第20章 二次根式期中专项复习训练2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

第20章 二次根式 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【二次根式的识别】 1．下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】形如的式子是二次根式． 【详解】解：A、被开方数，式子无意义，不符合二次根式要求，不符合题意； B、根指数为，被开方数，符合二次根式要求，符合题意； C、根指数为，不符合二次根式要求，不符合题意； D、被开方数，式子无意义，不符合二次根式要求，不符合题意． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”判断即可． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、，该代数式无意义，故此选项不合题意； D、的根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意． 3．下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的被开方数为非负数的性质判断各选项 【详解】解：A、当时为负，不符合二次根式定义； B、当时为负，不符合二次根式定义； C、∵ 对任意实数，，∴ ，符合二次根式定义； D、当时为负，不符合二次根式定义 4．请选出使在实数范围内有意义的的值（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故只有选项A符合题意. 【二次根式有意义】 5．若有意义，则的平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，然后求平方根即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴的平方根是． 6．已知，那么（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，， 即，， 解得：，， ∴． 7．当时，下列二次根式有意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故该选项不符合题意； B、当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故该选项不符合题意； C、当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故该选项不符合题意； D、当时，，被开方数大于0，二次根式有意义，故该选项符合题意． 8．若代数式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C．，且 D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得． 【利用二次根式的性质进行化简】 9．若，化简的结果是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ 10．若，则a与2的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 11．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求算术平方根，根据算术平方根的定义逐项分析即可得解，熟练掌握算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意． 12．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴． 13．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 14．若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先利用完全平方公式对根号内多项式配方，再根据二次根式性质转化为绝对值式，最后结合的取值范围去掉绝对值符号合并计算即可． 【详解】解：，， 原式， ， ，， 去掉绝对值化简得，． 15．若，则的取值范围是（     ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用二次根式的性质将原式转化为绝对值和的形式，再根据绝对值的化简规则在a的不同取值范围内讨论，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵根据二次根式性质，， ∴原等式可化为． 分三种情况讨论： ① 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立； ②当时，，， ∴，等式恒成立，故此取值范围满足条件； ③ 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立． 综上，的取值范围是，故选D． 【最简二次根式】 16．在下列各式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据最简二次根式的定义得出： A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项错误； D.不能再化简，是最简二次根式，故此选项正确； 17．若是最简二次根式，则a可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式应满足以下两点：①被开方数为非负数，②被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式．再根据最简二次根式的判定条件求解即可． 【详解】解：A、时，被开方数为负数，二次根式无意义，不符合题意； B、时，是非负数，且不存在能开得尽方的因数或因式，所以是最简二次根式，符合题意； C、时，，所以不是最简二次根式，不符合题意； D、时，，所以不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 18．下面与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各个选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、与是同类二次根式，符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意． 19．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 20．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 【二次根式比较大小】 21．比较大小：，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 22．如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是 ． 23．下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 24．估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的乘法法则将原式展开并化简，再估算出的大小即可判断． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值在和之间． 【二次根式的混合运算】 25．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 26．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，故选项C计算错误，不符合题意； D.∵当时，， ∴，故选项D计算错误，不符合题意． 27．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，计算乘法后合并同类二次根式． （2）拆分分式化简后，将所有二次根式化为最简，合并同类二次根式． （3）利用乘法公式展开后，合并同类项得到结果． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶ ； （3）解∶ ． 28．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 29．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简各二次根式，再算除法． （2）化简后去括号、合并同类二次根式． （3）用平方差公式与完全平方公式展开． （4）化简各二次根式，除法转化为乘法后合并． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【二次根式化简求值】 30．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)16 (2) (3)32 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，二次根式的乘法，二次根式的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先分别求出，，，再将待求式子变形后整体代入求值； （2）平方差公式分解因式，再整体代入求值； （3）将原式分组变形，用含，，的式子表示，再整体代入求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ． ∴ ． （2）解： ． （3）解： ． 31．已知，，求下列各式的值： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）37． 【分析】（1）先利用分母有理化，把，化简，再利用平方差公式进行计算，即可求解； （2）先求出，，再利用完全平方公式，即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴=； （2）由（1）得：，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． 32．在数学小组探究学习中，小强与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ，即， ， ． 请你根据小强与他的小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)__________； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分母有理化将原式化简即可； （2）先将原式利用分母有理化进行化简，再进行加减运算； （3）先将已知进行分母有理化可得，再进行恒等变换得到，最后代入进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 33．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为的对偶式为，所以直接对应构造即可． （2）因为分母是，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差公式去掉分母的根号，完成分母有理化． （3）设所求式子为，已知式子为，因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得到只含常数的结果，且已知的值，所以通过计算的结果即可求出的值． 【详解】（1）解：根据材料定义：与互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此的对偶式为． （2）解：利用对偶式分母有理化化简： ． （3）解：设， ， 根据平方差公式计算：， 因此． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【二次根式的识别】 1．下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．请选出使在实数范围内有意义的的值（     ） A． B． C． D． 【二次根式有意义】 5．若有意义，则的平方根是（     ） A．2 B． C． D． 6．已知，那么（     ） A． B．1 C．2 D． 7．当时，下列二次根式有意义的是（     ） A． B． C． D． 8．若代数式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C．，且 D． 【利用二次根式的性质进行化简】 9．若，化简的结果是(     ) A． B． C． D． 10．若，则a与2的大小关系是（     ） A． B． C． D． 11．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 12．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 13．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 14．若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 15．若，则的取值范围是（     ） A．取任意实数 B． C． D． 【最简二次根式】 16．在下列各式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 17．若是最简二次根式，则a可以是（     ） A． B． C． D． 18．下面与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 19．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 20．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【二次根式比较大小】 21．比较大小：，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 22．如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 23．下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 24．估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【二次根式的混合运算】 25．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 26．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 27．计算 (1) (2) (3) 28．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．计算： (1) (2) (3) (4) 【二次根式化简求值】 30．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 31．已知，，求下列各式的值： （1）． （2）． 32．在数学小组探究学习中，小强与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ，即， ， ． 请你根据小强与他的小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)__________； (2)化简：； (3)若，求的值． 33．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $