精品解析：福建三明市宁化县2026-2027学年八年级上学期第一次阶段质量检测数学试题

2026～2027学年上学期第一阶段质量检测试卷 八年级数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 0.09的平方根是0.3 C. 1的立方根是 D. 0的立方根是0 7. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. 80 B. 30 C. 90 D. 120 9. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 的立方根是___________． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是_______（写出一个即可）． 13. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 14. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为______． 15. 如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 _______． 16. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，4，5，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知，求下列代数式的值； （1）； （2）． 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 22. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 23. 如图，在中，，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点D为线段上一点，连接，且，求的面积． 24. 【阅读材料】 小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： 因为， 所以，所以， 即，所以， 所以 【理解应用】请你根据小明的分析过程，解答下列问题： （1）计算：_______； （2）计算：； （3）若，求的值． 25. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年上学期第一阶段质量检测试卷 八年级数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是分数，不是无理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是有限小数，不是无理数，故本选项不符合题意； D、是整数，不是无理数，故本选项不符合题意； 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和二次根式的性质．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并．根据二次根式的加减运算法则和二次根式性质进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，的被开方数不一样，不能合并，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 3. 为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 4. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、， ， 故不是勾股数； B、各数不是整数，不是勾股数； C、，是勾股数； D、，不是勾股数． 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键．根据最简二次根式的概念，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 0.09的平方根是0.3 C. 1的立方根是 D. 0的立方根是0 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义判断A选项，根据平方根的定义判断B选项，根据立方根的定义判断C，D选项． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、0.09的平方根是±0.3，故该选项不符合题意； C、1的立方根是1，故该选项不符合题意； D、0的立方根是0，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，注意平方根与算术平方根的区别． 7. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围． 【详解】解：∵，，且10介于9和16之间， ∴应在3和4之间， 故选：C． 8. 已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. 80 B. 30 C. 90 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理列出关系式，再由三边的平方和为1800，列出关系式，联立两关系式，即可求出斜边的长． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 9. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 10. 如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段的尺规作图，先利用勾股定理得到，再由作图方法推出，据此可得答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 由作图方法可知， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是_______（写出一个即可）． 【答案】6（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用二次根式有意义的条件求出的取值范围，然后写出一个值即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴实数x的值可以是6． 13. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 14. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理结合正方形的面积，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 那么， 所以正方形的边长为． 故答案为：． 15. 如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 _______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路径问题，圆柱展开图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆柱展开图． 根据线段中点得出，根据圆柱展开图确定最短路径，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵P为的中点， ∴， 根据圆柱展开图可得，， 由勾股定理得，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为： ， 故答案为：13． 16. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，4，5，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出，证明，可得，结合勾股定理求出，根据，，，可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根、立方根定义进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ． 18. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出，再直接开立方法求的值； （2）移项，直接开平方法求的值． 【小问1详解】 解： 整理，得， 直接开立方，得， ∴； 【小问2详解】 解： 整理，得， 直接开平方，得， ∴或， ∴，． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 已知，求下列代数式的值； （1）； （2）． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用完全平方公式求解即可； （2）先求得，，再利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴． 21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是3，的算术平方根是 4 ， ，解得：， ∵c是的整数部分，， ， ， 则的平方根是． 22. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2），三角形的面积为5 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行作图即可； （2）利用勾股定理作出三角形，然后利用勾股定理的逆定理确定三角形的形状，利用三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：利用勾股定理进行作图，，图略； 【小问2详解】 解：利用勾股定理作出三角形，图略； ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积为． 23. 如图，在中，，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点D为线段上一点，连接，且，求的面积． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： ，，，， ， 是直角三角形； （2）36 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的面积． （1）直接根据，再结合勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，，再根据勾股定理求出的值，进而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，，， 设，则，， 由（1）知，是直角三角形，且， ，即， 解得， ， ． 24. 【阅读材料】 小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： 因为， 所以，所以， 即，所以， 所以 【理解应用】请你根据小明的分析过程，解答下列问题： （1）计算：_______； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）仿照小明的解答计算即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：由题意得， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 25. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【解析】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，    ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示：    设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $