三1】把△ABC经过下列变形，与△ABC相似的是（　　） A.各边长都加2 B.各边长都减2 C.各边长都乘以2 D.各边长都平方 【举一反三2】如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC相似的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝10，在AC边上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于 　        　． 【举一反三4】△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是 　   　． 【举一反三5】如图，已知O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点．求证：△ABC∽△DEF． 【举一反三6】如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角形，并说明理由． 【题型6】判定定理的综合题型 【典例】如图，点D．E分别在AC．AB上，且DE与BC不平行，添加一个条件，可得△ADE∽△ABC．不正确的是（　　） A.∠AED＝∠C B.∠ADE＝∠B C.= D.= 【举一反三1】下列判断中，不正确的有（　　） A.三边对应成比例的两个三角形相似 B.两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似 C.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D.有一个角是100°的两个等腰三角形相似 【举一反三2】如图1，在△ABC和△A′B′C′，D．D′分别是AB．A′B′上的一点，． （1）当==时，求证△ABC∽△A′B′C′． 证明途径可用框图2表示，请填写其中的空格． （2）当==时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由． 【举一反三3】如图，BD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点F，连接DE． （1）求证：△ADE∽△ABC． （2）下列结论中，所有正确结论的序号是 　    　． ①△ABD∽△ACE； ②△EBF∽△DCF； ③△BEC∽△CDB； ④△DEF∽△CBF． 【题型7】相似三角形对应的高等于相似比 【典例】如果两个相似三角形对应边中线之比是1：4，那么它们的对应高之比是（　　） A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：16 【举一反三1】若两个相似三角形的面积之比为9：16，则它们的对应高线之比为（　　） A.9：16 B.4：3 C.3：4 D.16：9 【举一反三2】如果两个三角形相似，一对对应角平分线的长分别是2和3，那么这两个三角形的对应高之比为（　　） A.2：3 B.4：9 C.3：5 D.： 【举一反三3】已知△ABC的三边长分别是5，12，13，面积为30，△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的最小边长为4，则△A′B′C′最大边上的高是　     　． 【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线．已知AD＝8cm，A′D′＝3cm，求△ABC与△A′B′C′对应高的比． 【举一反三5】等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3：1，已知斜边AB＝12cm． （1）求△A′B′C′斜边A′B′的长； （2）求△A′B′C′斜边A′B′上的高． 【题型8】相似三角形对应的中线等于相似比 【典例】已知△ABC∽△A′B′C′，面积之比为，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，则A'D'＝（　　） A. B.6 C. D.25 【举一反三1】若△ABC∽△DEF，且两三角形对应中线的比为4：3，则它们的面积之比为（　　） A.4：3 B.8：6 C.16：9 D.12：9 【举一反三2】若两个相似三角形面积之比为16：9，则它们的对应中线之比为　        　． 【举一反三3】如图，已知△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD、A′D′是对应的中线．求证：==k． 【题型9】相似三角形对应的角平分线等于相似比 【典例】如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为（　　） A.1：4 B.1：2 C.1：16 D. 【举一反三1】△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD：A′D′＝5：3，下面给出的四个结论中，正确的结论有（　　） ①=； ②=； ③=； ④=． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是对应角的角平分线，且BE＝12，则B1E1＝　   　． 【举一反三3】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，△ADE∽△ACB，AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．求的值． 【题型10】相似三角形的周长比等于相似比 【典例】已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（　　） A.5 B.10 C.40 D.80 【举一反三1】已知两个三角形相似，它们的对应高之比为2：3，则它们的周长比为（　　） A.2：3 B.2：5 C.4：9 D. 【举一反三2】如果两个三角形相似比是4：9，则它们的周长比是（　　） A.2：3 B.4：9 C.16：81 D.16：729 【举一反三3】如果两个相似三角形的对应中线的比为2：3，那么这两个相似三角形的周长的比为　        ． 【举一反三4】已知△ABC∽△DEF，且DE＝2cm，AB＝4cm，BC＝5cm，CA＝6cm，求△DEF的周长． 【题型11】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25：36，则△ABC与△DEF的对应边的比是（　　） A.5：6 B.6：5 C.25：36 D.36：25 【举一反三1】若△ABC与△DEF相似，且对应中线的比为1：7，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A. B.1：3.5 C.1：7 D.1：49 【举一反三2】两个相似三角形对应边上的中线的比为3：4，而它们的面积比为　       　． 【举一反三3】已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N＝1，则△ABC与△A1B1C1的面积比为　    　． 【举一反三4】已知两相似三角形对应角平分线的比为3：10，且大三角形的面积为400cm2，求小三角形的面积． 【题型12】相似三角形判定与性质的综合题 【典例】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上（不与点A，点C重合），点E在线段BC的延长线上，且BD＝DE．设，则（　　） A.y＝x B.y＝2x C. D.y＝x2 【举一反三1】如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，若AB＝2，，则CE：AC等于（　　） A.1：1 B.1：2 C. D. 【举一反三2】如图，点D，E分别在△ABC边AB，BC上，BD＝AD，BE＝CE，若∠A＝75°，∠BED＝60°，则∠B的度数为（　　） A.35° B.40° C.45° D.55° 【举一反三3】如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，如果，AB＝6，那么AE＝　 　． 【举一反三4】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E是BC的中点，AE交BD于点F． （1）若BD＝24cm，求OF的长； （2）若S△BEF＝6cm2，求▱ABCD的面积． 【题型13】利用相似三角形测高度 【典例】如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是（　　） A.74.2m B.77.8m C.79.6m D.79.8m 【举一反三1】如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（　　） A.1米 B.2.25米 C.2米 D.3米 【举一反三2】如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为 　　   ． 【举一反三3】小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为15cm的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端E，F，然后不断调整站立的位置，在点D处时恰好能看到该大树的顶端B和底部A．（图中所有点均在同一平面，点C，M，D在同一条直线上．）经测量，小明的手臂长MF＝50cm，点D到树底端的距离DA＝30m，求大树AB的高度． 【举一反三4】学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）AB为1.6m，离小李3.5m（BF＝3.5m）处的小张拿一根高4.6m（EF＝4.6m）的标杆直立地面，小张离教学楼14m（DF＝14m），此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼CD的高度． 【题型14】利用相似三角形测距离 【典例】如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．若DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，则点A与点B之间的距离为（　　） A.20mm B.30mm C.40mm D.50mm 【举一反三1】小亮从报纸上剪下的某产品的标志图案，最长边为2.2cm，最短边为1.8cm，有一天，小亮看到路边的灯箱广告上也有这个图案，他测量得到最短边为0.9m，于是便知道了灯箱广告上的最长边为（　　） A.4.4cm B.44cm C.110cm D.100cm 【举一反三2】一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　） A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 【举一反三3】如图是一个照相机成像的示意图．如果AB为35mm，点O到AB的距离是70mm，那么拍摄7m外的景物A'B'的长度是 　     　米． 【举一反三4】如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接ED，如果量出DE的长为25米，那么池塘宽AB为　　米． 【举一反三5】如图，某同学在A处看见河对岸有一大树P，想测得A与P的距离，他先从A向正西走90米到达P的正南方C处，再回到A向正南走30米到D处，再从D处向正东走到E处，使得E，A，P三点恰好在一条直线上，测得DE＝22.5米，求A与P的距离． 华师大版（2024）九年级上册 22.3 相似三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】相似三角形的对应边成比例，对应角相等 【典例】如图，△ABC∽△AED，且∠AED＝∠B，则△ABC与△AED的相似比等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵△ABC∽△AED， ∴相似比＝或或． 故选：D． 【举一反三1】若△ABC∽△DEF，且=，则的值为（　　） A.1：2 B. C.1：4 D.1：6 【答案】A 【解析】∵△ABC～△DEF，且=， ∴===， ∴EF＝2BC，DF＝2AC，DE＝2AB， ∴=． 故选：A． 【举一反三2】已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，△ABC与△A″B″C″的相似比为，则△A′B′C′与△A″B″C″的相似比为（　　） A. B. C.或 D. 【答案】D 【解析】∵△ABC与△A′B′C′的相似比为， ∴=， ∵△ABC与△A″B″C″的相似比为， ∴=， ∴△A′B′C′与△A″B″C″的相似比为： =＝， 故选：D． 【举一反三3】在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，AB＝12cm，AC＝8cm，AD＝6cm，如果△ADE与△ABC相似，则AE＝　    　cm． 【答案】4或9 【解析】①若∠AED对应∠B时， ＝， 即＝， 解得AE＝9； ②当∠ADE对应∠B时， ＝， 即＝， 解得AE＝4． 故答案为：4或9． 【举一反三4】如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 　　      ． 【答案】 【解析】∵AD＝2DB，AC＝4，BC＝3， ∴设DB＝x，则AD＝2x，AB＝3x， ∵△BCD∽△BAC， ∴＝＝，即＝＝， ∴x2＝3， 解得x＝或x＝﹣（负值舍去）， ∴＝， 解得CD＝． 故答案为：． 【举一反三5】如图，已知△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长． 【答案】解　（1）∵△ABC∽△ACD， ∴∠ACD＝∠B， ∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°， ∴∠ADC＝35°+35°＝70°； （2）∵△ABC∽△ACD， ∴＝， ∵AD＝3，BD＝5， ∴＝， 解得：AC＝2． 【题型2】平行线中相似三角形的判定 【典例】如图，小明在横格作业纸（横线等距）上画了个“×”，与横格线交于A，B，C，D，O五点，如果线段AB＝6cm，则线段CD的长等于（　　） A.8cm B.9cm C.10cm D.12cm 【答案】B 【解析】过点O作OM⊥AB于点M，延长MO交CD于点N，如图所示． ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴＝，即＝， ∴CD＝9cm． 故选：B． 【举一反三1】如图所示，两条平行线交△ABC两边AB，AC于D、E，交BA、CA延长线于F、G．下列结论中正确的是（　　） A. B.= C.= D.= 【答案】D 【解析】∵DE∥FG， ∴△ADE∽△AFG， ∴=． 故选：B． 【举一反三2】如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角形有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 【答案】C 【解析】∵DE∥BC， ∴△DMG∽△BCA，△DEA∽△BCA， ∵GF∥AC， ∴△BFG∽△BCA， 故选：C． 【举一反三3】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD＝1，AB＝4，则＝　　   ． 【答案】 【解析】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝． 故答案为：． 【举一反三4】平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 　    　． 【答案】相似 【解析】∵DE∥BC． ∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似）， 故答案为：相似． 【举一反三5】如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 【答案】解　∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE＝FC，DF＝EC ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴＝＝＝， ∵AC＝8，BC＝12， ∴AF＝2，DF＝3 ∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6， ∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3 ∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18． 答：四边形DECF的周长是18． 【题型3】用两角相等判定两个三角形相似 【典例】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（　　） A.DE垂直平分AC B.△ABE∽△CBA C.BD2＝BC•BE D.CE•AB＝DE•CA 【答案】D 【解析】由题意可得AB＝AD，AP平分∠BAC， ∴AE垂直平分BD， ∴BE＝DE， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（S.S.S.）， ∴∠ABE＝∠ADE＝90°， 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△EDC， ∴=， ∴CE•AB＝DE•CA， 故选：D． 【举一反三1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC， 求证：△ADE∽△DBF． 证明　①又∵DF∥AC， ②∵DE∥BC， ③∴∠A＝∠BDF， ④∴∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△DBF． A.③②④① B.②④①③ C.③①④② D.②③④① 【答案】B 【解析】②∵DE∥BC， ④∴∠ADE＝∠B， ①又∵DF∥AC， ③∴∠A＝∠BDF， ∴△ADE∽△DBF． 故选：B． 【举一反三2】如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件：　   　 ． 【答案】∠B＝∠A 【解析】添加∠B＝∠A， ∵∠B＝∠A，∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD∽△BOC， 故答案为：∠B＝∠A（答案不唯一）． 【举一反三3】已知：在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接ED．求证：△ABC∽△ADE． 【答案】证明　设BD与CE交于点O， ∵BD，CE分别是AC，AB边上的高， ∴∠BEC＝∠BDC， ∵∠BOE＝∠COD， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACE， ∴=， ∴=， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADE． 【题型4】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 【典例】已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为（　　） A.3 B. C.3 或 D.以上都错 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， 又∵∠PBF＝90°， ∴∠ABP＝∠CBF＝90°﹣∠CBP； 若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似， 则：①如图1中，=，即＝，解得BM＝； ②如图2中，=，即＝，解得BM＝3． 综上所述，满足条件的BM的值为3或． 故选：C． 【举一反三1】满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形是（　　） A.∠A＝60°，AB＝5cm，AC＝10cm；∠A'＝60°，A'B'＝3cm，A'C'＝10cm B.∠A＝45°，AB＝4cm，BC＝6cm；∠D＝45°，DE＝2cm，DF＝3cm C.∠A＝∠D＝30°，AB＝8cm，BC＝4cm；DF＝6cm，FE＝3cm D.∠A＝∠A'，且AB•A'C'＝AC•A'B' 【答案】D 【解析】A．∵∠A＝60°，AB＝5cm，AC＝10cm；∠A′＝60°，A′B′＝3cm，A′C′＝10cm， ∴∠A＝∠A′，＝，＝1， ∴≠， ∴△ABC和△A′B′C′不相似； B．∵∠A＝45°，AB＝4cm，BC＝6cm；∠D＝45°，DE＝2cm，DF＝3cm， ∴∠A＝∠D，＝＝2， 但是∠A不是夹角， ∴不相似； C．∵∠A＝∠D＝30°，AB＝8cm，BC＝4cm；DF＝6cm，FE＝3cm， ∴＝＝， 又∵∠A．∠D不是夹角， ∴△ABC△DFE不相似； D．∵∠A＝∠A′，且AB•A′C′＝AC•A′B′， ∴AB：A′B′＝AC：A′C′， ∴△ABC和△A′B′C′相似． 故选：D． 【举一反三2】如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．问：当AB等于　       　时，这两个直角三角形相似． 【答案】3或3 【解析】∵∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2， ∴CD＝＝，设AB＝x， 当AC：AD＝AB：AC时，△ABC∽△ACD ∴=，解得AB＝3； 当AB：AC＝AC：CD时，△ABC∽△CAD， ∴＝，解得AB＝3 ∴AB＝3或3． 故答案为：3或3． 【举一反三3】如图，已知，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，连接DE． 求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）△ABC∽△AED． 【答案】证明　（1）∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， ∵∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD； （2）∵△ABE∽△ACD， ∴＝， ∴＝， ∵∠DAE＝∠CAB， ∴△ABC∽△AED． 【题型5】用三边成比例判定两个三角形相似 【典例】如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与△AMN相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC；②△ABD．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A.只有①是 B.只有②是 C.①和②都是 D.①和②都不是 【答案】B 【解析】由图形可知，AM＝2，AN＝4， MN＝， AB＝， AC＝＝3， BC＝， AD＝， BD＝＝4， ∵===， ∴△ABD∽△MAN； ∵， ∴△ABC与△AMN不相似， 故选：B． 【举一反三1】把△ABC经过下列变形，与△ABC相似的是（　　） A.各边长都加2 B.各边长都减2 C.各边长都乘以2 D.各边长都平方 【答案】C 【解析】△ABC的边长分为AB、BC、AC， 则，=，=， 故选：C． 【举一反三2】如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC相似的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】如图， 根据勾股定理得，AD＝＝，AC＝＝，BC＝＝，BE＝＝，CF＝＝， 又∵AB＝2，CD＝2，BF＝1， ∴＝1，＝1，＝1，＝＝，＝＝，＝＝，＝，＝＝，＝＝， ∴＝＝，＝＝，＝＝， ∴△ABC∽△CDA，△ABC∽△BCE，△ABC∽△CBF， 故选：C． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝10，在AC边上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于 　        　． 【答案】12或 【解析】∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED， ∴＝或＝， ∵AD＝10，AB＝15，AC＝18， ∴＝或＝， 解得：AE＝12或． 故答案为：12或． 【举一反三4】△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是 　   　． 【答案】27 【解析】设△DEF其余两边长为x，y， 则＝＝， 解得：x＝6，y＝9， 所以△DEF的周长是6+9+12＝27， 故答案为：27． 【举一反三5】如图，已知O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点．求证：△ABC∽△DEF． 【答案】证明　∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点， ∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC， 即＝＝， ∴△ABC∽△DEF． 【举一反三6】如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角形，并说明理由． 【答案】解　△AEF∽△CEA，相似比为， 理由如下： 设正方形的边长为x， 由勾股定理可求得AE＝x，AF＝x，AC＝，且EF＝x，EC＝2x， ∴＝＝＝， ∴△AEF∽△CEA，且相似比为． 【题型6】判定定理的综合题型 【典例】如图，点D．E分别在AC．AB上，且DE与BC不平行，添加一个条件，可得△ADE∽△ABC．不正确的是（　　） A.∠AED＝∠C B.∠ADE＝∠B C.= D.= 【答案】D 【解析】A．B中的条件，又∠DAE＝∠BAC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定△ADE∽△ABC，故A．B不符合题意； C．=，又∠DAE＝∠BAC，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ADE∽△ABC，故C不符合题意； D．=，两边对应成比例，但夹角∠AED和∠C不一定相等，不能判定△ADE∽△ABC，故D符合题意． 故选：D． 【举一反三1】下列判断中，不正确的有（　　） A.三边对应成比例的两个三角形相似 B.两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似 C.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D.有一个角是100°的两个等腰三角形相似 【答案】B 【解析】A．三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意； B．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意； C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意； D．有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意； 故选：B． 【举一反三2】如图1，在△ABC和△A′B′C′，D．D′分别是AB．A′B′上的一点，． （1）当==时，求证△ABC∽△A′B′C′． 证明途径可用框图2表示，请填写其中的空格． （2）当==时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由． 【答案】（1）证明　∵， ∴=， ∵==， ∴==， ∴△ADC∽△A′D′C′， ∴∠A＝∠A′， ∵=， ∴△ABC∽△A′B′C′． （2）解　△ABC与△A′B′C′相似，理由如下： ∵ ∴ 即= ∴= 又==， ∴==， ∴△BDC∽△B′D′C′， ∴∠DBC＝∠D′B′C′， 又=， ∴△ABC∽△A′B′C′． 【举一反三3】如图，BD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点F，连接DE． （1）求证：△ADE∽△ABC． （2）下列结论中，所有正确结论的序号是 　    　． ①△ABD∽△ACE； ②△EBF∽△DCF； ③△BEC∽△CDB； ④△DEF∽△CBF． 【答案】（1）证明　∵BD，CE是△ABC 的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACE， ∴=， ∴=， 又∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， （2）解　∵∠AEC＝∠ADB＝90°，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACE， ∵∠BEF＝∠CDF＝90°，∠BFE＝∠CFD， ∴△EBF∽△DCF； 在△BEC与△CDB中只有∠BEC＝∠CDB＝90°，故不能判定△BEC∽△CDB； ∵△EBF∽△DCF， ∴=， ∴=， ∵∠DFE＝∠BFC， ∴△DEF∽△CBF． 故答案为：①②④． 【题型7】相似三角形对应的高等于相似比 【典例】如果两个相似三角形对应边中线之比是1：4，那么它们的对应高之比是（　　） A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：16 【答案】B 【解析】∵两个相似三角形的对应中线之比是1：4， ∴其相似比等于1：4， ∴它们的对应高之比是1：4． 故选：B． 【举一反三1】若两个相似三角形的面积之比为9：16，则它们的对应高线之比为（　　） A.9：16 B.4：3 C.3：4 D.16：9 【答案】C 【解析】∵两个相似多边形的面积之比为9：16， ∴相似比是3：4， 又∵相似多角形对应高的比等于相似比， ∴对应边上高的比为3：4． 故选：C． 【举一反三2】如果两个三角形相似，一对对应角平分线的长分别是2和3，那么这两个三角形的对应高之比为（　　） A.2：3 B.4：9 C.3：5 D.： 【答案】A 【解析】∵两个三角形相似，一对对应角平分线的长分别是2和3， ∴它们的相似比为：2：3， ∴两个相似三角形对应高线的比是2：3， 故选：A． 【举一反三3】已知△ABC的三边长分别是5，12，13，面积为30，△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的最小边长为4，则△A′B′C′最大边上的高是　     　． 【答案】 【解析】设△ABC最大边上的高为h，△A′B′C′最大边上的高h′， 则×13h＝30， 解得h＝， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴＝， 解得h′＝×＝． 故答案为：． 【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线．已知AD＝8cm，A′D′＝3cm，求△ABC与△A′B′C′对应高的比． 【答案】解　∵△ABC∽△A'B'C'，是它们的对应角平分线，AD＝8cm，A′D′＝3cm， ∴△ABC与△A'B'C'的对应高的比＝AD：A′D′＝8：3． 【举一反三5】等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3：1，已知斜边AB＝12cm． （1）求△A′B′C′斜边A′B′的长； （2）求△A′B′C′斜边A′B′上的高． 【答案】解　（1）∵等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3：1， ∴AB：A′B′＝3：1， ∵Rt△ABC的斜边AB＝12cm， ∴△A′B′C′斜边A′B′＝4cm； （2）∵△A′B′C′是等腰直角三角形， ∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝△A′B′C′斜边A′B′上的中线， ∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝2cm． 【题型8】相似三角形对应的中线等于相似比 【典例】已知△ABC∽△A′B′C′，面积之比为，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，则A'D'＝（　　） A. B.6 C. D.25 【答案】B 【解析】由题意得，=． ∴=． ∴A′D′＝6． 故选：B． 【举一反三1】若△ABC∽△DEF，且两三角形对应中线的比为4：3，则它们的面积之比为（　　） A.4：3 B.8：6 C.16：9 D.12：9 【答案】C 【解析】∵△ABC∽△DEF，且两三角形对应中线的比为4：3， ∴它们的相似比为4：3， 则它们的面积之比为16：9， 故选：C． 【举一反三2】若两个相似三角形面积之比为16：9，则它们的对应中线之比为　        　． 【答案】4：3 【解析】∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方， 两个相似三角形的面积之比为16：9， ∴它们对应边上的中线之比为4：3． 故答案为：4：3． 【举一反三3】如图，已知△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD、A′D′是对应的中线．求证：==k． 【答案】证明　∵△ABC∽△A′B′C′， ∴==k，∠B＝∠B'， ∵AD、A'D'分别是△ABC、△A′B′C′的中线， ∴B′D′=B′D′，BD=BC， ∴====k， ∴△ABD∽△A′B′D′， ∴==k． 【题型9】相似三角形对应的角平分线等于相似比 【典例】如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为（　　） A.1：4 B.1：2 C.1：16 D. 【答案】A 【解析】∵两个相似三角形的周长比为1：4， ∴两个相似三角形的相似比为1：4， ∴它们的对应角平分线的比为1：4． 故选：A． 【举一反三1】△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD：A′D′＝5：3，下面给出的四个结论中，正确的结论有（　　） ①=； ②=； ③=； ④=． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD：A′D′＝5：3， ∴===，==，故①②正确； ④错误； ==，故③错误； 故选：B． 【举一反三2】已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是对应角的角平分线，且BE＝12，则B1E1＝　   　． 【答案】9 【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是， ∴相似比为， ∴＝， ∵BE＝12， ∴B1E1＝9， 故答案为：9． 【举一反三3】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，△ADE∽△ACB，AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．求的值． 【答案】解　∵△ADE∽△ACB， ∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠BAF＝∠CAF， ∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC， ∴∠AGD＝∠AFC， ∴△AGD∽△AFC， ∴＝＝， ∴＝． 【题型10】相似三角形的周长比等于相似比 【典例】已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（　　） A.5 B.10 C.40 D.80 【答案】C 【解析】∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝AB：DE＝3：6＝1：2， ∵△ABC的周长为20， ∴△DEF的周长为40． 故选：C． 【举一反三1】已知两个三角形相似，它们的对应高之比为2：3，则它们的周长比为（　　） A.2：3 B.2：5 C.4：9 D. 【答案】A 【解析】∵两个相似三角形的对应高之比为2：3， ∴两个相似三角形的相似比为2：3， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比等于2：3． 故选：A． 【举一反三2】如果两个三角形相似比是4：9，则它们的周长比是（　　） A.2：3 B.4：9 C.16：81 D.16：729 【答案】B 【解析】∵两个三角形相似比是4：9， ∴它们的周长比是4：9， 故选：B． 【举一反三3】如果两个相似三角形的对应中线的比为2：3，那么这两个相似三角形的周长的比为　        ． 【答案】2：3 【解析】∵两个相似三角形的对应中线的比为2：3， ∴其相似比为2：3， ∴这两个相似三角形的周长的比为2：3． 故答案为：2：3． 【举一反三4】已知△ABC∽△DEF，且DE＝2cm，AB＝4cm，BC＝5cm，CA＝6cm，求△DEF的周长． 【答案】解　△ABC的周长＝AB+BC+CA＝4+5+6＝15（cm）， ∵△ABC∽△DEF， ∴＝＝＝2， ∴△DEF的周长＝×15＝（cm）． 【题型11】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25：36，则△ABC与△DEF的对应边的比是（　　） A.5：6 B.6：5 C.25：36 D.36：25 【答案】A 【解析】∵△ABC与△DEF的面积比为25：36， ∴△ABC与△DEF的对应边的比5：6， 故选：A． 【举一反三1】若△ABC与△DEF相似，且对应中线的比为1：7，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A. B.1：3.5 C.1：7 D.1：49 【答案】B 【解析】∵△ABC与△DEF相似，且对应中线的比为1：7， ∴相似比为1：7， ∴△ABC与△DEF的面积比是1：49， 故选：D． 【举一反三2】两个相似三角形对应边上的中线的比为3：4，而它们的面积比为　       　． 【答案】9：16 【解析】∵相似三角形对应边上的中线的比为3：4，即吸收比为3：4， 而相似三角形的面积比等于其相似比的平方比， ∴其面积比为9：16． 故答案为：9：16． 【举一反三3】已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N＝1，则△ABC与△A1B1C1的面积比为　    　． 【答案】9：1 【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N＝1， ∴△ABC与△A1B1C1的相似比为3：1， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比，9：1． 故答案为：9：1． 【举一反三4】已知两相似三角形对应角平分线的比为3：10，且大三角形的面积为400cm2，求小三角形的面积． 【答案】解　设小三角形的面积为S， ∵两相似三角形对应角平分线的比为3：10， ∴两相似三角形的相似比为3：10， ∴=， ∴S＝36， 即小三角形的面积为36cm2 【题型12】相似三角形判定与性质的综合题 【典例】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上（不与点A，点C重合），点E在线段BC的延长线上，且BD＝DE．设，则（　　） A.y＝x B.y＝2x C. D.y＝x2 【答案】A 【解析】过点D作DF∥BC， ∴∠FDB＝∠DBE， ∵AB＝AC， ∴AF＝AD， ∴∠AFD＝∠ADF＝∠ACB， ∴∠BFD＝∠DCE， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠E＝∠FDB， ∴△BDN≌△DEC（A.A.S.）， ∴CE＝DF， ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ACB， ∴ ∵= y， ∴y＝x． 故选：A． 【举一反三1】如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，若AB＝2，，则CE：AC等于（　　） A.1：1 B.1：2 C. D. 【答案】C 【解析】∵AB∥DE， ∴∠A＝∠E，∠B＝∠D， ∴△CDE∽△CBA， ∴． ∵AB＝2，， ∴CE：AC＝：2． 故选：C． 【举一反三2】如图，点D，E分别在△ABC边AB，BC上，BD＝AD，BE＝CE，若∠A＝75°，∠BED＝60°，则∠B的度数为（　　） A.35° B.40° C.45° D.55° 【答案】C 【解析】∵BD＝AD，BE＝CE， ∴＝，＝， ∴BD＝BA＝BA，BE＝BC＝BC， ∴＝， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAC， ∵∠A＝75°，∠BED＝60°， ∴∠BDE＝∠A＝75°， ∴∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠BED＝180°﹣75°﹣60°＝45°， 故选：C． 【举一反三3】如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，如果，AB＝6，那么AE＝　 　． 【答案】4 【解析】∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∵， ∴， ∴＝， ∴DE＝4， ∴AE＝DE＝4． 故答案为：4． 【举一反三4】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E是BC的中点，AE交BD于点F． （1）若BD＝24cm，求OF的长； （2）若S△BEF＝6cm2，求▱ABCD的面积． 【答案】解　（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，OB＝0.5BD＝12， 在▱ABCD中，∵点E是BC的中点， ∴F是△ABC的重心， ∴OF＝OB＝4cm． （2）∵BE：DA＝BF：DF，∠EBF＝∠ADF ∴△BEF∽△DAF， ∴S△BEF：S△DAF＝1：4， ∵S△BEF＝6cm2， s△DAF＝24cm2， 又BF：FD＝1：2， ∴S△ABF＝0.5S△ADF＝12cm2， ∴s△ABD＝36cm2， ∴S▱ABCD＝72cm2． 【题型13】利用相似三角形测高度 【典例】如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是（　　） A.74.2m B.77.8m C.79.6m D.79.8m 【答案】B 【解析】在△DEF和△DCB中， ∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°， ∴△DEF∽△DCB， ∴， 即＝， 解得：BC＝76（m）， ∵AC＝1.8m， ∴AB＝AC+BC＝1.8+76＝77.8（m）， 即步云阁77.8m， 故选：B． 【举一反三1】如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（　　） A.1米 B.2.25米 C.2米 D.3米 【答案】D 【解析】构造几何模型如图： 依题意知DE＝2米，BC＝2+1＝3（米），FG＝1.5米， 由△DAE∽△BAC得，即， 解得AF＝3， 答：灯泡距离桌面3米． 故选：D． 【举一反三2】如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为 　　   ． 【答案】8m 【解析】根据题意，作△EFC； 树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝4 m，FD＝16 m， ∵∠ECD+∠FCD＝90°，∠CED+∠ECD＝90°， ∴∠CED＝∠FCD， 又∵∠EDC＝∠FDC＝90°， ∴Rt△EDC∽Rt△FDC， ∴； 即DC2＝ED•FD， 代入数据可得DC2＝64， 解得DC＝8． 故答案为：8m． 【举一反三3】小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为15cm的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端E，F，然后不断调整站立的位置，在点D处时恰好能看到该大树的顶端B和底部A．（图中所有点均在同一平面，点C，M，D在同一条直线上．）经测量，小明的手臂长MF＝50cm，点D到树底端的距离DA＝30m，求大树AB的高度． 【答案】解　∵∠CMF＝∠CDA＝90°，∠FCM＝∠ACD， ∴△CMF∽△CDA， ∴， ∵MF＝50cm＝0.5m，DA＝30m， ∴， ∵∠ECF＝∠BCA，∠B＝∠CEF， ∴△CEF∽△CBA， ∴＝， ∵EF＝15cm＝0.15m， ∴BA＝9m， 答：大树AB的高度为9m． 【举一反三4】学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）AB为1.6m，离小李3.5m（BF＝3.5m）处的小张拿一根高4.6m（EF＝4.6m）的标杆直立地面，小张离教学楼14m（DF＝14m），此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼CD的高度． 【答案】解　如图，过点A作AM⊥CD于点M，交EF于点N， ∵EF∥CD， ∴AN⊥EF， ∵AB＝1.6， ∴AB＝NF＝MD＝1.6， ∵EF＝4.6， ∴EN＝3， ∵BF＝3.5，FD＝14， ∴AN＝3.5，MN＝14， ∵EN∥CM， ∴△AEN∽△ACM， ∴， 即， 解得CM＝15， ∴CD＝CM+DM＝15+1.6＝16.6（米）， 答：教学楼CD的高度为16.6米． 【题型14】利用相似三角形测距离 【典例】如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．若DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，则点A与点B之间的距离为（　　） A.20mm B.30mm C.40mm D.50mm 【答案】B 【解析】连接AB交直线OC于点E，得AB⊥OC，AE＝BE， ∴OC＝＝＝26（mm）， ∵这个侧面图是轴对称图形， ∴∠AOE＝∠COD， ∵∠OEA＝∠ODC＝90°， ∴△OAE∽△OCD， ∴， 即， ∴AE＝15（ mm）， ∴AB＝2AE＝30 （mm）． 故选：B． 【举一反三1】小亮从报纸上剪下的某产品的标志图案，最长边为2.2cm，最短边为1.8cm，有一天，小亮看到路边的灯箱广告上也有这个图案，他测量得到最短边为0.9m，于是便知道了灯箱广告上的最长边为（　　） A.4.4cm B.44cm C.110cm D.100cm 【答案】B 【解析】设灯箱广告上的最长边为xm． ∴ ∴x＝＝1.1m＝110（cm）． 故选：C． 【举一反三2】一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　） A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 【答案】A 【解析】长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm的木条不能作为一边， 设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120）， 由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x+y＞120cm， 当长60cm的木条与100cm的一边对应，则＝， 解得：x＝45，y＝72； 当长60cm的木条与120cm的一边对应，则＝， 解得：x＝37.5，y＝50． ∴有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段． 故选：B． 【举一反三3】如图是一个照相机成像的示意图．如果AB为35mm，点O到AB的距离是70mm，那么拍摄7m外的景物A'B'的长度是 　     　米． 【答案】3.5 【解析】过O作OH⊥AB于H，延长HO交A′B′于H′， ∵AB∥A′B′， ∴OH′⊥A′B′， ∴△ABO∽△A′B′O， ∴， ∴， 解得：A′B′＝3.5， 答：拍摄7m外的景物A'B'的长度是3.5米， 故答案为：3.5． 【举一反三4】如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接ED，如果量出DE的长为25米，那么池塘宽AB为　　米． 【答案】50 【解析】∵CD＝CA，CE＝CB ∴CD：AC＝CE：CB＝1：2 ∵∠ACB＝∠DCE ∴△ACB∽△DCE ∴AB：ED＝AC：CD＝2：1 ∵DE＝25米 ∴AB＝50米． 故答案为：50． 【举一反三5】如图，某同学在A处看见河对岸有一大树P，想测得A与P的距离，他先从A向正西走90米到达P的正南方C处，再回到A向正南走30米到D处，再从D处向正东走到E处，使得E，A，P三点恰好在一条直线上，测得DE＝22.5米，求A与P的距离． 【答案】解　由题意可得：AC∥DE， ∴∠PAC＝∠E， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ACP∽△EDA， ∴， ∵AC＝90m，AD＝30m，DE＝22.5m， ∴PC＝120m， ∴AP＝＝＝150（m）， 答：A与P的距离为150m． 学科网（北京）股份有限公司 $