专题03 相似三角形的性质（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形性质的5类核心题型，从基础应用到综合攻坚，构建“性质理解-技能应用-综合迁移”的递进式训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|5类题型（含24道例题）|高频（性质计算/综合）、难（证明/动点）、重（网格作图）|从性质直接应用（边长/周长/面积比）到推理证明，再到动态问题与网格操作，形成完整能力链| |综合攻坚·知能拔高|7道选择+4道填空+5道解答|综合应用（跨知识点结合/复杂情境）|深化性质与判定综合，结合几何变换/实际情境，培养几何直观与推理意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形的性质 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用相似三角形的性质求解（高频） 题型2证明三角形对应线段成比例（难） 题型3在网格中画与已知三角形相似的三角形（重） 题型4相似三角形动点问题（难） 题型5相似三角形的判定与性质综合（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用相似三角形的性质求解 1.如图，D,E分别是AB,AC上的点，△ADE一△ABC,相似比是 A D B (1)若DE=4cm,求BC的长. (2)若AE=7cm,求EC的长， 2.已知△ABC一△DEF,面积比为1：4，AC的对应边为DF,AC=2,则DF的长为 g,△ABC~△ABC,ABAB边上的中线CD=4cm,△ABC的周K为20cm,△ABC的面 积是64cm2,求： (①)AB边上的中线C'D'的长： (2)△ABC的周长： (3)△ABC的面积. 4.一个三角形的边长分别为4,5,6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.若△ABC一△DEF,且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为() A.3:2 B.23 C.4:9 D.9:16 ◆题型2证明三角形对应线段成比例 6.已知，如图，四边形ABCD中，ADBC,∠A=90°，BD⊥CD.求证：BD=AD·BC. A D B 7.如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC一△AED,则下列各式成立的是() E BD_CE A. B.AB·AD=AE·AC AD AE AB BC C.AD DE D.AD·DE=AE·EC 8.如图，在正方形ABCD中，M是AB边的中点，E是AD边上的一点，且EMLCM,求证： A E D B (1)△AEM-△BMC: EM1 (2CM-2 (3)CM平分∠BCE. 9.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形 对应边上的高为 厘米 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3在网格中画与已知三角形相似的三角形 10.图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1,点A、B、C、D均在格点上.在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求 画图，保留作图痕迹，不要求写出画法， B D D 图① 图② 图③ (1)如图①， BE= CE (2)如图②，在BC上找一点F,使BF=2, (3)如图③，在AC上找一点M,连结BM、DM,使△ABM一△CDM 11.如图1，△ABC的三个顶点都在格点上，请在图2的网格内画出一个△A1B1C1,使 △A1B1C1一△ABC,相似比为2：1，且各顶点都在格点上 - 图1 图2 12.如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）. B 图1 (1)在图2中画出一个格点△A1B1C1,使△A1BC1一△ABC,周长之比为2：1，并直接写出△A1BC1 的面积 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 (2)在图3中画出一个格点△A2B2C2,使△A2B2C2一△ABC,面积之比为2：1，并直接写出△A2B2C2 的周长 图3 13.如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正 方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段AD与BC交于点P. 图1 图2 图3 PA )图1中PD的值为 (2)请仅用无刻度的直尺作图. ①请在图2中以线段BD为一边，画一个格点△DBE,使它与△ABC相似： ②请在图3中画一个最大的格点△A1B,C1,使它与△ABC相似， 14.如图，方格纸中小正方形的边长均相等.△ABC和△DEP的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上， 点P与点P1、P2、P3、P4四点中的一个重合，若△ABC一△PDE且两三角形不全等，则P点所在的格 点为() 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.P B.P2 C.P3 D.P ◆题型4相似三角形动点问题 15.如图，AB=16cm,AC=12cm,动点P,Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P 从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直运动到点A为止（点P到达点C 后，点Q继续运动). (1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长： (2)当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？ 16.如图所示，在三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,点D从点A出发以1cms的速度运动到点B 停止，点E从点C出发以2Cms的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A,D,E为顶 点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s. B E← 17.如图，直角梯形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，AD=3,BC=6,点E在高AB上滑动，若 △DAE与△EBC相似，则当AE=2时，EB=() B A.4 B.6 C.4或9 D.4或6 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.如图，△ABC中，AB=8cm,AC=16cm,点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从 C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动.其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动.那么， 当以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是· P l9.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=3cm,点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，两点同时出发，速度均为1cm/s,设运动时间为ts(0<t<4). D (1)当以B,P,Q为顶点的三角形与△DCQ相似时，求t的值： 21 (②)当t取何值时，四边形PBCQ的面积等于cm? (3)是否存在某一时刻t,使CQ⊥PQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. ◆题型5相似三角形的判定与性质综合 20.如图，AC平分∠BAD,∠B=∠ACD,若AB=8,AC=6,求AD的长. 21.如图，∠1=∠ AB_AC B=∠D,求证：ADAE 22.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边CD,AD上的点，AE=BF,AE,BF交于点H. 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AE⊥BF: (2)若AB=4,CE=1,直接写出FH的长. 23.如图(I),在口ABCD中，BD=BC,点E从D运动至点B,过点E作EF‖AD交CD于点F, EH⊥BC于点H,过点F作FG⊥BC于点G,设DE=x,FG-EF=y,已知y是关于x的一次函数，图象 如图(2)所示，①BC= ②当x=5时，四边形EFGH的面积为 H G 16题图(1) 图(2) 24.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD,DE‖BC交AC于E,则下列结论不正确的是 () A.BC=3DE B.C△ADE 3 C.△ADE-△ABC D.SAADE=3 综合攻坚知能拔高 一、单选题 AP_AQ 1.如图，在△ABC中，P,Q分别为AB、AC边上的点，且满足AC=AB 根据上述信息，嘉嘉和淇 淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接PQ,则PQBC 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 淇淇说：△AQP一△ABC. 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是() A.两人都正确 B.两人都错误 C.嘉嘉正确，淇淇错误 D.嘉嘉错误，淇淇正确 2.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,正方形DEFG的顶点E、F在△ABC内，顶点D、G分 别在AB、AC上，AD=AG=2.5,则DG的长为() A.3 B.2 C.3 n 3.如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A,B的连线与钉点 C,D的连线交于点E,则AE的长为() E B 4V5 B.V5 c.2V5 35 A.5 D. 4.如图，在口ABCD中，E为CD上一点，连接AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF:S△ABr=4:25,则 SADEF:SAADF=() D A.23 B.2:5 C.3:5 D.3:2 5.如图，在边长为1的小正方形网格中，AB,CD相交于点O,点A,B,C,D都在这些小正方形网格 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC+OC+OA 的格点上，则DB+OB+OD的值为() D 0 B A.2 B.4 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=8,P为BC上一点，连接PA,以PA,PC为邻 边作平行四边形PAQC,连接PQ交AC于点O,则PQ的最小值为() 16 4V5 A.5 B.5 c.5 、8V5 D.5 7.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在对角线BD上，且BE=7,连接AE并延长交DC于点 F,则SADEF:S△BEA等于() B A.3:7 B.7:10 c.9:49 D.49:100 二、填空题 8.如图，一架无人机在高30m的点M处可探测到的水平地面区域的宽度AB=80m,再垂直上升15m, 到达点N处，可探测到的水平地面区域的宽度为CD,已知∠AMB=∠CND,MA=MB,NC=ND, 则CD= m 9/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 15m 30m C-1 BDY... 777777777777777 9.如图，在△ABC中，AB=8,D,E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B,DE=4,AD=5,则 BC的长为 A E D B C I0.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE,垂足为G.若EG=3,则正方 形ABCD的边长为 B 1.如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG,阴影部分面积记为S,若=号 SAABC=16,则S= D G B 三、解答题 12.结合图形，解答下列各题： 10/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)已知：在口ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AD,BC和对角线AC相交于点E,F,O. 求证：四边形AFCE是菱形.（自己画图并完成证明） (2)如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC上的点，且DE‖BC, EF‖AB,AD:DB=2:3,BC=20cm,求BF的长， 13.根据以下探究完成相关题目： G E B (图①) (图②) (图③) K D (图④) (图⑤) (①)探究一：如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=10.在该三角形内部排列边长为1.2的小 正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与BC平行），最多能排列多少个小正方形？我 们不妨这样思考： EF AE 如图②，排列第一层时，因为EB=1.2,所以AE=4-12=2.8,易得△AEF一△ABC,所以BCAB 解得EP=7.因为712=5名，所以第一层最多排列5个 GH_AG 如图③，排列第二层时，因为GB=2.4,所以AG=4-241.6,易得△AGH一△ABC,所以BCAB 解得GH=4.因为41.2=3子，所以第二层最多排列3个，按上述思路，可求得在Rt△ABC内部能排列的 小正方形个数最多为 个 (2)探究二：如图④，在梯形ABCD中，AB‖CD,∠B=90°，AB=4,BC=10,CD=2.4.在该梯形 内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与BC平行）·在梯形 ABCD内部能排列的小正方形个数最多为 个： 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)探究三：如图⑤，在五边形ABCJK中，AB‖CJ,AK‖BC,∠B=90°，AB=4,BC=10, CJ=1.2,AK=3.6,在该五边形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠， 且一边与BC平行).在五边形ABCJK内部能排列的小正方形个数最多为 个 14.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结AF并延长交边 CD于点M. M D E B (I)求证：△MFC一△MCA (2)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的面积. CE (③)直接写出BE的值。 15.综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进 行探究，下面是他们的探究过程， D G B 图1 图2 图3 (1)【数学思考】 如图1，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,DE⊥CF DE 于点G,则CF (2)【深入探究】 如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AD,BC于点E,F,HG分别交AB,CD于点H,G. HGBC 求证：EFAB (3)【拓展延伸】 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，点D在边BC上，连接AD,过点C作CE⊥AD于点E,且CE的 12/13 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长线交AB于点F.若AC=BF=6,BC=8,请求出CD的长. 13/13学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形的性质 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用相似三角形的性质求解（高频） 题型2证明三角形对应线段成比例（难） 题型3在网格中画与已知三角形相似的三角形（重） 题型4相似三角形动点问题（难） 题型5相似三角形的判定与性质综合（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用相似三角形的性质求解 1.(1)BC=10cm: (2)EC的长为10.5cm 2.4 3.(1)8cm (2)40cm (3)16cm2 4.60 5.B ◆题型2证明三角形对应线段成比例 6.证明：AD‖BC, .∠ADB=∠DBC, ∠A=90°，BD⊥CD, .∠A=∠BDC=90°， ∴.△ABD一△DCB: 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD AD BC BD ∴.BD2=ADBC 7.B 8.(1)见解析： (2)见解析； (3)见解析 9.3 ◆题型3在网格中画与已知三角形相似的三角形 10.(02 B E (2) 图② D (3) 图③ 11.如图所示，△A1BC1即为所求： A B 12.(1)如图，△A1B,C1即为所求作，12； 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 图2 (2)如图，△A2B2C2即为所求作，4+V10+3V2, 图3 13.(1)3 (2)①如图，△DBE即为所求； ②如图，△A1BC1即为所求 (B)B 14.D ◆题型4相似三角形动点问题 15.(1)AP=2tcm0≤t≤6，AQ=16-tcm0≤t≤16 8-铝-7 16.3或4.8 17.C 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 18.4或5 19.(1)1或-2+2V6 (2)t=3 6)存在，t=16 9 15.(1)AP=2tcm0≤t≤6，AQ=16-tcm0≤t≤16 9=7 16.3或4.8 17.C 184 19.(1)1或-2+2V/6 (2)t=3 形在，‘气 ◆题型5相似三角形的判定与性质综合 20.AD 2 21.证明：∠ 1, .∠1+DAC=∠2DAC,即∠BAC=∠DAE ∠B=∠D ∴.△ABC-△ADE ABAC AD AE 22.(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DA,∠BAF=∠D=90°， ∴.∠DEA+∠DAE=90°， 在Rt△ABF和Rt△DAE中， BF=AE AB=DA .Rt△ABF≌Rt△DAE HL, .∠AFB=∠DEA, 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AFB+∠DAE=90°， .∠AHF=180°-∠AFB+∠DAE=90°， .AE⊥BF」 a号 23. 10 24.D 综合攻坚·知能拔高 1.D 2.A 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.120 32 9.5 10.2V5 12.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， D .AE‖FC, ∴.∠EAO=∠FCO, EF垂直平分AC, 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AO=CO,∠AOE=∠COF=90°， △AOE≌△COFASA, ∴EO=FO, ∴，四边形AFCE为平行四边形， 又，FE⊥AC ∴.平行四边形AFCE为菱形： (2)8cm 13.(1)8 (2)18 3)17 14.(1)证明：：四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴.∠AFG=45°，∠ACD=45°. .'∠MFC=∠AFG=45°， ∴.∠MFC=∠ACM .∠CMF=∠AMC. '.△MFC MCA: 9 (2S正方形AEG- C-82 5 15.(1 (2)证明：过点E作EP⊥BC于点P,过点H作HQ⊥CD于点Q,且交EF于点O, 3 B FP ,四边形ABCD是矩形， ∴.AD⊥CD,AD‖BC, ∴.AD HQ BC,HQ=AD 同理，EP‖CD,EP=CD, .∠HOF=∠EFP, 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF⊥GH, ∴.∠QHG+∠HOF=90°， ,∠OFP+∠FEP=90°， ∴.∠QHG=∠FEP. .∠HQG=∠EP℉=90°， .△HQG一△EPF GHHQ BC ·FE EP AB 27 A 717 专题03 相似三角形的性质 常考题型·精准突破 题型1 利用相似三角形的性质求解（高频） 题型2 证明三角形对应线段成比例（难） 题型3 在网格中画与已知三角形相似的三角形（重） 题型4 相似三角形动点问题（难） 题型5 相似三角形的判定与性质综合（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用相似三角形的性质求解 1．如图，，分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 【答案】4 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知条件列比例式求解对应边的长度即可． 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴， ∵三角形边长为正数， ∴， ∵， ∴． 3．，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相似三角形中对应中线比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：，，边上的中线， ， ； （2）解：，，的周长为， ， ； （3）解：，，的面积是， ， ． 4．一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为________． 【答案】60 【分析】先根据一个三角形的三边长分别为4，5，6，与其相似的三角形的最长的边为24，求出其相似比，再设较大三角形的周长为L，由相似三角形周长的比等于相似比即可得出L的值． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为4，5，6，与其相似的三角形的最长的边为24， ∴其相似比， 设较大三角形的周长为L， ∴， 解得． 即较大三角形的周长为60． 5．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． ◆题型2证明三角形对应线段成比例 6．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 7．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 8．如图，在正方形ABCD中，M是AB边的中点，E是AD边上的一点，且EM⊥CM，求证： (1)△AEM∽△BMC； (2)； (3)CM平分∠BCE． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析 【分析】（1）利用同角的余角相等可得∠AME=∠BCM，利用正方形的性质可得∠A=∠B=90°，根据有两角对应相等的两个三角形相似可以判定结论成立； （2）利用（1）中的结论，根据相似三角形对应边成比例得出比例式，利用正方形的性质AB=BC，结论可得； （3）通过证明△BMC∽△MEC，可得∠BCM=∠MCE，结论可得． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°． ∴∠BMC+∠BCM＝90°． ∵EM⊥CM， ∴∠EMC＝90°． ∴∠BMC+∠AME＝90°． ∴∠AME＝∠BCM． ∵∠A＝∠B， ∴△AEM∽△BMC； （2）∵△AEM∽△BMC， ∴． ∵M是AB边的中点， ∴AM＝BM＝AB． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC． ∴AM＝BC． ∴； （3）由（2）可知：BM＝AB＝BC， ∴． ∴． ∴∠B＝∠EMC＝90°， ∴△BMC∽△MEC． ∴∠BCM＝∠MCE． 即CM平分∠BCE． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，利用同角的余角相等可得∠AME=∠MBC是解题的关键． 9．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． ◆题型3在网格中画与已知三角形相似的三角形 10．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． 11．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． 12．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 13．如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 14．如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两三角形相似不全等，及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两三角形相似不全等， 根据题意得 ∴, ∴， 则点在的位置． ◆题型4相似三角形动点问题 15．如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 16．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 17．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 18．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 19．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． ◆题型5相似三角形的判定与性质综合 20．如图，平分，，若，，求的长． 【答案】 【分析】利用相似三角形的判定和性质，得到，推出，即可求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 21．如图，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即 ∵ ∴ ∴． 【分析】根据两角对应相等证明即可． 【详解】略 22．如图，在正方形中，点、分别为边，上的点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先证出，则，再得出即可得证； （2）先求出，，的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 由（1）已证：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 23．如图（1），在中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，已知是关于的一次函数，图象如图（2）所示，①________；②当时，四边形的面积为________． 【答案】 10 15 【分析】由函数图象可知 的最大值为 10，即 ，结合 可得 长；当 时 ，此时 ，可得 边上的高为 6；利用 可得 关于 的表达式，利用平行线分线段成比例可得 关于 的表达式，代入 计算矩形面积即可． 【详解】解：由图（2）可知， 的取值范围是 ，即 当 时， 此时点 与点 重合， ，即点 到 的距离为 6 四边形 是平行四边形 ∴, 即 ，， 四边形 是矩形， 设点 到 的距离为 ，则 又 当 时， , 四边形 的面积． 24．如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明即可判定A、B、C正确，D错误． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故A正确； ， ， ，，故B、C正确，D错误． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 2．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用网格平行线性质证明，得出线段比例关系，结合勾股定理求解． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ， 由网格可知， ∴， ， 由勾股定理得 ， ． 4．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 5．如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由网格特点得，，，则，由相似三角形的性质得出，，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：由网格特点得，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 6．如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ， 即的最小值为． 7．如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长，证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 8．如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________． 【答案】120 【分析】证明，根据相似三角形的高之比等于相似比即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 9．如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，先利用正方形的性质和勾股定理求得，则，证明得到，进而求得即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为． 11．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 三、解答题 12．结合图形，解答下列各题： (1)已知：在中，对角线的垂直平分线分别与边和对角线相交于点E，F，O．求证：四边形是菱形．（自己画图并完成证明） (2)如图，在中，D，E，F分别是上的点，且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； (2) 【分析】（1）画出图形，证明，得，从而得四边形为平行四边形，再由，即可得平行四边形为菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得，再由平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 13．根据以下探究完成相关题目： (1)探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个； (2)探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个； (3)探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （2）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和； （3）把五边形分成一个矩形和一个梯形，分别计算最多可放置的正方形数量，相加即可得到总数． 【详解】（1）解：由题意得第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； （2）解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个； （3）解：如图， ，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， ，， 在矩形中最多放置三列，每列最多放个， ， 在矩形中最多可排列个， 由（2）的第一层一共可放置个， ， 在梯形中，第一层最多排列个， ， ， ， ， 在梯形中，第二层最多排列个， ，， ， ， ， ， 在梯形中，第三层无法排列完整的小正方形， ， 在梯形中最多可排列个， ， 在五边形内部能排列的小正方形个数最多为个． 14．如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形和四边形都是正方形， ，． ， ． ． ； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明出，再由公共角相等即可证明； （2）先利用勾股定理计算出，再利用求出，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到正方形的面积； （3）证明，然后利用相似比求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 15．综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）略 （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $